Este documento define los conceptos básicos de conjuntos, incluyendo elementos, cardinalidad, subconjuntos, complementos y el conjunto vacío. Un conjunto es una colección de objetos que comparten una característica común. Los elementos de un conjunto pueden aparecer en cualquier orden y los elementos repetidos solo se cuentan una vez. La cantidad de elementos de un conjunto se conoce como su cardinalidad. Los subconjuntos son conjuntos más pequeños formados por elementos de un conjunto original.

1. Definición de conjunto Un conjunto es una colección de objetos o elementos que poseen una o varias características en común. Los elementos pueden ser objetos tangibles como personas, artículos, cosas o pueden ser intangibles como números, letras, nombres etc. Los conjuntos se presentan con sus elementos encerrados entre dos corchetes { }. Por ejemplo si tomamos los elementos, *,+,X,$,%,@ podemos formar el conjunto… { *, +, x, s, $, %, @}

2. Definición de conjunto (cont.) A los conjuntos se les da nombre, generalmente con una letra mayúscula. Se usa un signo de igual (=) para señalar cual es el conjunto asociado a la letra. A = { *, +, x, s, $, %, @} Por tanto, podemos tener los siguientes conjuntos… B = { 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} C = { a,e,i,o,u} D = {pepe, maria, luis, mario, carlos, ivette} E = { carro, bola, canasto, casa, estrella }

3. Elementos de un conjunto Los elementos del conjunto son los objetos que están contenidos dentro del conjunto. Se utiliza el símbolo expresando que un elemento pertenece a un conjunto. En este ejemplo se expresa que dado el conjunto C = {a,e,i,o,u} el elemento a es elemento del conjunto C… a C Orden de los elementos en un conjunto El orden de los elementos dentro del conjunto no importa. Pueden aparecer en cuialquier orden, lo importante es que elementos hay. Asi que podemos decir que el conjunto… C = { a,e,i,o,u} es el mismo conjunto que C = (a,i,o,u,e} o C = {o,e,a,u,i} pues el orden de los elementos no importa.

4. Elementos que se repiten Si en un conjunto hubiere más de un elemento repetido, se descartan todos los elementos repetidos menos uno y se cuenta ese solo. En este ejemplo, dado el conjunto A = { $,#,*,a,b,c,$,1,2,3,$,#} los elementos $ y # se repiten, por tanto el conjunto en realidad debe ser A = { $,#,*,a,b,c,1,2,3} Observa que se han descartado dos $ y un # que se repetian.

5. Cardinalidad Cuando trabajamos con conjuntos, podemos contar la cantidad de elementos que tenemos en el conjunto. A esta cantidad se le da el nombre de cardinalidad . La cardinalidad se representa con el símbolo : n(Letra del conjunto) Asi que si tenemos el conjunto G = { x, y, z, w } con cuatro elementos, la cardinalidad del conjunto G se representa asi… n(G) = 4 porque en el conjunto G hay cuatro elementos.

6. Cardinalidad (cont.) Observa estos conjuntos y cuenta los elementos para que veas la cardinalidad de cada uno de ellos. Conjunto Cardinalidad B = { 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} n(B) = 10 C = { a, e, i, o, u} n(C) = 5 D = {pepe, maria, luis, mario, carlos, ivette} n(D) = 6 E = { carro, bola, canasto, casa,estrella } n(E) = 5 P = { PNP, PPD, PIP, PPP, PSP, PUP, PAC} n(P) = 7

7. Conjuntos iguales. Un conjunto es igual a otro cuando ambos tienen exactamente los mismos elementos. Por ejemplo, dados los conjuntos A = {x,y,z,1,2,3} y B ={ 1,2,4} se puede notar claramente que ambos conjuntos no tienen los mismos elementos, por tanto no son iguales. De igual manera, si tomamos los conjuntos … A = {2,4,6,8) B = { 8,4,6,2) C = { 6,4,2,8} estos conjuntos son claramente los mismos sin iimportar el orden en que estén. Esto se refleja con las siguientes igualdades.. A = B, B = C, C = A

8. Universo Cuando trabajamos con un conjunto, trabajamos con una colección de elementos que muestran una característica común entre ellos. Esa característica, puede ser una natural de los elementos como puede ser previamente definida por ti. Se establece en la teoría de conjuntos que entonces, hay un conjunto que contiene a todos los elementos posibles que cumplan con las características que tu hayas señalado Este conjunto se llama Universo y se identifica con la letra U.

9. Universo (cont.) En los ejemplos anteriores habíamos presentado conjuntos aislados sin definir un Universo. Veamos algunos ejemplos de conjuntos con su Universo. Universo U = { todos los estudiantes de ICPR } Conjuntos A = { los estudiantes de CIS 108 } B = { los estudiantes de Sistemas de Información} C = { las estudiantes de Artes Culinarias} Los conjuntos A, B y C contienen elementos que pertenecen al Universo que es el conjunto que contiene a todos los posibles elementos.

10. Universo (cont.) Otro ejemplo Universo U = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,0} Conjuntos A = { 5,4,6,7 } B = { 0,1,2,3} C = { 4,6,7,1,2,9,0} Los conjuntos A, B y C contienen elementos que pertenecen al Universo que es el conjunto que contiene a todos los posibles elementos.

11. Conjunto vacío Así como hay un conjunto que contiene todos los elementos posibles que un conjunto puede tener que se llama Universo ( U) , existe un conjunto que no contiene ningún elemento. Este conjunto se conoce como el conjunto vacío y se identifica con los corchetes vacíos { } o con el símbolo

12. Complemento del conjunto Cuando trabajamos con un conjunto, existe un universo (U) de donde salen todos los elementos del conjunto. Hay que tener presente que en el conjunto que estemos usando no van a estar todos los elementos del universo. Si fuera así, entonces el conjunto sería el universo. Se dice que los elementos del universo que no están en el conjunto que estamos usando forman otro conjunto que se conoce como el Complemento del Conjunto .

13. Complemento del conjunto(cont.) Si estamos trabajando con el conjunto A , el complemento del conjunto A se representa con la misma letra pero con una raya encima… A Así que si tenemos el universo U = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,0} y el conjunto A = { 0,1,2,3} El complemento de A será A = { 4,5,6,7,8,9,0}

14. Complemento del conjunto(cont.) Otros ejemplos de conjuntos y sus complementos… Universo Conjunto Complemento {*,$,@,#,%,&,+,=,/} A = {$,%,*} A = { @,#,&,+,=,/} {PNP, PPD, PIP, PPP, B = {PAC, PPD} B = {PNP,PIP,PPP,PSP,} PSP, PAC} {2, 4, 6, 8, 10, 12} C = {6, 8, 12} C = {2, 4, 6, 10} {Todos los números D = { los enteros D = {todos los enteros enteros} pares} impares}

15. Subconjuntos Los elementos de un conjunto se pueden dividir en conjuntos más pequeños . A estos conjuntos más pequeños se les llama subconjuntos. Dado el conjunto, A = {*,$,@,#,%,&,+,=,/}, tomamos los elementos del conjunto A y creamos conjuntos más pequeños . B = {*.$,@} C = { &,+,/} D = {@, #, %,/, +, =} E = {@} D = {#} Los conjuntos que son subconjuntos de otro se identifican con el símbolo de esta manera … B A. Es importante recordar que para que un conjunto sea subconjunto de otro, todos los elementos del subconjunto tienen que estar en el conjunto original.

16. Subconjuntos (cont.) La cantidad de elementos del conjunto original que se puedan usar para formar los subconjuntos puede ser desde un elemento hasta todos los elementos. Para saber cuales son los subconjuntos de un conjunto se recomienda comenzar usando los elementos individuales y dependiendo de la cantidad de elementos del conjunto original, se prosigue formando los subconjuntos con parejas de elementos, tríos, cuartetos y así sucesivamente hasta que se usen todos los elementos del conjunto. Los subconjuntos no se pueden repetir . Dado el conjunto, A = {*,$,@} con tres elementos, los subconjuntos serían… elementos individuales : {*}, {$}, {@} elementos en parejas : {*,$}, {*, @}, {$,@} todos los elementos : {*,$,@}

17. Subconjuntos (cont.) Hay que señalar en este momento que de acuerdo a la Teoría de Conjuntos, el conjunto vacío se considera un subconjunto de todo conjunto. De esta manera tomando el ejemplo anterior, los subconjuntos de A = {*,$,@} serían {*}, {$}, {@}, {*,$}, {*, @}, {$,@} {*,$,@}, La cantidad de subconjuntos que se pueden producir de un conjunto, dependerá de la cantidad de elementos del conjunto o su cardinalidad n(). En el ejemplo anterior donde el conjunto A tenía tres elementos , es decir su cardinalidad es n(A) = 3, la cantidad de subconjuntos es 8. Cuéntalos…