calidad

1. Ejemplo 17.3
Ejemplo 17.4
En el caso del ejemplo 17.2, en el que se quiere conocer la opinión de los empleados sobre cierta medida
administrativa,
si se presupone que tal opinión está relacionada con el departamento en el que labora cada trabajador,
entonces
es mejor obtener información sobre cuál es la opinión en cada departamento. Para ello se aplica el muestreo
por
estratos (departamentos).
Suponga que se tienen tres departamentos, denominados A, B y C, con 100, 100 y 200 empleados,
respectivamente.
Entonces, en lugar de elegir a 50 personas, conviene incrementar un poco el tamaño de muestra para captar
mejor la información a nivel estrato, por ello se decide que la muestra total tenga 60 empleados,
seleccionados de
forma proporcional al tamaño del departamento. Por tanto, de los departamentos A y B se seleccionan 15
individuos
de cada uno y del C un total de 30.
Para hacer la selección dentro de cada departamento se aplica el muestreo aleatorio simple. El análisis de la
opinión
que se tiene sobre la medida administrativa se debe hacer por departamento, y hay forma apropiadas de
combinar la formación
por estrato para hacer una inferencia sobre algún parámetro para toda la población (vea Scheaffer et al.
1986).
Suponga que al fi nal del proceso de llenado de bolsas de harina se requiere evaluar el funcionamiento del
proceso de
envasado para asegurar que las bolsas contengan una cierta cantidad de harina. Como resulta costoso y
tardado pesar
cada una de las bolsas de harina, es necesario evaluar el funcionamiento del proceso de envasado sólo con
base
en una cierta muestra (parte) del total de bolsas. Obviamente, el peso de las bolsas de harina es variable, a
pesar de
que se usa el mismo método de llenado. La variabilidad se debe a que las 6M del proceso son variables (la
materia
prima es variable, el medio ambiente, las personas, las mediciones, los métodos, y los equipos tienen
variaciones).
Cada máquina envasa 5000 bolsas aproximadamente por turno de ocho horas. Y se encuentra razonable
inspeccionar
sólo 40 bolsas por turno para estar monitoreando que el peso sea el correcto. De esta manera se tiene la
necesidad
de seleccionar las 40 bolsas de tal forma que sean representativas del peso de las bolsas envasadas por una
máquina en un turno. Lo adecuado aquí es aplicar el muestreo sistemático, en el que la lista de artículos está
dada por
la secuencia natural en la que son llenadas las bolsas. Un modo de tener las 40 bolsas en ocho horas sería
obtener
una cada 12.5 minutos. Sin embargo, esta estrategia de selección tiene el inconveniente de que, aunque el
proceso
de llenado esté funcionando mal cuando se toma una bolsa, es probable que no lo detecte con una sol a. Por
ello es
preferible que se tomen más bolsas en cada ocasión, aunque la selección sea más espaciada.
Concretamente, aquí
tal vez la mejor solución sea tomar cinco bolsas consecutivas cada hora y estar analizando los pesos en una
carta de
control X
–
2R (vea el capítulo 14). De esta manera, al inicio del turno se selecciona un número entre 0 y 60; suponga
que es el 27, entonces al minuto 27 de iniciado el proceso de envasado se eligen las primeras cinco bolsas de
harina
a pesar; las siguientes cinco se escogen una hora después y así sucesivamente hasta terminar el turno. Al
siguiente
día, nuevamente se aleatoriza el minuto en el que se elige la primera muestra de cinco bolsas.
Si el proceso de llenado no es continuo, entonces el intervalo de muestreo puede estar dado por otras
circunstancias,

2. por ejemplo, por el número de bolsas envasadas.
muestreo aleatorio
Índices para los planes de muestreo de aceptación
En una relación cliente-proveedor en la que hay un plan de muestreo de aceptación de por
medio,
hay dos intereses: por un lado, el proveedor quiere que todos los lotes que cumplen con un
nivel de
Probabilidad de aceptar el lote, Pa
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10
Proporción de artículos defectuosos en el lote, p
N 5 inf n 5 80 c 5 1
N 5 800 n 5 80 c 5 1
N 5 200 n 5 80 c 5 1
curvas CO tipo B
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Índices para los planes de muestreo de aceptación ❚ 315
calidad adecuado sean aceptados, y por el otro, el cliente desea que todos los lotes que no
tienen un
nivel de calidad aceptable sean rechazados. Desafortunadamente, ambos intereses no
pueden satisfacerse
de manera simultánea por un plan de muestreo de aceptación y explicamos la razón de ello
cuando vimos la curva CO ideal. Ante esta situación, lo que se hace para atender
parcialmente ambos
intereses es diseñar planes de muestreo que tengan alta probabilidad de aceptar lotes
“buenos” y
una baja probabilidad de aceptar lotes “malos”. El punto de partida para esto es defi nir índices
que
establezcan, para una situación específi ca, lo que se considerará como calidad aceptable,
intermedia
y no aceptable, con sus correspondientes probabilidades de aceptación. Esto se ve
enseguida.
• Nivel de calidad aceptable (NCA) (o AQL, del inglés aceptancing quality level). El NCA se
defi ne como el porcentaje máximo de unidades que no cumplen con la calidad especifi cada
y que, para propósitos de inspección por muestreo, se puede considerar como satisfactorio
o aceptable como un promedio para el proceso (al NCA también se le conoce como nivel
de calidad del productor). De acuerdo con lo anterior, si un lote tiene un nivel de calidad
igual al NCA, entonces la probabilidad de aceptarlo debe ser alta (0.90, 0.95) (vea la fi gura
18.8), y a esa probabilidad se le designa con 1 – a. Note que la probabilidad de aceptar lotes
con un NCA no es igual a 1 y, por tanto, hay un riesgo de no aceptar lo que se considera un
nivel de calidad satisfactorio. A este riesgo que tiene probabilidad igual a a, generalmente
pequeña (0.05, 0.10), se le conoce como riesgo del productor.
Debido a este riesgo, el NCA debe ser un nivel de calidad de referencia para el proceso de
producción
del productor y de ninguna manera un valor objetivo. Más aún, el productor debe buscar que
su proceso opere con un nivel mejor que el NCA.
• Niv e l de calidad límite (NCL) (o LQL, del inglés limiting quality level). Es el nivel de calidad
que se considera no satisfactorio y los lotes con este tipo de calidad deben ser rechazados

3. casi siempre. El NCL en algunos planes específi cos (por ejemplo, los “planes de muestreo
Dodge-Roming” que veremos más adelante) se conoce como porcentaje defectivo tolerado
del lote (PDLT) (o LTPD, del lot tolerant percent defective). Por lo antes dicho, si un lote
tiene calidad igual al NCL, entonces la probabilidad de aceptarlo debe ser muy baja
(generalmente
de 0.05, 0.10), y a esta probabilidad se le designa con la letra b (vea la fi gura 18.8).
Note que la probabilidad de aceptar lotes de calidad no satisfactoria (NCL) no es cero y, por
tanto, hay un riesgo de no rechazar este tipo de lotes. A este riesgo, que tiene probabilidad
igual a b, se le conoce como riesgo del consumidor.
nivel de calidad
aceptable (NCA)
riesgo del productor
nivel de calidad
límite (NCL)
porcentaje defectivo
tolerado del lote
(PDLT)
riesgo del
consumidor
Figura 18.8 Curva CO
con NCA 5 0.4%,
a 5 0.05, NCL 5 2.55%
y b 5 0.10.
Probabilidad de aceptar el lote, Pa NCA
12a
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
0.0 0.01 0.02 0.03 0.04
b
Proporción de artículos defectuosos en el lote, p
NCL
n 5 205. c 5 2
NCA 5 0.4%
NCL 5 2.55%
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316 ❚ CAPÍTULO DIECIOCHO Muestreo de aceptación
• Calidad promedio de salida (CPS) (o AOQ, del inglés average outgoing quality). Es la
calidad promedio que se alcanza después de aplicar el proceso de inspección. Este concepto
es una forma de medir el efecto de un plan de muestreo sobre la calidad que se tendrá tras
aplicar el plan.
Cuando un programa de muestreo de aceptación aplica inspección al 100% a los lotes
rechazados,
entonces la calidad de salida de esos lotes es perfecta (si no hay error de inspección), ya que
todas las unidades defectuosas de esos lotes se sustituyen por artículos buenos. Mientras que
en
los lotes que son aceptados, su calidad de salida después de la inspección puede mejorar un
poco,
Ejemplo 18.1
Un cliente plantea a su proveedor que sólo le envíe aquellos lotes que tengan un buen nivel de calidad y
deciden
establecer un plan de muestreo de aceptación simple por atributos. El tamaño del lote es grande. Se acuerda
un
NCA 5 0.4%, y que un lote con calidad igual a NCA tenga una probabilidad de aceptarse de 1 2 a 5 0.95. El
riesgo

4. del proveedor (productor) es a 5 0.05, ya que los lotes que tengan 0.4% de defectuosos, a pesar de tener
calidad
aceptable, tendrán probabilidad de no aceptarse de 0.05.
También acuerdan un NCL 5 2.55% y que los lotes con este nivel de calidad tengan una probabilidad de
aceptarse
de b 5 0.10. Con lo que el cliente (consumidor) está asumiendo un riesgo de b 5 0.10 de aceptar lotes de
calidad
pobre (2.55% de defectuosos).
Un plan de muestreo que cumple moderadamente bien los acuerdos anteriores es n 5205, c 5 2, como queda
claro con la curva CO de dicho plan (vea la fi gura 18.8). Es importante entender bien el funcionamiento de
este plan:
garantiza que los lotes que tengan un porcentaje de unidades defectuosas menor o igual al NCA 5 0.4% se
aceptarán
con facilidad. A medida que este porcentaje vaya siendo mayor, cada vez será menos probable que los lotes
correspondientes sean aceptados. En particular, si un lote tiene un porcentaje de 2.55%, entonces tendrá
probabilidades
de ser aceptado de apenas 0.10.
calidad promedio de
salida (CPS)
Figura 18.9 Curva para
la calidad promedio de
salida CPS, del plan
n 5 60, c 5 1.
Calidad promedio de salida, CPS
0.015
0.012
0.009
0.006
0.003
0.000
0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10
Calidad de entrada (p) en el lote
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Índices para los planes de muestreo de aceptación ❚ 317
porque las unidades defectuosas encontradas en la muestra se reemplazan por unidades
buenas. De
esta manera, independientemente de si el lote es aceptado o rechazado, la calidad que llega
al cliente
tiende a ser mejor que la que tenían los lotes antes de ser inspeccionados.
Por lo anterior, una forma de caracterizar la bondad de un plan de muestreo de aceptación es
calcular la calidad promedio de salida que genera. Este cálculo se hace de forma similar a
como
se obtiene la curva característica de operación, ya que para cada proporción de defectuosos
que
contiene el lote en la entrada se espera una proporción promedio de defectuosos de salida
(CPS).
Al grafi car la proporción de entrada, p, contra la proporción promedio de defectuosos después
de
la inspección, CPS, se obtiene una curva para la calidad promedio de salida (curva CPS). La fi
gura
18.9 muestra tal curva para el plan n 5 60, c 5 1.
Cuando se trata de un lote grande, la curva CPS se obtiene con la fórmula:
CPS 5 p 3 Pa
donde p es la proporción de defectuosos a la entrada del lote, y Pa la probabilidad de
aceptación de
tal lote que proporciona el plan de muestreo. De esta manera, si ya se tienen los cálculos para
la curva

5. CO, como en la tabla 18.2, entonces la obtención de CPS es directa, como se muestra en la
tabla
18.3. A partir de esta tabla se puede ver, por ejemplo, que si los lotes entran con una
proporción de
defectuosos de 0.04, 30.2% de ellos se aceptará. El restante 69.8% se rechazará y deberá
inspeccionarse
al 100%, eliminando las piezas defectuosas y sustituyéndolas por buenas, con lo que estos
lotes
llegarán al cliente con cero piezas defectuosas. Al fi nal de cuentas, si la calidad de entrada es
p 5 0.04,
la calidad promedio de salida que se entregará al cliente será de 0.01208, es decir, un
porcentaje de
piezas defectuosas de 1.2%.
• Límite de la calidad promedio de salida (LCPS) (o AOQL, del inglés average outgoing
quality limit). Es el valor máximo de la curva CPS y representa la peor calidad promedio
que puede obtenerse del programa de inspección. Por ejemplo, para el plan n 5 60, c 5 1,
y examinando la fi gura 18.9 y la tabla 18.3, se puede ver que el LCPS es aproximadamente
0.014; esto es, no importa qué tan mala sea la proporción de defectuosos en los lotes que
entran,
la calidad promedio de salida nunca será peor que 1.4% de defectuosos en promedio.
Desde luego, esto no signifi ca que el programa de inspección no genere lotes con calidad
peor que 1.4%, más bien se está hablando de un límite promedio que es válido después de
aplicar el programa de referencia a muchos lotes de un fl ujo continuo de producción.
Tabla 18.3 Calidad promedio de salida, CPS, plan n 5 60, c 5 1.
Proporción de artículos
defectuosos, p
Probabilidad de aceptación
Pa
Proporción de salida
CPS 5 p *Pa
0.000 1.0000 0.00000
0.001 0.9982 0.00099
0.005 0.9634 0.00481
0.010 0.8787 0.00878
0.015 0.7727 0.01159
0.020 0.6619 0.01323
0.030 0.4592 0.01377
0.040 0.3022 0.01208
0.050 0.1915 0.00957
0.060 0.1179 0.00707
0.080 0.0417 0.00333
0.100 0.0137 0.00137
límite de la calidad
promedio de salida
(LCPS)
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318 ❚ CAPÍTULO DIECIOCHO Muestreo de aceptación
• Inspección total promedio (ITP) (o ATI, del inglés average total inspection). Otro aspecto
importante para evaluar un plan de muestreo de inspección es la cantidad total de inspección
que requiere. Está claro que los lotes aceptados sólo requieren una cantidad de inspección
igual
al tamaño de la muestra, n. Mientras que los lotes rechazados se someten a 100% de
inspección,
por lo que la cantidad de inspección será igual al tamaño de lote, N. De esta manera,
la cantidad de inspección por lote va de un mínimo de n a un máximo de N. Si el lote es de
calidad p y la probabilidad de aceptación del lote es Pa, entonces la inspección total promedio
por lote es:

6. ITP 5 n 1 (1 – Pa)(N – n)
Por ejemplo, si se tiene un tamaño de lote de N 5 5000, y se aplica el plan n 5 60, c 5 1,
entonces para los lotes con una proporción de defectuosos de 0.04, se tiene que la Pa 5
0.3022
(tabla 18.3) y, por tanto,
ITP 5 60 1 (1 – 0.3022)(5000 – 60) 5 3507.13,
que es un número promedio de unidades inspeccionadas sobre muchos lotes con una
proporción
de defectuosos de p 5 0.04. Para cada proporción de defectuosos, p, en el lote de entrada se
puede
calcular ITP, y de esa forma obtener la curva para la ITP.
Diseño de un plan de muestreo simple con NCA
y NCL específi cos (método de Cameron)
Una forma lógica de regular una relación cliente-proveedor mediante un plan de muestreo de
aceptación
simple es diseñar planes que logren aceptar la calidad NCA con alta probabilidad y casi
nunca aceptar la calidad NCL (vea Schilling y Neubauer, 2009). Aquí veremos el método de
Cameron,
que se basa en la distribución de Poisson y que da una buena aproximación a la distribución
binomial. Este método se aplica con los siguientes pasos.
Especifi car los valores porcentuales deseados para NCA y NCL, con su correspondiente
probabilidad de aceptación, 1 – a y b, respectivamente.
Convertir estos porcentajes a proporciones, sea p1 5 NCA/100 y p2 5 NCL/100.
Calcular la razón de operación, Rc 5 p2/p1.
De acuerdo con los valores de a y b, buscar en la columna apropiada de la tabla 18.4 el
valor
R más cercano a Rc. Si en la tabla hay dos números R aproximadamente igual de cercanos a
Rc, elegir el menor.
Una vez ubicado el valor R en la tabla 18.4, el número de aceptación, c, se encuentra en el
mismo renglón que R en la columna de c hacia la izquierda de R.
En el mismo renglón en el que se localizó R, pero en la columna np1 a la derecha de R,
localizar
el valor de np1. El tamaño de muestra se encontrará al dividir ese valor entre p1.
Estos pasos se ilustran en el ejemplo 18.2.
Tabla 18.4 Tabla de Cameron para diseñar planes de muestreo simple. Donde a 5 a, y b 5 b.
Valores de R para: Valores de R para:
c
a 5 .05
b 5 .10
a 5 .05
b 5 .05
a 5 .05
b 5 .01 np1 c
a 5 .01
b 5 .10
a 5 .01