Sistemas de Alma Llena - Diagramas de Características - Ejercicio de Aplicación

1. Clase N° 6 – TPN° 5
Sistemas Planos de Alma Llena
Diagramas de Características
(Ejercicio de Aplicación)
Curso de Estática y
Resistencia de Materiales
Ing. Gabriel Pujol
Para las carreas de Ingeniería Industrial de la Facultad de Ingeniería de la
Universidad de Buenos Aires

2. HA
Para el siguiente esquema
equilibrado, se pide trazar los
Diagramas de Características
Ejercicio de Aplicación
A
4 m 4 m
2 m
B
5 t/m
30°
60 t 10 t.m
2. Realizamos el (DCL) “Diagrama de Cuerpo Libre”.
VA VB
3. Calculamos las “Proyecciones de la Fuerza Concentrada”
PY
PZ
4. Calculamos las “Reacciones de Vínculo Externas” (RVE).
𝐏𝐳 = 𝟎 = −𝑯𝑨 + 𝑷𝒛 ⟹ 𝑯𝑨 = 𝑷𝒛 = 𝟓𝟐 𝒕
𝐏𝐲 = 𝟎 = −𝑽𝑨 + 𝟓
𝒕
𝒎
∙ 𝟒 𝒎 + 𝟑𝟎 𝒕 − 𝑽𝑩
𝐌𝑨 = 𝟎 = 𝟓
𝒕
𝒎
∙ 𝟒 𝒎 ∙ 𝟐 𝒎 + 𝟑𝟎 𝒕 ∙ 𝟔 𝒎 + 𝟏𝟎 𝒕𝒎 − 𝑽𝑩 ∙ 𝟖 𝒎
𝑷𝒚 = 𝟔𝟎 𝒕 ∙ sin 𝟑𝟎° = 𝟑𝟎 𝒕
𝑷𝒛 = 𝟔𝟎 𝒕 ∙ cos 𝟑𝟎° = 𝟓𝟐 𝒕
⟹
𝑯𝑨 = 𝟓𝟐 𝒕
𝑽𝑨 = 𝟐𝟏, 𝟐𝟓 𝒕
𝑽𝑩 = 𝟐𝟖, 𝟕𝟓 𝒕
1. Isoestaticidad: trabajamos con
una única chapa (3 grados de
libertad en el plano) la cual está
sustentada con un vínculo de 2da
especie en A y un vínculo de 1era
especie en B. Tres restricciones en
total. Sistema Isostático.
+

3. 52 t
HA
Ejercicio de Aplicación
A
4 m 4 m
2 m
B
5 t/m
10 t.m
VA VB
PY
PZ
4. Realizamos el (DCLE) “Diagrama de Cuerpo Libre Equilibrado”.
21,25 t 28,75 t
5. Seleccionamos las “Secciones Claves” dónde calcularemos los esfuerzos
característicos “ij” donde: i  “sección”; j  “del lado de…”
1 2 3 4
A ≡ 1 B ≡ 4
12 21 23 32 34 43
6. La “Mecánica del trazado” consiste en reducir al baricentro de la sección
que se analiza la Resultante Izquierda (RI) [da el signo de las
características con terna izquierda] o la Derecha (RD) cambiada de signo.
Para el siguiente esquema
equilibrado, se pide trazar los
Diagramas de Características
2. Realizamos el (DCL) “Diagrama de Cuerpo Libre”.
3. Calculamos las “Proyecciones de la Fuerza Concentrada”
4. Calculamos las “Reacciones de Vínculo Externas” (RVE).
𝐏𝐳 = 𝟎 = −𝑯𝑨 + 𝑷𝒛 ⟹ 𝑯𝑨 = 𝑷𝒛 = 𝟓𝟐 𝒕
𝐏𝐲 = 𝟎 = −𝑽𝑨 + 𝟓
𝒕
𝒎
∙ 𝟒 𝒎 + 𝟑𝟎 𝒕 − 𝑽𝑩
𝐌𝑨 = 𝟎 = 𝟓
𝒕
𝒎
∙ 𝟒 𝒎 ∙ 𝟐 𝒎 + 𝟑𝟎 𝒕 ∙ 𝟔 𝒎 + 𝟏𝟎 𝒕𝒎 − 𝑽𝑩 ∙ 𝟖 𝒎
𝑷𝒚 = 𝟔𝟎 𝒕 ∙ sin 𝟑𝟎° = 𝟑𝟎 𝒕
𝑷𝒛 = 𝟔𝟎 𝒕 ∙ cos 𝟑𝟎° = 𝟓𝟐 𝒕
1. Isoestaticidad: trabajamos con
una única chapa (3 grados de
libertad en el plano) la cual está
sustentada con un vínculo de 2da
especie en A y un vínculo de 1era
especie en B. Tres restricciones en
total. Sistema Isostático.
⟹
𝑯𝑨 = 𝟓𝟐 𝒕
𝑽𝑨 = 𝟐𝟏, 𝟐𝟓 𝒕
𝑽𝑩 = 𝟐𝟖, 𝟕𝟓 𝒕
+

4. Analizamos las secciones
1. Sección 12, las fuerzas actuantes
son:
28,75 t
52 t
21,25 t
A
4 m 4 m
2 m
B
5 t/m
10 t.m
PY
PZ
1 2 3 4
12 21 23 32 34 43
𝑵𝒛 𝟏𝟐
= −𝟓𝟐 𝒕 𝒄𝒐𝒎𝒑𝒓𝒆𝒔𝒊ó𝒏
𝑸𝒚 𝟏𝟐
= −𝟐𝟏, 𝟐𝟓 𝒕 + 𝟓
𝒕
𝒎
∙ 𝒅𝒛 ≅ −𝟐𝟏, 𝟐𝟓 𝒕
𝑴𝒙 𝟏𝟐
= 𝟐𝟏, 𝟐𝟓 𝒕 ∙ 𝒅𝒛 − 𝟓
𝒕
𝒎
∙ 𝒅𝒛 ∙
𝒅𝒛
𝟐
≅ 𝟎
+

5. Analizamos las secciones
1. Sección 12, las fuerzas actuantes
son:
28,75 t
52 t
21,25 t
A
4 m 4 m
2 m
B
5 t/m
10 t.m
PY
PZ
1 2 3 4
12 21 23 32 34 43
2. Sección 21, las fuerzas actuantes son (las mismas que para la Sección 23):
𝑵𝒛 𝟐𝟏
= 𝑵𝒛 𝟐𝟑
= −𝟓𝟐 𝒕 𝒄𝒐𝒎𝒑𝒓𝒆𝒔𝒊ó𝒏
𝑸𝒚 𝟐𝟏
= 𝑸𝒚 𝟐𝟑
= −𝟐𝟏, 𝟐𝟓 𝒕 + 𝟓
𝒕
𝒎
∙ 𝟒 𝒎 = − 1,25 𝒕
𝑴𝒙 𝟐𝟏
= 𝑴𝒙 𝟐𝟑
= 𝟐𝟏, 𝟐𝟓 𝒕 ∙ 𝟒 𝒎 − 𝟓
𝒕
𝒎
∙ 𝟒 𝒎 ∙ 𝟐 𝒎 = 𝟒𝟓 𝒕 ∙ 𝒎
𝑵𝒛 𝟏𝟐
= −𝟓𝟐 𝒕 𝒄𝒐𝒎𝒑𝒓𝒆𝒔𝒊ó𝒏
𝑸𝒚 𝟏𝟐
= −𝟐𝟏, 𝟐𝟓 𝒕 + 𝟓
𝒕
𝒎
∙ 𝒅𝒛 ≅ −𝟐𝟏, 𝟐𝟓 𝒕
𝑴𝒙 𝟏𝟐
= 𝟐𝟏, 𝟐𝟓 𝒕 ∙ 𝒅𝒛 − 𝟓
𝒕
𝒎
∙ 𝒅𝒛 ∙
𝒅𝒛
𝟐
≅ 𝟎
+

6. Analizamos las secciones
1. Sección 12, las fuerzas actuantes
son:
28,75 t
52 t
21,25 t
A
4 m 4 m
2 m
B
5 t/m
10 t.m
PY
PZ
1 2 3 4
12 21 23 32 34 43
2. Sección 21, las fuerzas actuantes son (las mismas que para la Sección 23):
3. Sección 32, las fuerzas actuantes son:
𝑵𝒛 𝟑𝟐
= −𝟓𝟐 𝒕 𝒄𝒐𝒎𝒑𝒓𝒆𝒔𝒊ó𝒏
𝑸𝒚 𝟑𝟐
= −𝟐𝟏, 𝟐𝟓 𝒕 + 𝟓
𝒕
𝒎
∙ 𝟒 𝒎 = − 1,25 𝒕
𝑴𝒙 𝟑𝟐
= 𝟐𝟏, 𝟐𝟓 𝒕 ∙ 𝟔 𝒎 − 𝟓
𝒕
𝒎
∙ 𝟒 𝒎 ∙ 𝟒 𝒎 = 𝟒𝟕, 𝟓 𝒕 ∙ 𝒎
𝑵𝒛 𝟐𝟏
= 𝑵𝒛 𝟐𝟑
= −𝟓𝟐 𝒕 𝒄𝒐𝒎𝒑𝒓𝒆𝒔𝒊ó𝒏
𝑸𝒚 𝟐𝟏
= 𝑸𝒚 𝟐𝟑
= −𝟐𝟏, 𝟐𝟓 𝒕 + 𝟓
𝒕
𝒎
∙ 𝟒 𝒎 = − 1,25 𝒕
𝑴𝒙 𝟐𝟏
= 𝑴𝒙 𝟐𝟑
= 𝟐𝟏, 𝟐𝟓 𝒕 ∙ 𝟒 𝒎 − 𝟓
𝒕
𝒎
∙ 𝟒 𝒎 ∙ 𝟐 𝒎 = 𝟒𝟓 𝒕 ∙ 𝒎
𝑵𝒛 𝟏𝟐
= −𝟓𝟐 𝒕 𝒄𝒐𝒎𝒑𝒓𝒆𝒔𝒊ó𝒏
𝑸𝒚 𝟏𝟐
= −𝟐𝟏, 𝟐𝟓 𝒕 + 𝟓
𝒕
𝒎
∙ 𝒅𝒛 ≅ −𝟐𝟏, 𝟐𝟓 𝒕
𝑴𝒙 𝟏𝟐
= 𝟐𝟏, 𝟐𝟓 𝒕 ∙ 𝒅𝒛 − 𝟓
𝒕
𝒎
∙ 𝒅𝒛 ∙
𝒅𝒛
𝟐
≅ 𝟎
+

7. Analizamos las secciones
4. Sección 34, las fuerzas actuantes
son:
28,75 t
52 t
21,25 t
A
4 m 4 m
2 m
B
5 t/m
10 t.m
PY
PZ
1 2 3 4
12 21 23 32 34 43
𝑵𝒛 𝟑𝟒
= −𝟓𝟐 𝒕 + 𝟓𝟐 𝒕 = 𝟎 𝒕
𝑸𝒚 𝟑𝟒
= −𝟐𝟏, 𝟐𝟓 𝒕 + 𝟓
𝒕
𝒎
∙ 𝟒 𝒎 + 𝟑𝟎 𝒕 = 𝟐𝟖,75 𝒕
𝑴𝒙 𝟑𝟒
= 𝟐𝟏, 𝟐𝟓 𝒕 ∙ 𝟔 𝒎 − 𝟓
𝒕
𝒎
∙ 𝟒 𝒎 ∙ 𝟒 𝒎 − 𝟑𝟎 𝒕 ∙ 𝒅𝒛 = 𝟒𝟕, 𝟓 𝒕 ∙ 𝒎
+

8. Analizamos las secciones
4. Sección 34, las fuerzas actuantes
son:
28,75 t
52 t
21,25 t
A
4 m 4 m
2 m
B
5 t/m
10 t.m
PY
PZ
1 2 3 4
12 21 23 32 34 43
5. Sección 43, las fuerzas actuantes son:
𝑵𝒛 𝟒𝟑
= 𝟎 𝒕
𝑸𝒚 𝟒𝟑
= −𝟐𝟏, 𝟐𝟓 𝒕 + 𝟓
𝒕
𝒎
∙ 𝟒 𝒎 + 𝟑𝟎 𝒕 = 𝟐𝟖,75 𝒕
𝑴𝒙 𝟒𝟑
= 𝟐𝟏, 𝟐𝟓 𝒕 ∙ 𝟖 𝒎 − 𝟓
𝒕
𝒎
∙ 𝟒 𝒎 ∙ 𝟔 𝒎 − 𝟑𝟎 𝒕 ∙ 𝟐 𝒎 = −𝟏𝟎 𝒕 ∙ 𝒎
𝑵𝒛 𝟑𝟒
= −𝟓𝟐 𝒕 + 𝟓𝟐 𝒕 = 𝟎 𝒕
𝑸𝒚 𝟑𝟒
= −𝟐𝟏, 𝟐𝟓 𝒕 + 𝟓
𝒕
𝒎
∙ 𝟒 𝒎 + 𝟑𝟎 𝒕 = 𝟐𝟖,75 𝒕
𝑴𝒙 𝟑𝟒
= 𝟐𝟏, 𝟐𝟓 𝒕 ∙ 𝟔 𝒎 − 𝟓
𝒕
𝒎
∙ 𝟒 𝒎 ∙ 𝟒 𝒎 − 𝟑𝟎 𝒕 ∙ 𝒅𝒛 = 𝟒𝟕, 𝟓 𝒕 ∙ 𝒎
+

9. Analizamos las secciones
4. Sección 34, las fuerzas actuantes
son:
28,75 t
52 t
21,25 t
A
4 m 4 m
2 m
B
5 t/m
10 t.m
PY
PZ
1 2 3 4
12 21 23 32 34 43
𝑵𝒛 𝟑𝟒
= −𝟓𝟐 𝒕 + 𝟓𝟐 𝒕 = 𝟎 𝒕
𝑸𝒚 𝟑𝟒
= −𝟐𝟏, 𝟐𝟓 𝒕 + 𝟓
𝒕
𝒎
∙ 𝟒 𝒎 + 𝟑𝟎 𝒕 = 𝟐𝟖,75 𝒕
𝑴𝒙 𝟑𝟒
= 𝟐𝟏, 𝟐𝟓 𝒕 ∙ 𝟔 𝒎 − 𝟓
𝒕
𝒎
∙ 𝟒 𝒎 ∙ 𝟒 𝒎 − 𝟑𝟎 𝒕 ∙ 𝒅𝒛 = 𝟒𝟕, 𝟓 𝒕 ∙ 𝒎
5. Sección 43, las fuerzas actuantes son:
6. Sección 4, las fuerzas actuantes son:
𝑵𝒛 𝟒
= 𝟎 𝒕
𝑸𝒚 𝟒
= −𝟐𝟏, 𝟐𝟓 𝒕 + 𝟓
𝒕
𝒎
∙ 𝟒 𝒎 + 𝟑𝟎 𝒕 − 𝟐𝟖,75 𝒕 = 𝟎 𝒕
𝑴𝒙 𝟒
= 𝟐𝟏, 𝟐𝟓 𝒕 ∙ 𝟖 𝒎 − 𝟓
𝒕
𝒎
∙ 𝟒 𝒎 ∙ 𝟔 𝒎 − 𝟑𝟎 𝒕 ∙ 𝟐 𝒎 + 𝟏𝟎 𝒕 ∙ 𝒎 = 𝟎 𝒕 ∙ 𝒎
𝑵𝒛 𝟒𝟑
= 𝟎 𝒕
𝑸𝒚 𝟒𝟑
= −𝟐𝟏, 𝟐𝟓 𝒕 + 𝟓
𝒕
𝒎
∙ 𝟒 𝒎 + 𝟑𝟎 𝒕 = 𝟐𝟖,75 𝒕
𝑴𝒙 𝟒𝟑
= 𝟐𝟏, 𝟐𝟓 𝒕 ∙ 𝟖 𝒎 − 𝟓
𝒕
𝒎
∙ 𝟒 𝒎 ∙ 𝟔 𝒎 − 𝟑𝟎 𝒕 ∙ 𝟐 𝒎 = −𝟏𝟎 𝒕 ∙ 𝒎
+

10. →
Nz z = −qz z ∙ dz
Qy z = −qy z ∙ dz
Mx z = Qy z ∙ dz
28,75 t
52 t
21,25 t
Analizamos los tramos
(Análisis Cualitativo de los Diagramas)
A
4 m 4 m
2 m
B
5 t/m
10 t.m
1. Entre 1 y 21
PY
PZ
1 2 3 4
12 21 23 32 34 43
𝒒𝒛 𝒛 = 𝟎 → 𝑵𝒛 𝒛 = 𝒄𝒕𝒆
𝒒𝒚 𝒛 = 𝒄𝒕𝒆 → 𝑸𝒚 𝒛 = 𝒍𝒊𝒏𝒆𝒂𝒍
𝑸𝒚 𝒛 = 𝒍𝒊𝒏𝒆𝒂𝒍 → 𝑴𝒙 𝒛 = 𝒄𝒖𝒂𝒅𝒓𝒂𝒕𝒊𝒄𝒂
2. Entre 23 y 32
𝒒𝒛 𝒛 = 𝟎 → 𝑵𝒛 𝒛 = 𝒄𝒕𝒆
𝒒𝒚 𝒛 = 𝟎 → 𝑸𝒚 𝒛 = 𝒄𝒕𝒆
𝑸𝒚 𝒛 = 𝒄𝒕𝒆 → 𝑴𝒙 𝒛 = 𝒍𝒊𝒏𝒆𝒂𝒍
3. Entre 34 y 4
𝒒𝒛 𝒛 = 𝟎 → 𝑵𝒛 𝒛 = 𝒄𝒕𝒆
𝒒𝒚 𝒛 = 𝟎 → 𝑸𝒚 𝒛 = 𝒄𝒕𝒆
𝑸𝒚 𝒛 = 𝒄𝒕𝒆 → 𝑴𝒙 𝒛 = 𝒍𝒊𝒏𝒆𝒂𝒍
Preparamos la siguiente TABLA
SECCIONES Nz[t] Qy [t] Mx [t.m] Análisis Cualitativo
A ≡ 1
-52
(compresión)
-21,25 0
TRAMO 12
-52
(compresión)
-21,25 0 NZ = constante
QY = lineal
21
-52
(compresión)
-1,25 45
MX = cuadrática
TRAMO
23
-52
(compresión)
-1,25 45 NZ = constante
QY = constante
32
-52
(compresión)
-1,25 47,50
MX = lineal
TRAMO
34 0 28,75 47,50 NZ = constante
QY = constante
43 0 28,75 -10
MX = lineal
B ≡ 4 0 0 0
+

11. Trazamos los diagramas
28,75 t
52 t
21,25 t
A
4 m 4 m
2 m
B
5 t/m
10 t.m
PY
PZ
1 2 3 4
12 21 23 32 34 43
- 52 t
N [t]
+
-
21,25 t
28,75 t
1,25 t
Q [t]
+
10 t.m
47,5 t.m
45 t.m
M [t.m]
+

12. S
Tomemos los diagramas de Q y M
+
-
21,25 t
28,75 t
1,25 t
Q [t]
10 t.m
+
47,5 t.m
45 t.m
M [t.m]
Veamos ahora la forma de trazar
la cuadrática del Diagrama de
Momentos Flexores(1)
P1
P2
T
1 unidad en escala
de longitudes
y 21,25 unidades (Qy) en
escala de momentos
y 1,25 unidades (Qy) en
escala de momentos
2
3
1
4
1. Trazamos la tangente por el punto P1
2. Para ello llevamos:
1 unidad en escala
de longitudes
3. Definimos el punto S:
4. Trazamos la tangente uniendo P1 con S:
5. Hacemos lo propio con el punto P2. Defino el punto 1.
6. En los punto medios de los segmentos P1 - 1 y P2 - 1 defino
los puntos 2 y 3.
7. Trazo el segmento 2 - 3 y defino
el punto 4 en su punto medio.
8. Los puntos P1; 4 y P2 son puntos de
tangencia de la curva de momento.
𝟏
𝒗𝒆𝒓 𝑬𝒔𝒕𝒂𝒃𝒊𝒍𝒊𝒅𝒂𝒅 𝑰 − 𝑬. 𝑭𝒍𝒊𝒆𝒔𝒔 (𝒑á𝒈𝒊𝒏𝒂𝒔 417/418)
𝒅𝑴𝒙 𝒛
𝒅𝒛
= 𝑸𝒚 𝒛

13. Bibliografía
Estabilidad I – Enrique Fliess

14. Muchas Gracias