El documento explica los métodos numéricos para aproximar derivadas mediante diferencias finitas. Describe cómo usar las diferencias hacia adelante, hacia atrás y centrales para estimar la primera y segunda derivada de una función. También muestra un ejemplo numérico para calcular la primera derivada de una función usando los tres métodos y dos tamaños de paso diferentes.

1. NAD Universidad abierta y
U Nacional a distancia
BLAISE PASCAL (1623 - 1662 D. C.)
Matemático, físico, filósofo y escritor, nació en Clermont, Francia. A los doce años, comenzó a
estudiar geometría, en este campo fue donde hizo sus máximas contribuciones matemáticas,
demostrando las 32 proporciones de Euclides,. Al sostener correspondencia con su coterráneo
Pierre Fermat, Pascal echa las bases de la Teoría de las Probabilidades. Se da el nombre de
'triangulo de Pascal' al arreglo de números que contiene los coeficientes del teorema del binomio.
Sus ideas influyeron sobre Leibniz y, a través de él, sobre la fundación del Cálculo. Se le deben las
leyes del equilibrio de los líquidos y otros importantes descubrimientos. A la edad de 19 años
inventó la primera máquina de sumar. Este dispositivo, con sus ruedas movidas a mano, es el
ancestro primitivo de las calculadoras y computadoras electrónicas de hoy. Y este moderno artificio
de cálculo es lo que convierte en especialmente útiles y prácticos los métodos numéricos.
CAPITULO TRES
DIFERENCIACIÓN NUMÉRICA
Como se menciono con anterioridad, los métodos numéricos son aquellos en los
que se reformula el problema matemático para que se pueda resolver mediante
operaciones aritméticas sencillas. Para nuestro caso, la razón de cambio de la
velocidad con respecto al tiempo puede aproximarse de la siguiente manera:
dV 'V v(ti 1 ) v(ti )
# (1.7)
dt 't ti 1 ti
31

2. NAD Universidad abierta y
U Nacional a distancia
3.1. INTRODUCCIÓN TEÓRICA
La ecuación (1.7) se conoce con un nombre especial en el análisis numérico: se le
llama diferencia finita dividida.
Se puede representar generalmente como:
f ( xi ) f ( xi ) 'f i
f ' ( xi ) O( xi x) ó f ' ( xi ) O ( h) (3.1)
xi xi h
donde 'fi se le conoce como la primera diferencia hacia delante y a h se le llama
tamaño del paso; esto es, la longitud del intervalo sobre el cual se hace la
aproximación. Se le llama “hacia delante”, ya que se usa los datos i e i+1 para
estimar la derivada (véase figura 7a). Al término completo 'fi/h se le conoce como
la primera diferencia finita dividida.
Esta diferencia dividida hacia adelante no es sino una de tantas que se puede
desarrollar mediante la serie de Taylor para la aproximación de derivadas
numéricas. Por ejemplo, las aproximaciones a primeras derivadas utilizando las
diferencias hacia atrás o diferencias centrales se pueden desarrollar de una
manera similar a la de la ecuación (1.7). Las primeras usan valores en xi-1 y xi
(véase figura 7b), mientras que las segundas usan valores igualmente espaciados
alrededor del punto donde está estimada la derivada (véase figura 7c). Las
aproximaciones más exactas de la primera derivada se pueden desarrollar
incluyendo en la serie de Taylor términos de orden más alto. Finalmente, todas
las versiones anteriores se pueden desarrollar para derivadas de segundo orden,
tercer orden y órdenes superiores. Las siguientes secciones analizan brevemente
estos casos, ilustrando cómo se desarrollan cada uno de ellos.
3.2. APROXIMACIÓN A LA PRIMERA DERIVADA CON DERIVADAS HACIA
ATRÁS
La serie de Taylor se puede expandir hacia atrás para calcular un valor anterior
sobre el valor actual, como en:
f ' ' ( xi ) 2
f ( xi 1 ) f ( xi ) f ' ( xi )h h ˜˜˜ (3.2)
2!
Truncando la ecuación después de la primera derivada y ordenando los términos
se obtiene
32

3. NAD Universidad abierta y
U Nacional a distancia
f ( xi ) f ( xi 1 ) ’f 1
f ' ( xi ) # (3.3)
h h
donde el error es de O(h) y ’f1 indica la primera diferencia dividida hacia atrás.
Véase la figura 7b para una representación gráfica.
3.3. APROXIMACIONES A LA PRIMERA DERIVADA CON DIFERENCIAS
CENTRALES
Una tercera forma de aproximar la primera derivada es restando la ecuación (4.19)
de la expansión en serie de Taylor hacia delante:
f ' ' ( xi ) 2
f ( xi 1 ) f ( xi ) f ' ( x i ) h h ˜˜˜ (3.4)
2!
para obtener:
f ( 3) ( x i ) 3
f ( xi 1 ) f ( xi 1 ) 2 f ' ( xi )h h ˜˜˜ (3.5)
3!
que se puede resolver para:
f ( xi 1 ) f ( xi 1 ) f ( 3) ( xi ) 2 f ( xi 1 ) f ( xi 1 )
f ' ( xi ) h ˜ ˜ ˜ ó f ' ( xi ) O(h 2 ) (3.6)
2h 6 2h
La ecuación 3.6 es una representación de las diferencias centrales de la primera
derivada. Obsérvese que el error de truncamiento es del orden de h2 en contraste
con las diferencias divididas hacia delante y hacia atrás, las cuales fueron de
orden h.
Por lo tanto, el análisis de la serie de Taylor ha llevado a la información práctica de
que la diferencia central es la representación más exacta de la derivada (véase
figura 7c). Por ejemplo, si reducimos el tamaño del paso a la mitad, usando
diferencias hacia atrás o hacia delante, el error se reducirá aproximadamente a la
mitad, mientras que para diferencias centrales el error se reducirá a la cuarta
parte.
33

4. NAD Universidad abierta y
U Nacional a distancia
3.4. APROXIMACIONES POR DIFERENCIAS FINITAS DE DERIVADAS DE
ORDEN SUPERIOR
Además de las primeras derivadas, la expansión en serie de Taylor, puede ser
usada para desarrollar estimaciones numéricas de las derivadas de orden
superior. Para esto, se escribe la expansión en serie de Taylor hacia adelante
para f(xi+2) en términos de f(xi):
f ' ' ( xi )
f ( xi 2 ) f ( xi ) f ' ( xi )(2h)
( 2 h) 2 (3.7)
2!
La ecuación (4.21) se puede multiplicar por 2 y restarse de la ecuación (4.23)
f ( xi 2 ) 2 f ( xi 1 ) f ( xi ) f ' ' ( x i ) h 2 (3.8)
la cual puede resolverse para:
f ( xi 2 ) 2 f ( xi 1 ) f ( xi )
f ' ' ( xi ) O ( h) (3.9)
h2
Esta relación es llamada la segunda diferencia dividida hacia delante Con
manipulaciones similares puede emplearse la versión de derivada hacia atrás,
f ( xi ) 2 f ( xi 1 ) f ( xi 2 )
f ' ' ( xi ) O ( h) (3.10)
h2
y la versión central,
f ( xi 1 ) 2 f ( xi ) f ( xi 1 )
f ' ' ( xi ) 2
O(h 2 ) (3.11)
h
Como fue el caso con la aproximación de la primera derivada, el caso central tiene
mejor aproximación. Obsérvese también que la versión central puede ser
alternativamente expresada como
f ( xi 1 ) f ( xi ) f ( xi ) f ( xi 1 )
f ' ' ( xi ) # h h (3.12)
h
Así, justo como la segunda derivada es una derivada de la derivada, la
aproximación de la segunda diferencia finita dividida es una diferencia de dos
primeras diferencias divididas.
34

5. NAD Universidad abierta y
U Nacional a distancia
Derivada
verdadera aproximación
a)
h
x
xi xi+1
Derivada
verdadera
b)
aproximación
h
x
xi-1 xi
Derivada
verdadera
c)
aproximación
2h
x
xi-1 xi xi+1
Figura 7. Gráfica de aproximaciones con diferencias divididas finitas de la primera
derivada: a) hacia delante, b) hacia atrás, c) centrales.
3.5. EJERCICIO RESUELTO.
Enunciado del problema. Use las diferencias finitas hacia delante y hacia atrás
con aproximación de O(h) y diferencias centrales con aproximación de O(h2) para
estimar la primera derivada de: f(x) = -0.14x4 – 0.15x3 – 0.5x2 – 0.25x + 1.2
35

6. NAD Universidad abierta y
U Nacional a distancia
En x = 0.5 usando un tamaño de paso h = 0.5. Repita el cálculo usando h = 0.25.
Obsérvese que la derivada puede ser calculada directamente como: f’(x) = -0.4x3 –
0.45x2 – 1.0x – 0.25 y se puede usar para calcular el valor verdadero como f’(0.5) =
-0.9125.
Solución. Para h = 0.5, la función puede ser empleada para determinar
xi-1 = 0 f(xi-1) = 1.2
xi = 0.5 f(xi) = 0.925
xi+1 = 1.0 f(xi+1) = 0.2
Esos valores pueden ser usados para calcular las diferencias divididas hacia
delante,
0.2 0.925
f ' (0.5) # 1.45 H t 58.9%
0.5
con las diferencias divididas hacia atrás:
0.925 1.2
f ' (0.5) # 0.55 H t 39.7%
0.5
y las diferencias divididas centrales:
0.2 1.2
f ' (0.5) # 1.0 H t 9.6%
1.0
Para h = 0.25,
xi-1 = 0.25 f(xi-1) = 1.10351563
xi = 0.5 f(xi) = 0.925
xi+1 = 0.75 f(xi+1) = 0.63632813
Las cuales pueden ser usadas para calcular las diferencias divididas hacia
delante,
0.63632813 0.925
f ' (0.5) # 1.155 H t 26.5%
0.25
las diferencias divididas hacia atrás,
0.925 1.10351563
f ' (0.5) # 0.714 H t 21.7%
0.25
y las diferencias divididas centrales,
0.63632813 1.10351563
f ' (0.5) # 0.934 H t 2.4%
0.5
Para ambos tamaños de paso, la aproximación de diferencias centrales es más
exacta que las diferencias hacia delante y hacia atrás. También como se
pronosticó con el análisis de la serie de Taylor, dividiendo a la mitad el tamaño del
paso, se tiene aproximadamente la mitad del error de las diferencias hacia atrás y
hacia adelante y una cuarta parte de error de las diferencias centrales.
36