3. Matemáticamente la derivada de una función es una
medida de la rapidez con la que cambia el valor de dicha
función matemática, según cambie el valor de su variable
independiente.
La derivada se calcula como el limite de la rapidez de
cambio media de la función en un cierto intervalo, cuando
el intervalo considerado para la variable independiente se
toma cada vez más pequeño.
4.
5. La derivada de una función constante es 0. Es decir, si c es un número real,
entonces:
DERIVADA DE UNA
FUNCION CONSTANTE
𝒅
𝒅𝒙
𝒄 = 𝟎.
EJEMPLO 1. Aplicación de la regla de la constante
Función Derivada
a) y=7 dy/dx=0
b) f(x)=0 f' (x)=0
c) s(t)=-3 s'(t)=0
d) y=kπ^2,k es constante y'=0
6. La derivada de una función potencia f(x) = es:
DERIVADA DE UNA
POTENCIA
𝒅
𝒅𝒙
=
EJEMPLO 2. Aplicación de la regla de la potencia
Si n es un entero positivo mayor que 1, entonces del desarrollo del binomio resulta
𝒙 𝒏
(𝒙 𝒏)
𝒏 𝒙 𝒏−𝟏
𝒅
𝒅𝒙
𝒙 𝒏
= 𝒍𝒊𝒎
∆𝒙→𝟎
𝒙 + ∆𝒙 𝒏
− 𝒙 𝒏
∆𝒙
= lim
∆𝑥→0
𝑥 𝑛+𝑛𝑥 𝑛−1 ∆𝑥 +
𝑛(𝑛−1)
2
𝑥 𝑛−2 ∆𝑥 2+⋯+ ∆𝑥 𝑛−𝑥 𝑛
∆𝑥
= lim
∆𝑥→0
𝑛𝑥 𝑛−1 +
𝑛(𝑛−1)
2
𝑥 𝑛−2 ∆𝑥 1 + ⋯ + ∆𝑥 𝑛−1
= 𝑛𝑥 𝑛−1 + 0 + ⋯ + 0
= 𝑛𝑥 𝑛−1
7. Si ƒ es una función derivable y c un número real, entonces cƒ también es
derivable
REGLA DE UN MULTIPLO
CONSTANTE
EJEMPLO 3. Aplicación de la regla de un multiplo constante.
𝒅
𝒅𝒙
)𝒄𝒇(𝒙 = 𝒄𝒇′ 𝒙 .
8. La derivada de la suma de dos funciones derivables ƒ y g es derivable en sí.
Además, la derivada de ƒ+g es igual a la suma de las derivadas de ƒ y g.
REGLA DE LA SUMA
EJEMPLO 4. Aplicación de la regla de la suma.
𝒅
𝒅𝒙
)𝒇 𝒙 + 𝒈(𝒙 = 𝒇′ 𝒙 + 𝒈′ 𝒙
Función Derivada
𝑎) 𝑓 𝑥 = 𝑥3 + 4𝑥 + 5 𝑓′ 𝑥 = 3𝑥2 + 4
9. La derivada de la diferencia de dos funciones derivables ƒ y g es derivable en sí.
Además, la derivada de ƒ − 𝒈 es igual a la diferencia de las derivadas de ƒ y g.
LEGLA DE LA RESTA
EJEMPLO 5. Aplicación de la regla de la resta.
Función Derivada
𝑔 𝑥 = −
𝑥4
2
+ 3𝑥3 − 2𝑥 𝑔′ 𝑥 = −2𝑥3 + 9𝑥2 − 2
𝒅
𝒅𝒙
)𝒇 𝒙 − 𝒈(𝒙 = 𝒇′ 𝒙 − 𝒈′ 𝒙
10. La derivada de la función exponencial es igual a la misma función por el logaritmo neperiano
de la base y por la derivada del exponente.
EJEMPLO 6. Aplicación de la regla de una función exponencial natural.
DERIVADA DE UNA FUNCION
EXPONENCIAL NATURAL
𝒅
𝒅𝒙
=
(𝒆 𝒙) 𝒆 𝒙
11. La derivada del producto de dos funciones es igual al producto de la primera
función por la derivada de la segunda, más la segunda función por la derivada
de la primera
REGLA DEL PRODUCTO
EJEMPLO 7. Aplicación de la regla del producto.
𝒅
𝒅𝒙
)𝒇 𝒙 ∗ 𝒈(𝒙 = 𝒇(𝒙) ∗
𝒅 (𝑔 𝑥 )
𝒅𝒙
+
𝒅 (𝑓 𝑥 )
𝒅𝒙
∗ 𝒈(𝒙)
12. La regla del cociente dice que la derivada de un cociente es el denominador por la derivada del
numerador menos el numerador por la derivada del denominador, todo dividido por el cuadrado del
denominador.
EJEMPLO 8. Aplicación de la regla del cociente.
REGLA DEL COCIENTE
13. La derivada del seno de una función es igual al coseno de la función por
la derivada de la función.
DERIVADA DEL SENO
EJEMPLO 9. Aplicación de la derivada del seno.
𝒅
𝒅𝒙
𝒔𝒆𝒏 𝒙 = 𝒄𝒐𝒔 𝒙
Función Derivada
𝑦 = 2𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑦′ = 2𝑐𝑜𝑠𝑥
14. La derivada del coseno de una función es igual a menos el seno de la función por la derivada de
la función.
DERIVADA DEL COSENO
EJEMPLO 10. Aplicación de la derivada del coseno.
𝒅
𝒅𝒙
𝒄𝒐𝒔 𝒙 = −𝒔𝒆𝒏 𝒙
Función Derivada
𝑦 = 𝑥 + cos 𝑥 𝑦′ = 1 − 𝑠𝑒𝑛 𝑥
15. La derivada de la función tangente es igual al cuadrado de la secante de la función por
la derivada de la función.
EJEMPLO 8. Aplicación de la derivada de la tangente.
DERIVADA DE LA TANGENTE
𝒅
𝒅𝒙
𝒕𝒂𝒏 𝒙 = 𝒔𝒆𝒄 𝟐 𝒙
