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Prof. Carlos Martínez
Factorización de
trinomios cuadráticos
Método de la “X explayada”
Introducción
En la factorización de un trinomio de segundo
grado, los métodos que se han presentado hasta
ahora son para el estudiante tediosos y
complicados.
Cuando el coeficiente a del término cuadrático
es 1, no presenta mayor dificultad. Distinto
resulta cuando a ≥ 2.
El método gráfico que ilustro aquí, llevo varios
años enseñándolo a mis estudiantes de álgebra
y precálculo. Yo lo nombré como el método de la
“X” explayada.
Este método gráfico permite que se tome el
control absoluto de la factorización del ejercicio.
En el mismo, se presentan los elementos
necesarios para la factorización de manera
diáfana, estructurada y enfocada.
Método de la “X” explayada
• Primero, se construye la “X” explayada.
• Segundo, se identifican los coeficientes a y b;
además, la constante c, localizándolos en la
“X” explayada.
• Tercero, se multiplica a por c, ilustrando el
producto en la parte inferior de la “X”.
• Cuarto, se factoriza el producto de a y c, de
manera que los factores, sumados o restados,
resulten en el término lineal.
• Quinto, se cambia el término lineal,
reescribiédose por una suma o resta de dos
términos.
• Sexto, se procede a factorizar por agrupación.
Veamos,
• Se identifican a, b y c.
• Se construye la “X” explayada para localizarlos en la
misma.
• Se buscan los factores de ac, que sumados o restados,
nos den el término lineal (bx).
• Luego, se convierte el término lineal, reescribiéndose
como la suma o resta de dos términos.
• Finalmente, se procede a factorizar por agrupación.
cbxax 2
a c
b
ac
Ahora vamos a aplicar este método en varios
ejercicios.
43]1 2
 xx
)1)(4(
:
 xx
sonfactoresLos -4(1) = -4
-4+1 = -3
5
ac = -4
b = -3
c = -4a = 1
De los factores de 4, se escoge
el par que sumados o restados
den -3.
442
 xxx
)4( xx )4(1  x
)4()4( 2
 xxx
Se identifican: a = 1, b = -3, c = -4.
En este momento se procede a
reescribir el término lineal de la
ecuación en la suma o resta de
dos términos.
Se buscan los factores de 4:
1, 4; 2, 2
212]2 2
 xx
)72)(3(
:
 xx
sonfactoresLos
6(-7) = -42
6-7 = -1
6
ac = -42
b = -1
c = -21a = 2
De los factores de 42, se escoge
el par que sumados o restados
den -1.
21762 2
 xxx
)3(2 xx )3(7  x
)217()62( 2
 xxx
Se identifican: a = 2, b = -1, c = -21.
En este momento se procede
a reescribir el término lineal
de la ecuación en la suma o
resta de dos términos.
Se buscan los factores de 42:
1, 42; 2, 21; 3, 14; 6, 7
15143]3 2
 xx
)3)(53(
:
 xx
sonfactoresLos
5(9) = 45
5+9 = 14
7
ac = 45
b = 14
c = 15a = 3
De los factores de 45, se escoge
el par que sumados o restados
den 14.
Se identifican: a = -3, b = -14, c = -15.
En este momento se procede
a reescribir el término lineal
de la ecuación en la suma o
resta de dos términos.
Se buscan los factores de 45:
1, 45; 3, 15; 5, 9
)15143( 2
 xx
)15953( 2
 xxx
)]159()53[( 2
 xxx
)53([  xx )]53(3  x
)3)(53(  xx
Cuando el coeficiente a es negativo,
conviene sacar como factor común a -1.
Como las matemáticas entran por los dedos, vamos
a practicar.
8
3514]
12194]
1163]
7196]
54]
2
2
2
2
2





xxe
xxd
xxc
xxb
xxa
Encuentra los factores de los trinomios de segundo
grado, utilizando el método de la “X” explayada.
Así que a practicar.
Soluciones:
9
)3)(15(]
)4)(34(]
)3)(23(]
)72)(13(]
)5)(1(]

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

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Factorizacion de trinomios de segundo grado

  • 1. Prof. Carlos Martínez Factorización de trinomios cuadráticos Método de la “X explayada”
  • 2. Introducción En la factorización de un trinomio de segundo grado, los métodos que se han presentado hasta ahora son para el estudiante tediosos y complicados. Cuando el coeficiente a del término cuadrático es 1, no presenta mayor dificultad. Distinto resulta cuando a ≥ 2. El método gráfico que ilustro aquí, llevo varios años enseñándolo a mis estudiantes de álgebra y precálculo. Yo lo nombré como el método de la “X” explayada. Este método gráfico permite que se tome el control absoluto de la factorización del ejercicio. En el mismo, se presentan los elementos necesarios para la factorización de manera diáfana, estructurada y enfocada.
  • 3. Método de la “X” explayada • Primero, se construye la “X” explayada. • Segundo, se identifican los coeficientes a y b; además, la constante c, localizándolos en la “X” explayada. • Tercero, se multiplica a por c, ilustrando el producto en la parte inferior de la “X”. • Cuarto, se factoriza el producto de a y c, de manera que los factores, sumados o restados, resulten en el término lineal. • Quinto, se cambia el término lineal, reescribiédose por una suma o resta de dos términos. • Sexto, se procede a factorizar por agrupación.
  • 4. Veamos, • Se identifican a, b y c. • Se construye la “X” explayada para localizarlos en la misma. • Se buscan los factores de ac, que sumados o restados, nos den el término lineal (bx). • Luego, se convierte el término lineal, reescribiéndose como la suma o resta de dos términos. • Finalmente, se procede a factorizar por agrupación. cbxax 2 a c b ac
  • 5. Ahora vamos a aplicar este método en varios ejercicios. 43]1 2  xx )1)(4( :  xx sonfactoresLos -4(1) = -4 -4+1 = -3 5 ac = -4 b = -3 c = -4a = 1 De los factores de 4, se escoge el par que sumados o restados den -3. 442  xxx )4( xx )4(1  x )4()4( 2  xxx Se identifican: a = 1, b = -3, c = -4. En este momento se procede a reescribir el término lineal de la ecuación en la suma o resta de dos términos. Se buscan los factores de 4: 1, 4; 2, 2
  • 6. 212]2 2  xx )72)(3( :  xx sonfactoresLos 6(-7) = -42 6-7 = -1 6 ac = -42 b = -1 c = -21a = 2 De los factores de 42, se escoge el par que sumados o restados den -1. 21762 2  xxx )3(2 xx )3(7  x )217()62( 2  xxx Se identifican: a = 2, b = -1, c = -21. En este momento se procede a reescribir el término lineal de la ecuación en la suma o resta de dos términos. Se buscan los factores de 42: 1, 42; 2, 21; 3, 14; 6, 7
  • 7. 15143]3 2  xx )3)(53( :  xx sonfactoresLos 5(9) = 45 5+9 = 14 7 ac = 45 b = 14 c = 15a = 3 De los factores de 45, se escoge el par que sumados o restados den 14. Se identifican: a = -3, b = -14, c = -15. En este momento se procede a reescribir el término lineal de la ecuación en la suma o resta de dos términos. Se buscan los factores de 45: 1, 45; 3, 15; 5, 9 )15143( 2  xx )15953( 2  xxx )]159()53[( 2  xxx )53([  xx )]53(3  x )3)(53(  xx Cuando el coeficiente a es negativo, conviene sacar como factor común a -1.
  • 8. Como las matemáticas entran por los dedos, vamos a practicar. 8 3514] 12194] 1163] 7196] 54] 2 2 2 2 2      xxe xxd xxc xxb xxa Encuentra los factores de los trinomios de segundo grado, utilizando el método de la “X” explayada. Así que a practicar.