Variable Compleja

1. RESOLUCIÓN DE LA PRUEBA DE
EVALUACIÓN CONTINUA DE
VARIABLE COMPLEJA (PEC) 2017
1.Pregunta. Si el radio de convergencia de la serie de potencias
1X
n=0
anzn
es R , donde 0 < R < 1 , entonces se pide determinar el radio de convergencia
R1 de la serie
1X
n=1
n n
anzn
.
2. Pregunta. Dadas las sucesiones de funciones analíticas en D (0; 1)
i) fn (z) =
zn
n + zn
n 1
,
ii) fn (z) =
nzn
1 + zn
n 1
.
Se pide estudiar la convergencia y la convergencia uniforme de ambas suce-
siones.
3.Pregunta. Sea : [0; 1] ! B (0; 1) , un camino en el círculo unidad que
es diferenciable. Decir cual de las siguientes a…rmaciones es cierta:
i) Para un punto a 2 B (0; 1) no puede ocurrir Inda ( ) = 0:
ii) Para un punto a 2 C tal que jaj = 2 se tiene Inda ( ) = 0:
iii) Si dos puntos a; b en el complementario de satisfacen Inda ( ) =
Indb ( ) = 0 entonces a y b están en la misma componente de C= .
4.Pregunta. ¿Cual de las siguientes a…rmaciones sobre la función expo-
nencial es cierta?
i) lim
z!1
ez
= 1
ii) lim
z!1
ez
= 0 cuando z tiende a 1 y z 2 Y = fz = x + yi j 0 x 2 g
iii) lim
z!1
ez
= 0 cuando z tiende a 1 y z 2 X = fz = x + yi j x 0 , 0 y 2 , g
.
1

2. 1.Pregunta. Si el radio de convergencia de la serie de potencias
1X
n=0
anzn
es R , donde 0 < R < 1 , entonces se pide determinar el radio de convergencia
R1 de la serie
1X
n=1
n n
anzn
.
Solución. Para calcular el radio R1 de la serie
1X
n=1
n n
anzn
,
aplicamos la Fórmula de Cauchu-Hadamard utilizando el hecho que R es el radio
de convergencia de la serie dada
1X
n=0
anzn
.
Es decir sabemos que
1
R
= lim sup
n!1
n
p
janj
y tenemos que calcular R1 de tal forma que
1
R1
= lim sup
n!1
n
p
n n janj .
Es claro que
lim sup
n!1
n
p
n n janj = lim sup
n!1
n
p
janj
n
= 0 ,
es decir
R1 = 1 .
2. Pregunta. Dadas las sucesiones de funciones analíticas en D (0; 1)
i) fn (z) =
zn
n + zn
n 1
,
ii) fn (z) =
nzn
1 + zn
n 1
.
Se pide estudiar la convergencia en H (D (0; 1)) de ambas sucesiones.
2

3. Solución.
i) De la estimación
jfn (z)j
1
n 1
en D (0; 1) ,
deducimos la convergencia uniforme sobre compactos de fn (z) en D (0; 1) a la
función identicamente nula f0 (z) 0 cuando n ! 1:
ii) Sea D (0; r) el disco cerrado de radio r < 1:De la estimación en
D (0; r)
jfn (z)j
nrn
1 rn
,
donde
nrn
1 rn
! 0 , cuando n ! 1
concluimos de nuevo la convergencia uniforme sobre compactos de fn (z) en
D (0; 1) a la función identicamente nula f0 (z) 0 cuando n ! 1:
3.Pregunta. Sea : [0; 1] ! B (0; 1) , un camino en el círculo unidad que
es diferenciable. Decir cual de las siguientes a…rmaciones es cierta:
i) Para un punto a 2 B (0; 1) no puede ocurrir Inda ( ) = 0:
ii) Para un punto a 2 C tal que jaj = 2 se tiene Inda ( ) = 0:
iii) Si dos puntos a; b en el complementario de satisfacen Inda ( ) =
Indb ( ) = 0 entonces a y b están en la misma componente de C= .
Solución. La a…rmación correcta es ii) .
4.Pregunta. ¿Cual de las siguientes a…rmaciones sobre la función expo-
nencial es cierta?
i) lim
z!1
ez
= 1
ii) lim
z!1
ez
= 0 cuando z tiende a 1 y z 2 Y = fz = x + yi j 0 x 2 g
iii) lim
z!1
ez
= 0 cuando z tiende a 1 y z 2 X = fz = x + yi j x 0 , 0 y 2 , g
.
Solución. La a…rmación correcta es iii) .
3