Este documento describe un modelo matemático para un sistema de calentamiento de fluidos. El sistema consiste en un tanque agitado con un serpentín de calentamiento de vapor, donde un fluido ingresa a una temperatura inicial y se calienta hasta una temperatura deseada antes de salir. El documento establece las ecuaciones que relacionan el flujo de calor, la capacidad calorífica del fluido, y las temperaturas de entrada y salida para modelar cómo cambia la temperatura dentro del tanque con el tiempo.

1. El Control Automático :
INGENIERIA EN ENERGIA
MODELOS DE SISTEMAS :
MECANICOS, ELECTRICOS, FLUIDICOS,
TERMICOS, ELECTROMECANICOS,
HIDROMECANICOS
RESPUESTAS DEL SISTEMA:
SISTEMAS DE PRIMER ORDEN
SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN

2. El Control Automático y la Teoría de Sistemas
El control automático a diferencia de la
química, la física, la geología, no posee una
metodología bien establecida, tal como:
• Experimentación
• Teoría
• Verificación

3. El Control Automático y la Teoría de Sistemas
El control automático al igual que otras
ciencias de la ingeniería actual trata con
Sistemas Complejos
Por ello el control automático pertenece a la
Teoría de Sistemas.

4. El Control Automático y la Teoría de Sistemas
¿Qué es un sistema?
Un sistema es cualquier objeto (real o conceptual)
que consta de
• Componentes
• Estructura
• Entorno

5. El Control Automático y la Teoría de Sistemas
¿Qué es un modelo?
Construcción abstracta (conjunto de reglas)
con un objetivo:
• Describir el sistema en cuestión
• Determinar lo que se puede hacer con él
• Determinar cómo alcanzar objetivos

6. El Control Automático y la Teoría de Sistemas
La Teoría de Sistemas no trata directamente
con el mundo real sino con
Modelos del mundo real
Obtenidos a partir de las ciencias básicas

7. Modelos
Los Modelos pueden ser:
• Físicos
• Lógico-Matemáticos
• Gráficos

8. Modelos
Los modelos no son únicos y dependen de los
objetivos para los cuales los construimos.
Por ello un mismo sistema puede admitir
muchos modelos distintos.
Ejemplo: una resistencia eléctrica se puede ver
como un atenuador de corriente o como un
calefactor, o como un objeto decorativo,…etc.

9. Modelos
Los modelos matemáticos pueden ser:
• Estáticos: Ecuaciones algebraicas
• Dinámicos: Ecuaciones diferenciales

10. Modelos
Ejemplo: Motor de corriente directa
controlado por armadura.
Modelo Estático: ω = Kv
v ω
K

11. Modelos
Modelo Dinámico:
dω
T + ω = Kv
dt
v ω=
K ω
Ts + 1

12. Modelos de SISTEMAS MECANICOS
Las formas básicas son:
Resortes (k) : INDUCTANCIA = INERTANCIA
Amortiguadores (b) : RESISTENCIA (PISTON)
Masas : CAPACITANCIA
Fuerza de
entrada
f(t)
z(t)
m
Desplazamiento,
salida del sistema
b
k

13. Modelos de SISTEMAS ELECTRICOS
Las formas básicas son:
Resistencia
Capacitancia
Inductancia

14. Modelos de SISTEMAS ELECTRICOS :
RESISTENCIA

15. Modelos de SISTEMAS ELECTRICOS:
CAPACITOR

16. Modelos de SISTEMAS ELECTRICOS:
INDUCTOR

17. RELACION DE ENTRADAS Y SALIDAS
En general las ecuaciones que definen las
características de los bloques funcionales eléctricos,
considera los siguiente:
a) La entrada es una corriente y la salida es una
diferencia de potencial.
b) La entrada es una diferencia de potencial y la salida
es una corriente.
c) La entrada es una diferencia de potencial y la salida
es una diferencia de potencial.

18. Práctica Calificada
1. Determinar un modelo para los siguientes sistemas.
i 100 Ω
120 Ω
+-
V 150 Ω 20 Ω
50 Ω
10 Ω

19. CIRCUITO ELECTRICO RLC
di (t ) 1
ei (t ) = L
dt
+ Ri (t ) +
C∫i (t )dt
1
C ∫
i (t )dt = eo (t )

20. CIRCUITO RLC
di (t ) 1 1
ei (t ) = L
dt
+ Ri (t ) + ∫C
i (t )dt
C ∫i (t )dt = eo (t )
Aplicando la transformada de Laplace
1 1
E i ( s ) = LsI ( s ) + RI ( s ) + I (s) I ( s ) = Eo ( s )
Cs Cs
Combinando las ecuaciones (despejando para I(s))
1
E i ( s ) = Ls[ CsEo ( s )] + R[ CsEo ( s )] + [ CsEo ( s)]
Cs
[
E i ( s ) = Eo ( s ) LCs 2 + RCs + 1 ]
Eo ( s ) 1
=
Ei ( s ) LCs 2 + RCs + 1

21. Modelos de SISTEMAS
FLUIDICOS
Los sistemas fluídicos se puede considerar en dos categorías:
Hidráulicas : El fluído es un líquido, incompresible
Neumáticos: El fluido es un gas, compresible.
Las formas básicas son:
Resistencias Hidráulicas
Capacitancia Hidráulica
Inertancia(Inercia) Hidráulica (Inductancia)

22. MODELACIÓN MATEMÁTICA SISTEMA HIDRAULICO
RESISTENCIA HIDRAULICA
P1
P2
La resistencia hidráulica es la resistencia a fluir que se
presenta como resultado de un flujo de líquido a través de
válvulas o cambio de diámetros de las tuberías. La relación
entre la razón de flujo volumétrico q del líquido a través de
un elemento resistivo y la resultante diferencia de presiones
(P1-P2) es
P1 - P2 = Rq
Donde R es una constante llamada Resistencia Hidráulica

23. MODELACIÓN MATEMÁTICA Nivel en un tanque,
CAPACITANCIA HIDRAULICA
dh(t ) dh(t )
qi (t ) − qo (t ) = A qi (t ) − o (t ) =A
q
dt dt
h(t ) p =hdg
R=
qo (t ) Adp
qi (t ) − o (t ) =
q
1 dh(t ) dgdt
qi (t ) − h(t ) = A
R dt A
qi(t) C = CAPACITANCIA
dg
Flujo de
entrada dp
qi (t ) − o (t ) =C
q
dt
h(t)
A Flujo que entra – Flujo que sale =
(área del qo(t) Acumulamiento
tanque) R Flujo de
(resistencia salida
de la válvula)

24. Modelos de SISTEMAS
TERMICOS
Los sistemas térmicos solo tiene dos bloques:
RESISTENCIA y CAPACITANCIA.
Solo hay flujo de calor neto entre dos puntos si hay una
diferencia de temperatura entre ellos. Si q es la razón de flujo
de calor y (T1-T2), la diferencia de temperatura, entonces
q = (T2-T1)
R
El valor de la resistencia depende del modo en que
transfiere el calor

25. Modelos de SISTEMAS
TERMICOS
En la conducción
q = Ak(T2-T1)
L
R= L
Ak
En la convección
q = Ah(T2-T1)
R= 1/hA

26. Modelos de SISTEMAS
TERMICOS
La capacitancia térmica es el almacenamiento de la energía interna en
un sistema. De este modo, si la razón de flujo de calor en el interior de
un sistema es q1 y la razón de flujo de calor que sale es q2, entonces
Tasa de cambio de energía interna = q1-q2
Un incremento rn la energía interna significa un incremento de la
temperatura. Por lo tanto
Cambio de la energía interna = mcxcambio de temperatura
m= masa c= capacidad calorífica específica
q1-q2 = mcdT mc= Capacitancia térmica C
dt
q1-q2 = CdT mc= Capacitancia térmica C
dt

27. PRACTICA CALIFICADA
Modelar un sistema térmico constituido por un termómetro a
una tempertura T, que se sumerge en un líquido que está a
una temperatura Tl. Considerar la resistencia térmica al flujo
de calor del líquido al termómetro como R.
Modelar un sistema térmico que consta de un calefactor
eléctrico en una habitación. El calefactor emite calor a la
razón de q1 y la habitación pierde calor a q2. Suponer que el
aire en la habitación está a una temperatura uniforme T y que
no se almacena calor en las paredes. Obtener la ecuación que
describa como cambiará con el tiempo la temperatura en la
habitación.

28. Modelos ELEMENTOS
ELECTROMECANICOS
EL POTENCIOMETRO, tiene una entrada que es una
rotación y una salida que es una diferencia de potencial
EL MOTOR, tiene la entrada una diferencia de potencial
y como salida una diferencia de potencial
EL GENERADOR, tiene como entrada la rotación del eje
y como salida una diferencia de potencial

29. ESTABLECER UN MODELO MATEMATICO. Se dispone de una corriente de
liquido a razón de W (kg/h) y una temperatura Ti (oK). Se desea calentar esta
corriente hasta una temperatura TR (oK) según el sistema de calentamiento
mostrado en la Fig. 1.1. El fluido ingresa a un tanque bien agitado el cual esta
equipado con un serpentín de calentamiento mediante vapor. Se asume que la
agitación es suficiente para conseguir que todo el fluido en el tanque esté a la
misma temperatura T. El fluido calentado es removido por el fondo del tanque
a razón de W (kg/h) como producto de este proceso de calentamiento. Bajo
estas condiciones la masa de fluido retenido en el tanque permanece
constante en el tiempo y la temperatura del efluente es la misma que del
fluido en el tanque. Por un diseño satisfactorio esta temperatura debe ser TR.
El calor específico del fluido es Cp, se asume que permanece constante,
independiente de la temperatura.