1. Universidad Fermín Toro
Vicerrectorado académico
Facultad de ciencias económicas y sociales
Escuela de Administración
Integrante:
Suárez G. Jhoanny A.
C.I.: 18.683.635
Técnicas Estadísticas Avanzadas
Prof.: José Linárez
SAIA B
Distribución Binomial
Noviembre, 2014
2. Distribución Binomial
Definición
La Distribución Binomial es una distribución de probabilidad discreta que mide el número de
éxitos en una secuencia de n ensayos de Bernoulli independientes entre sí, con una
probabilidad fija p de ocurrencia del éxito entre los ensayos.
¡Es extremadamente útil para describir muchos fenómenos!
Jakob Bernoulli (1654-1705)
Creador
El matemático suizo formó parte de una familia que , a lo largo de varias
generaciones, produjo miembros de gran talento en todas las ramas de la Ciencia y el Arte.
En su obra Ars Conjectandi (el Arte de la Conjetura 1713), pueden encontrarse las
primeras contribuciones ordenadas, relacionadas con los conceptos asociados al azar y la
probabilidad.
En esta obra aparece, por primera vez, un estudio relacionado con la primera ley
de los grandes números, así como una descripción de la distribución binomial.
3. Distribución Binomial
Propiedades
1. Las observaciones posibles pueden obtenerse mediante dos métodos de muestreo distinto.
Cada observación puede considerarse como seleccionada de una población infinita sin
reemplazo o de una población finita con reemplazo.
2. Cada observación puede clasificarse en una de dos categorías mutuamente excluyentes y
colectivamente exhaustivas, usualmente denominadas éxito y fracaso.
3. La probabilidad de que una observación se clasifique como éxito, p, es constante de
observación a observación. Por tanto, la probabilidad de que una observación se clasifique
como fracaso, 1-p, es constante sobre todas las observaciones.
4. El resultado (es decir, el éxito o fracaso) de cualquier observación es independiente del
resultado de cualquier observación.
4. Distribución Binomial
Características
1. Cada situación conlleva n experiencias idénticas.
2. En cada una de las experiencias sólo son posibles dos resultados, que, por ser contrarios, son
incompatibles. Estos sucesos se denominan: cara-cruz, acierto-fallo, blanco-negro, correcto-incorrecto,
etc, y en general, éxito (A) y fracaso (Ā).
3. Cada experiencia es independiente de las otras.
4. La probabilidad p de que ocurra el éxito A es la misma en cada una de las experiencias. Lo
mismo ocurre con la probabilidad q de Ā. Se verifica: q=1-p
5. Distribución Binomial
La variable aleatoria binomial es la que expresa el número total de éxitos observados en las experiencias
que siguen el modelo de una distribución binomial. Estas variables aleatorias son discretas, ya que pueden
tomar los valores 0, 1, 2, 3, ,,,, n-1, n, en las situaciones de n experiencias.
La función de probabilidad es :
풏
풌
∗ 퐩풌 ∗ 풒풏−풌
En donde :
n=número de ensayos
k=número de éxitos por tanto 풌 ∈ ퟎ, ퟏ, ퟐ … 풏
p=probabilidad de éxito
q=1-p es la probabilidad de fracaso
Siendo
풏
풌
=
풏!
풌!(풏−풌)!
La media o esperanza matemática de una variable asociada a una distribución binomial es:
흁 = 풏 ∗ 풑
La varianza de la misma variable es:
훔ퟐ = 풏 ∗ 풑 ∗ 풒
La desviación típica de la misma variable es:
훔 = 풏 ∗ 풑 ∗ 풒
Funciones
6. Ejercicios
1. En una oficina de servicio al cliente se atienden 100 personas diarias. Por lo general 10 personas se van sin recibir
bien el servicio. Determine la probabilidad de que en una encuesta a 15 clientes
a) 3 no hayan recibido un buen servicio
b) Ninguno haya recibido un buen servicio
c) A lo más 4 personas recibieron un buen servicio
d) Entre 2 y cinco personas
h N; n; k; x =
k
x
∗
N − k
n − x
N
n
N=100
K=10 (aquí k es 10 porque pertenece a los que no recibieron buen servicio)
n=15
a)
h 100; 15; 10; 3 =
10
3
∗
100 − 10
15 − 3
100
15
=
10
3
∗
90
12
100
15
= 0,1297 ∗ 100 = 12,97%
12,97%es la probabilidad de que 3 clientes no hayan recibido un buen servicio
7. b)
h 100; 15; 10; 0 =
10
0
∗
100 − 10
15 − 0
100
15
=
10
0
∗
90
15
100
15
= 0,1808 ∗ 100 = 18,08%
18,08%es la probabilidad de que ningún cliente no haya recibido un buen servicio
10. 2. Muchos jefes se dan cuenta de que algunas de las personas que contrataron no son lo que pretenden
ser. Detectar personas que solicitan un trabajo y que falsifican la información en su solicitud ha generado
un nuevo negocio. Una revista nacional notificó sobre este problema mencionando que una agencia, en un
periodo de dos meses, encontró que el 35% de los antecedentes examinados habían sido alterados.
Suponga que usted ha contratado la semana pasada 5 nuevos empleados y que la probabilidad de que un
empleado haya falsificado la información en su solicitud es 0.35.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos una de las cinco solicitudes haya sido falsificada?
b) ¿Ninguna de las solicitudes haya sido falsificada?
c) ¿Las cinco solicitudes hayan sido falsificadas?
b x; n; p =
n
x
pxqn−x
n=5
p=0,35
q=1-0,35=0,65
a)
푃 푥 ≥ 1 = 1 − 푃(푥 = 0)
b 0; 5; 0,35 =
5
0
0,350 ∗ 0,655−0= 0,1160
푃 푥 ≥ 1 = 1 − 0,1160 = 0,8840 ∗ 100 = 88,40%
La probabilidad de que al menos una de las cinco solicitudes haya sido falsificada es de 88,40%
11. b)
b 0; 5; 0,35 =
5
0
0,350 ∗ 0,655−0= 0,1160 ∗ 100 = 11,60%
La probabilidad de que ninguna de las solicitudes haya sido falsificada es de 11,60%
c)
b 5; 5; 0,35 =
5
5
0,355 ∗ 0,655−5= 0,0053 ∗ 100 = 0,53%
La probabilidad de que las cinco solicitudes hayan sido falsificadas es de 0,53%
