Este documento presenta el algoritmo del método de los multiplicadores para resolver problemas de transporte. Introduce el problema de transporte de SunRay Transport Company y muestra cómo determinar la solución inicial, identificar la variable de entrada y salida, y actualizar la solución utilizando ecuaciones de multiplicadores.

1. de los
Multiplicadores

2. DE LA
SIERRA
UNIVERSIDAD
CARRERA: Ingeniería Industrial en Productividad y
Calidad
GRUPO: 1-6
PROFESOR: M. C. Alejandro Vega Granillo
ALUMNOS:
M. Samantha Rivera
Gadiel Meza E.

3. TRANSPORTE

4. Los pasos básicos del algoritmo de transporte son
exactamente iguales a los del método simplex.
En lugar de utilizar
la tabla simplex
regular…
Aprovechamos
la estructura especial del
modelo de transporte para
organizar los cálculos en una
forma más conveniente.

5. Determine una solución factible básica inicial.
PASO 1
Use la condición de optimalidad del método simplex
para determinar la variable de entrada de entre todas
las variables no básicas.
PASO 2
Determine la variable de salida utilizando la
condición de factibilidad simplex.
PASO 3

6. Determinación de la solución de inicio
La estructura del problema de transporte permite
asegurar una solución básica inicial no artificial
siguiendo uno de los tres métodos:
Solución
básica inicial
 Método de la esquina
noroeste
 Método del costo
mínimo
 Método de
aproximación de Vogel

7. SunRay Transport

8. • SunRay Transport Company transporta granos
de tres silos a cuatro molinos. Se busca el
programa de envíos a un costo mínimo entre
los silos y los molinos.

9. 1
2
3
1
2
3
4
Silos
Molinos
15
10
25
5
15
15
15
50 50EQUILIBRADO

10. OFERTA
DEMANDA
Camiones
cargados
Costos de
transporte
p/unidad (cij)
Cientos de
dólares

11. 1 2 3 4
1
10
x11
2
x12
20
x13
11
x14
15
2
12
x21
7
x22
9
x23
20
x24
25
3
4
x31
14
x32
16
x33
18
x34
10
5 15 15 15 50/50
Molino
Silo
Demanda
Oferta
Costo
p/unidad

12. 1 2 3 4
1
10
5
2
10
20 11
15
2
12 7
5
9
15
20
5
25
3
4 14 16 18
10
10
5 15 15 15 50/50Demanda
Oferta
𝒁 = 10 × 5 + 2 × 10 + 7 × 5 + 9 × 15 + 20 × 5 + 18 × 10
𝒁 = $520

13. ¿Qué variable
entra?
¿Aplicamos el
Método Simplex
Tabular?
¡Va a ser una
tablooota!

14. MÉTODO DE LOS
Multiplicadores

15. • Determinación de la variable de entrada de
entre las variables no básicas actuales.
Las que NO forman parte
de la solución básica
inicial (Valen cero).

16. Asociamos los multiplicadores 𝒖𝒊 y 𝒗𝒋 con la fila 𝒊 y la
columna 𝒋 de la tabla de transporte.
v1 v2 vj
u1 …
u2 …
… … … …
ui …
Tabla de
transporte
Columnas
Filas

17. Para cada variable básica actual xij, los
multiplicadores deben satisfacer las siguientes
ecuaciones:
𝒖𝒊 + 𝒗𝒋 = 𝒄𝒊𝒋
para cada 𝑥𝑖𝑗 básica
¡Que no cunda el pánico! Es
sólo un SISTEMA DE
ECUACIONES LINEALES.
No
entiendo…

18. 1 2 3 4
1
10
X11= 5
2
X12= 10
20 11
15
2
12 7
X22= 5
9
X23= 15
20
X24= 5
25
3
4 14 16 18
X34= 10
10
5 15 15 15Demanda
Oferta
Continuando con el ejemplo…
La solución inicial tiene
6 variables básicas
6 ecuaciones con 7
incógnitas

19. v1 v2 v3 v4
u1
10
X11= 5
2
X12= 10
20 11
15
u2
12 7
X22= 5
9
X23= 15
20
X24= 5
25
u3
4 14 16 18
X34= 10
10
5 15 15 15
Oferta
Asociamos los multiplicadores
correspondientes a cada fila y columna.
Procedemos a plantear la ecuación para
cada una de las variables básicas.
Demanda

20. Variable
básica
Ecuación
(u, v)
Solución
𝒙 𝟏𝟏 𝑢1 + 𝑣1 = 10 𝑢1 = 0 𝑣1 = 10
𝒙 𝟏𝟐 𝑢1 + 𝑣2 = 2 𝑢1 = 0 𝑣2 = 2
𝒙 𝟐𝟐 𝑢2 + 𝑣2 = 7 𝑣2 = 2 𝑢2 = 5
𝒙 𝟐𝟑 𝑢2 + 𝑣3 = 9 𝑢2 = 5 𝑣3 = 4
𝒙 𝟐𝟒 𝑢2 + 𝑣4 = 20 𝑢2 = 5 𝑣4 = 15
𝒙 𝟑𝟒 𝑢3 + 𝑣4 = 18 𝑣4 = 15 𝑢3 = 3
Para resolver estas ecuaciones, el método de
multiplicadores requiere que cualquiera de
ellos se iguale a cero.
Arbitrariamente
establecemos 𝒖 𝟏 = 𝟎
Sólo es cuestión de
realizar DESPEJES
SENCILLOS

21. 𝒖 𝟏 = 𝟎 𝒗 𝟏 = 𝟏𝟎
𝒖 𝟐 = 𝟓 𝒗 𝟐 = 𝟐
𝒖 𝟑 = 𝟑 𝒗 𝟑 = 𝟒
𝒗 𝟒 = 𝟏𝟓
Los valores de los multiplicadores son:

22. NO BÁSICAS
Aplicamos la
siguiente fórmula:
𝒖𝒊 + 𝒗𝒋 − 𝒄𝒊𝒋
para cada 𝑥𝑖𝑗 NO básica
Ahora, evaluaremos las variables NO básicas
del problema de la SunRay Transport.

23. Variable
NO básica
𝒖𝒊 + 𝒗𝒊 − 𝒄𝒊𝒋
𝐱 𝟏𝟑 𝑢1 + 𝑣3 − 𝑐13 = 0 + 4 − 20 = −16
𝐱 𝟏𝟒 𝑢1 + 𝑣4 − 𝑐14 = 0 + 15 − 11 = 4
𝐱 𝟐𝟏 𝑢2 + 𝑣1 − 𝑐21 = 5 + 10 − 12 = 3
𝐱 𝟑𝟏 𝑢3 + 𝑣1 − 𝑐31 = 3 + 10 − 4 = 𝟗
𝐱 𝟑𝟐 𝑢3 + 𝑣2 − 𝑐32 = 3 + 2 − 14 = −9
𝐱 𝟑𝟑 𝑢3 + 𝑣3 − 𝑐33 = 3 + 4 − 16 = −9
Entra

24. Lo anterior equivale en realidad a calcular la
fila Z de la tabla simplex:
Básica 𝒙 𝟏𝟏 𝒙 𝟏𝟐 𝒙 𝟏𝟑 𝒙 𝟏𝟒 𝒙 𝟐𝟏 𝒙 𝟐𝟐 𝒙 𝟐𝟑 𝒙 𝟐𝟒 𝒙 𝟑𝟏 𝒙 𝟑𝟐 𝒙 𝟑𝟑 𝒙 𝟑𝟒
𝑍 0 0 -16 4 3 0 0 0 9 -9 -9 0
Como el modelo minimiza el
costo, la variable de entrada
es la que tiene el coeficiente
más positivo en la fila Z → x31
ENTRA

25. • La variable que entra es la que tiene el
valor 𝑪𝒋 − 𝒁𝒋 MÁS NEGATIVO.
𝐶 𝐵 𝑽 𝑩 Sol. 𝒙 𝟏𝟏 𝒙 𝟏𝟐 𝒙 𝟏𝟑 𝒙 𝟏𝟒 𝒙 𝟐𝟏 𝒙 𝟐𝟐 𝒙 𝟐𝟑 𝒙 𝟐𝟒 𝒙 𝟑𝟏 𝒙 𝟑𝟐 𝒙 𝟑𝟑 𝒙 𝟑𝟒
.
.
.
𝐶𝑗 − 𝑍𝑗 520 0 0 16 -4 -3 0 0 0 -9 9 9 0
ENTRA
Cada unidad
transportada por la ruta
(3,1) reduce el costo de
transporte en $9

26. Los cálculos anteriores se suelen hacer
directamente en la tabla de transporte:
𝒗 𝟏 = 𝟏𝟎 𝒗 𝟐 = 𝟐 𝒗 𝟑 = 𝟒 𝒗 𝟒 = 𝟏𝟓
𝒖 𝟏 = 𝟎 x11=5
10
x12=10
2 20 11
15
-16 4
𝒖 𝟐 = 𝟓
12
x22=5
7
x23=15
9
x24=5
20
25
3
𝒖 𝟑 = 𝟑
4 14 16
x44=10
18
10
9 -9 -9
5 15 15 15
Demanda
Oferta

27. Con x31 identificada como la variable de
entrada, tenemos que determinar la variable
de salida.
Si x31 ENTRA en
la solución para
volverse básica…
Una de las variables básicas
actuales debe SALIR como
no básica (en el nivel cero).
¿QUÉ VARIABLE SALE?

28. Si la ruta (3,1) transporta 𝜃
unidades (𝑥13 = 𝜃), entonces el
valor máximo de 𝜽 se determina
con base en dos condiciones:
¿Cuánto es lo máximo que podemos
transportar a través de la nueva ruta?

29. Los límites de la oferta y los
requerimientos de la demanda
permanecen satisfechos.
CONDICIÓN 1
Los transportes a través de todas las rutas
permanecen no negativos.
CONDICIÓN 2

30. Primero
construimos un lazo
cerrado o el circuito
de 𝜽.
¡¿CIRCUITO?!

31. Requisitos:
Se inicia y termina en la celda de la variable
de entrada (3,1).
Se compone sólo de segmentos horizontales y
verticales conectados (no diagonales).

32. Los elementos de esquina deben coincidir
con una variable básica actual.
Asignar la cantidad 𝜽 a la celda de la
variable de entrada (3,1).
Alternar entre restar y sumar la cantidad 𝜃
en las esquinas sucesivas del lazo.
Lo último es para que los límites
de la oferta y la demanda
permanezcan satisfechos.

33. Oferta
𝒗 𝟏 = 𝟏𝟎 𝒗 𝟐 = 𝟒 𝒗 𝟑 = 𝟏𝟓 𝒗 𝟒 = 𝟏𝟓
𝒖 𝟏 = 𝟎
10 2 20 11
15𝟓 − 𝜽 𝟏𝟎 + 𝜽
̶ + -16 4
𝒖 𝟐 = 𝟓
12 7 9 20
25𝟓 − 𝜽 15 𝟓 + 𝜽
3 ̶ +
𝒖 𝟑 = 𝟑
4 14 16 18
10𝜽 𝟏𝟎 − 𝜽
+ 9 -9 -9 ̶
5 15 15 15Demanda

34. VALOR MÁXIMO PARA 𝜽
𝜽 ≥ 𝟎
Los nuevos valores de
todas las variables deben
permanecer no negativos.
𝒙 𝟏𝟏 = 5 − 𝜃 ≥ 0
𝒙 𝟐𝟐 = 5 − 𝜃 ≥ 0
𝒙 𝟑𝟒 = 10 − 𝜃 ≥ 0
El valor máximo
correspondiente
de 𝜽 es 5

35. Entonces…
¿Cuál sale?
Seleccionamos arbitrariamente 𝒙 𝟏𝟏 como
la variable de salida.
Ajustamos los valores de las variables
básicas en las esquinas del lazo cerrado
para aceptar 𝒙 𝟑𝟏 = 𝟓.
Puede ser cualquiera de
las dos: 𝒙 𝟏𝟏 o 𝒙 𝟐𝟐.

36. Oferta
𝒗 𝟏 = 𝟏𝟎 𝒗 𝟐 = 𝟒 𝒗 𝟑 = 𝟏𝟓 𝒗 𝟒 = 𝟏𝟓
𝒖 𝟏 = 𝟎
10 2 20 11
15𝟓 − 𝟓 𝟏𝟎 + 𝟓
̶ + -16 4
𝒖 𝟐 = 𝟓
12 7 9 5 20
25𝟓 − 𝜽 15 𝟓 + 𝟓
3 ̶ +
𝒖 𝟑 = 𝟑
4 14 16 18
10𝜽 = 𝟓 𝟏𝟎 − 𝟓
+ 9 -9 -9 ̶
5 15 15 15Demanda
0 15
0 10
5

37. 𝒁 = $520 − $9 × 5 = $520 − $45
𝒙 𝟑𝟏 = 𝟓 y dado que
cada unidad de 𝑥31
reduce el costo en $𝟗.
𝒁 = $𝟒𝟕𝟓
¡PERO AÚN NO TERMINAMOS! Bueno… no lo
sabemos. Es necesario calcular los
multiplicadores para esta nueva distribución:

38. 𝒗 𝟏 = 𝟏 𝒗 𝟐 = 𝟐 𝒗 𝟑 = 𝟒 𝒗 𝟒 = 𝟏𝟓
𝒖 𝟏 = 𝟎
10 2 20 11
15𝟏𝟓
-9 -16 4
𝒖 𝟐 = 𝟓
12 7 9 20
25𝟎 15 𝟏𝟎
-6
𝒖 𝟑 = 𝟑
4 14 16 18
10𝟓 𝟓
-9 -9
5 15 15 15
Oferta
Demanda
Aún hay un valor positivo de
𝑢𝑖 + 𝑣𝑗 − 𝑐𝑖𝑗. Por lo tanto, 𝑥14
entra a la base.

39. 𝒗 𝟏 = 𝟏 𝒗 𝟐 = 𝟐 𝒗 𝟑 = 𝟒 𝒗 𝟒 = 𝟏𝟓
𝒖 𝟏 = 𝟎
10 2 20 11
15𝟏𝟓 − 𝜽 𝜽
-9 ̶ -16 + 4
𝒖 𝟐 = 𝟓
12 7 9 20
25𝟎 + 𝜽 15 𝟏𝟎 − 𝜽
-6 + ̶
𝒖 𝟑 = 𝟑
4 14 16 18
10𝟓 𝟓
-9 -9
5 15 15 15Demanda
𝜽 = 𝟏𝟎
𝟏𝟎 − 𝟏𝟎𝟎 + 𝟏𝟎
𝟏𝟓 − 𝟏𝟎
Oferta
Notamos que el valor
máximo para 𝒙 𝟏𝟒 es 10.

40. Oferta
Demanda
Todos los valores de 𝑢𝑖 + 𝑣𝑗 − 𝑐𝑖𝑗 son negativos.
Por lo tanto, se llegó a la solución óptima.
𝒗 𝟏 = −𝟑 𝒗 𝟐 = 𝟐 𝒗 𝟑 = 𝟒 𝒗 𝟒 = 𝟏𝟏
𝒖 𝟏 = 𝟎
10 2 20 11
15𝟓 10
-13 -16
𝒖 𝟐 = 𝟓
12 7 9 20
25𝟏𝟎 15
-10 -4
𝒖 𝟑 = 𝟕
4 14 16 18
10𝟓 𝟓
-5 -5
5 15 15 15

41. 𝒁 = $475 − $4 × 10 = $475 − $40
𝒙 𝟏𝟒 = 𝟏𝟎 y dado que
cada unidad de 𝑥14
reduce el costo en $𝟒.
𝒁 = $𝟒𝟑𝟓

42. Para obtener un costo
mínimo de $𝟒𝟑𝟓 se
recomienda a la SunRay
Transport realizar la
distribución de grano de la
siguiente manera:
Del
silo
Al
molino
Cantidad de
camiones
cargados
1 2 5
1 4 10
2 2 10
2 3 15
3 1 5
3 4 5

43. ¡Gracias!