El documento presenta información sobre movimiento forzado. Explica que es un movimiento periódico de un cuerpo que oscila a ambos lados de su posición de equilibrio debido a una fuerza externa. También describe la ecuación diferencial que modela este movimiento y cómo resolverla para diferentes casos, incluyendo fuerzas periódicas y la resonancia que ocurre cuando la frecuencia forzada coincide con la frecuencia natural del sistema.

2. Conformado por:
Alexis Zavala.
Guillermo Ibañez.
Angel lorenzo.
Eric
Sergio Rodriguez.

4. Que es el movimiento forzado?
movimiento periódico en el que un cuerpo
oscila
a un lado y a otro de su posición de
equilibrio, en dirección determinada.

5. Cuales son?
Si la frecuencia de excitación es muy pequeña (lo que equivale
a que se hace oscilar el extremo superior del muelle muy
lentamente), el muelle oscila prácticamente en fase con la
excitación y con su misma amplitud.
Si la frecuencia de excitación coincide con la frecuencia
característica del muelle, la amplitud de oscilación va creciendo
cada vez más (resonancia); en este caso, las oscilaciones del
muelle están retrasadas alrededor de un cuarto de período
respecto a la excitación.
Si la frecuencia de excitación es muy alta, el resonador oscila
con una amplitud muy pequeña y casi en oposición de fase.

6. Con amortiguamiento y con una fuerza
externa que actúa sobre una masa
oscilante sujeta a un resorte, como por
ejemplo una fuerza impulsora f(t), al
formular la segunda ley de Newton se
obtiene la ecuación que describe el
movimiento forzado:

7. 𝐹𝑛𝑒𝑡𝑎 = 𝑚 ∗ 𝑎
𝑚
𝑑2 𝑥
𝑑𝑡2
= −β
𝑑𝑥
𝑑𝑡
− 𝑘𝑥 + 𝑓(𝑡)
Dividiendo para la masa:
𝑑2 𝑥
𝑑𝑡2
+ 2λ
𝑑𝑥
𝑑𝑡
+ ω2 𝑥 = 𝐹(𝑡)
𝑑2
𝑥
𝑑𝑡2
+
β
𝑚
𝑑𝑥
𝑑𝑡
+
𝑘
𝑚
𝑥 =
𝑓(𝑡)
𝑚
𝑚
𝑑2
𝑥
𝑑𝑡2
+ β
𝑑𝑥
𝑑𝑡
+ 𝑘𝑥 = 𝑓(𝑡)
β
𝑚
= 2λ ;
𝑘
𝑚
= ω2 ; 𝐹 𝑡 =
𝑓(𝑡)
𝑚
Como ya vimos:

8. Esta última ecuación no homogénea
se puede resolver indistintamente por
el método de coeficientes
indeterminados o por el método de
variación de parámetros.
𝑑2
𝑥
𝑑𝑡2
+ 2λ
𝑑𝑥
𝑑𝑡
+ ω2
𝑥 = 𝐹(𝑡)

9. Cuando f es una función periódica como:
𝑓 𝑡 = 𝑓0 cos γ𝑡
o
𝑓 𝑡 = 𝑓0 sen γ𝑡
la solución general de la ecuación
consiste en:
𝑥 = 𝑇é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑖𝑡𝑜𝑟𝑖𝑜 + 𝑇é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑟𝑖𝑜
𝑑2 𝑥
𝑑𝑡2
+ 2λ
𝑑𝑥
𝑑𝑡
+ ω2 𝑥 = 𝑓(𝑡)

10. Sin amortiguamiento y con una fuerza externa
que es periódica y que tiene la forma:
𝑓 𝑡 = 𝑓0 cos γ𝑡
la ecuación diferencial que describe el
movimiento es:
𝑑2
𝑥
𝑑𝑡2
+ ω2
𝑥 =
𝑓0
𝑚
cos γ𝑡
Donde:
ω
2π
es la frecuencia natural del sistema, y
γ es la frecuencia de la fuerza aplicada

11. Se presentan 2 posibilidades:
1. ω ≠ γ
La solución tiene la forma:
𝑥 = 𝑐1 cos ω𝑡 + 𝑐2 sen ω𝑡 +
𝑓0
𝑚(ω2 − γ2)
que es la suma de dos funciones.
2. ω = γ
Este caso se conoce como resonancia y la ecuación diferencial del
movimiento es:
𝑑2
𝑥
𝑑𝑡2
+ ω2 𝑥 =
𝑓0
𝑚
cos γ𝑡
La solución es del tipo:
𝑥 = 𝑐1 cos ω𝑡 + 𝑐2 sen ω𝑡 +
𝑓0
2𝑚ω
La suma de los 2 primeros términos es una función periódica, pero
el tercer término representa una solución con amplitud creciente, lo
que da oscilaciones no acotadas . Este fenómeno se llama
resonancia pura.

12. Interpretar y resolver la ecuación diferencial:
1
5
𝑑2 𝑥
𝑑𝑡2
+ 1.2
𝑑𝑥
𝑑𝑡
+ 2𝑥 = 5 cos 4𝑡
𝐿 𝑥 = 0: 𝑚2
+ 6𝑚 + 10 = 0
𝑥 0 =
1
2
, 𝑥′ 0 = 0
𝑚 =
1
5
; β = 1.2; 𝑘 = 2; 𝑓 𝑡 = 5 cos 4𝑡
𝑚
𝑑2
𝑥
𝑑𝑡2
+ β
𝑑𝑥
𝑑𝑡
+ 𝑘𝑥 = 𝑓(𝑡)
𝑑2 𝑥
𝑑𝑡2
+ 6
𝑑𝑥
𝑑𝑡
+ 10𝑥 = 25 cos 4𝑡
Multiplicando por 5 la ecuación inicial:

13. α = −3; β = 1
𝑥ℎ = 𝑒−3𝑡(𝑐1 cos 𝑡 + 𝑐2 sen 𝑡)
𝑚1 = −3 − 𝑖; 𝑚2 = −3 + 𝑖
𝐿 𝑥 = 25 cos 4𝑡 : 𝑥 𝑝 = A cos 4𝑡 + 𝐵 sen 4𝑡
𝑥′ 𝑝 = −4A sen 4𝑡 + 4𝐵 cos 4𝑡
𝑥′′ 𝑝 = −16A cos 4𝑡 − 16𝐵 sen 4𝑡
𝑑2 𝑥
𝑑𝑡2
+ 6
𝑑𝑥
𝑑𝑡
+ 10𝑥 = 25 cos 4𝑡
−6𝐴 + 24𝐵 cos 4𝑡 + −24𝐴 − 6𝐵 sen 4𝑡 = 25 cos 4𝑡
Reemplazando y reduciendo términos semejantes:
−6𝐴 + 24𝐵 = 25
−24𝐴 − 6𝐵 = 0
El sistema a resolver es:
A = −
25
102
; 𝐵 =
50
51
𝑥 𝑝 = −
25
102
cos 4𝑡 +
50
51
sen 4𝑡

14. 𝑥 = 𝑥ℎ + 𝑥 𝑝
𝑥 = 𝑒−3𝑡(𝑐1 cos 𝑡 + 𝑐2 sen 𝑡) −
25
102
cos 4𝑡 +
50
51
sen 4𝑡
𝑥′
= −3𝑒−3𝑡
𝑐1 cos 𝑡 + 𝑐2 sen 𝑡 + 𝑒−3𝑡
−𝑐1 sen 𝑡 + 𝑐2 cos 𝑡 +
50
51
sen 4𝑡 +
200
51
cos 4𝑡
𝑥 0 =
1
2
;
1
2
= 𝑐1 −
25
102
; 𝑐1 =
38
51
𝑥′ 0 = 0; 0 = −3𝑐1 + 𝑐2 +
200
51
; 𝑐2 = 3
38
51
−
200
51
; 𝑐2 = −
86
51
𝑥(𝑡) = 𝑒−3𝑡
(
38
51
cos 𝑡 −
86
51
sen 𝑡) −
25
102
cos 4𝑡 +
50
51
sen 4𝑡

15. Interpretar y graficar:
𝑑2 𝑥
𝑑𝑡2
+ 2
𝑑𝑥
𝑑𝑡
+ 2𝑥 = 4 cos 𝑡 + 2 sen 𝑡 ; 𝑥 0 = 0, 𝑥′ 0 = 3
λ = 1; ω2 = 2; λ2 − ω2 = 1 − 2 = −1 < 0
La solución homogénea es del tipo:
𝑑2 𝑥
𝑑𝑡2
+ 2λ
𝑑𝑥
𝑑𝑡
+ ω2 𝑥 = 𝐹(𝑡)
Sist. subamortiguado
𝑥 = 𝑒−λ𝑡
(𝑐1 cos ω2 − λ2 𝑡 + 𝑐2 sen ω2 − λ2 𝑡)
𝑥ℎ = 𝑒−𝑡(𝑐1 cos 𝑡 + 𝑐2 sen 𝑡)
𝑥 𝑝 = A cos 𝑡 + 𝐵 sen 𝑡
𝐿 𝑥 = 4 cos 𝑡 + 2 sen 𝑡 :

16. 𝑥′ 𝑝 = −A sen 𝑡 + 𝐵 cos 𝑡
𝑥′′ 𝑝 = −A cos 𝑡 − 𝐵 sen 𝑡
𝐴 + 2𝐵 cos 𝑡 + −2𝐴 + 𝐵 sen 𝑡 = 4 cos 𝑡 + 2 sen 𝑡
Reemplazando y reduciendo términos semejantes:
𝑑2
𝑥
𝑑𝑡2
+ 2
𝑑𝑥
𝑑𝑡
+ 2𝑥 = 4 cos 𝑡 + 2 sen 𝑡
𝐴 + 2𝐵 = 4
−2𝐴 + 𝐵 = 2
A = 0; 𝐵 = 2
𝑥 𝑝 = 2 sen 𝑡
𝑥 = 𝑥ℎ + 𝑥 𝑝
𝑥 = 𝑒−𝑡 𝑐1 cos 𝑡 + 𝑐2 sen 𝑡 + 2 sen 𝑡
𝑥′ = −𝑒−𝑡 𝑐1 cos 𝑡 + 𝑐2 sen 𝑡 + 𝑒−𝑡 −𝑐1 sen 𝑡 + 𝑐2 cos 𝑡 + 2 cos 𝑡
𝑥 0 = 0: 0 = 𝑐1
𝑥′ 0 = 3: 3 = −𝑐1 + 𝑐2 + 2; 𝑐2 = 1

17. 𝑥 = 𝑒−𝑡 sen 𝑡 + 2 sen 𝑡
T. Transitorio T. estacionario