El documento resume conceptos clave de geometría como figuras congruentes, equivalentes y semejantes. Explica cómo determinar si triángulos son congruentes o semejantes usando criterios como lados y ángulos. También cubre la división de segmentos de manera interior, exterior y armónica, así como la sección áurea. Proporciona ejemplos para ilustrar cada concepto.
Este tema nos permite averiguar si dos figuras son semejantes, porque cualquier figura se puede descomponer en triángulos (si la figura tiene lados curvos, la descomposición será sólo aproximada).
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Catalogo Cajas Fuertes BTV Amado Salvador Distribuidor OficialAMADO SALVADOR
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En este documento analizamos ciertos conceptos relacionados con la ficha 1 y 2. Y concluimos, dando el porque es importante desarrollar nuestras habilidades de pensamiento.
Sara Sofia Bedoya Montezuma.
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1. Geometría 2010 Clase Geometría de Proporción I PPTCANMTGEA04014V1 Propiedad Intelectual Cpech
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4. 4.1 División Interior 4.2 División Exterior 4.3 División Armónica 4. División de un segmento 4.4 Sección áurea o Divina Propiedad Intelectual Cpech
5. 1. Figuras congruentes ( ) Dos figuras son congruentes cuando tienen la misma forma, el mismo tamaño y la misma área, es decir, si al colocarlas una sobre la otra son coincidentes en toda su extensión. Ejemplos: 1.1 Definición Propiedad Intelectual Cpech
6. Para determinar si dos triángulos son congruentes, existen algunos criterios. Los más utilizados son: 1° Lado, lado, lado ( L.L.L .) Dos triángulos son congruentes si sus lados correspondientes son congruentes. Ejemplo: 8 8 10 10 6 6 Los triángulos ABC y DEF son congruentes y se denota: Δ ABC Δ DEF A C B D F E 1.2 Triángulos congruentes Propiedad Intelectual Cpech
7. 2° Lado, ángulo, lado ( L.A.L .) Dos triángulos son congruentes si tienen dos lados respectivamente congruentes y el ángulo comprendido entre ellos congruente. 5 3 5 3 Ejemplo: Los triángulos ABC y DEF son congruentes y se denota: Δ ABC Δ DEF A B C E F D Propiedad Intelectual Cpech
8. 3° Ángulo, lado, ángulo ( A.L.A ) Dos triángulos son congruentes si tienen dos ángulos respectivamente congruentes y el lado comprendido entre ellos congruente. 12 12 Ejemplo: Los triángulos ABC y DEF son congruentes y se denota: Δ ABC Δ DEF A B C E F D Propiedad Intelectual Cpech
9. 2. Figuras Equivalentes Son aquellas que tienen la misma área. Ejemplo: El cuadrado de lado 2√ , es “equivalente” al círculo de radio 2 de la figura: Área = 4 Área = 4 Propiedad Intelectual Cpech
10. 3. Figuras semejantes (~) Para que dos polígonos sean semejantes es necesario que se cumplan dos condiciones: Se llaman “lados homólogos” a los lados que unen dos vértices con ángulos congruentes. 1° que tengan sus ángulos respectivamente congruentes, y 2° que sus lados homólogos sean proporcionales. Tienen igual forma, pero no necesariamente igual tamaño y área. 3.1 Definición G F J I H A E D C B Propiedad Intelectual Cpech
11. 6 5 4 3 12 10 8 6 4 2 Además, están en razón 1:2. A E D C B G F J I H Por ejemplo, los lados AB y GH son homólogos, como también lo son, BC y HI, CD y IJ, DE y JF, EA y FG. Propiedad Intelectual Cpech
12. Dos triángulos son semejantes si sus ángulos correspondientes son congruentes, y sus lados homólogos proporcionales. Ejemplo: Los Lados homólogos están en razón: 1:3 = k 5 3 15 9 4 12 3.2 Triángulos Semejantes A B C E F D Recuerda que al establecer una semejanza, el orden no se debe alterar. AB es homólogo a DE BC es homólogo a EF AC es homólogo a DF AB DE BC EF AC DF 1 3 = = = = k Propiedad Intelectual Cpech
13. Los lados homólogos en los triángulos semejantes, corresponden a los lados proporcionales. Ejemplo: 3 4 5 6 8 10 = = = k = = = Además, los elementos que cumplen la misma función en cada triángulo como: alturas, transversales,bisectrices y simetrales, también son homólogos y proporcionales. = k P Q R A B C 3.3 Elementos Homólogos AB PQ BC QR CA RP 5 10 3 6 4 8 1 2 Propiedad Intelectual Cpech
14. h C h R Además, = = = k h C = P R 6 8 10 Q A B C 3 4 5 h C h R 2,4 4,8 1 2 Propiedad Intelectual Cpech Recuerda: Teorema de Euclides a · b c
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20. Ejemplo: Determinar la medida del segmento QR de la figura: Solución : = 60 = 4 ∙ QR 15 = QR Es decir: Con k razón de semejanza A B C 4 10 Q R P 6 10 QR 4 6 AB PR 10 QR 4 6 = = Los triángulos de la figura son semejantes por AA y se tiene que Δ ABC ~ Δ PRQ , entonces: AB PR CB QR AC PQ = = = k Propiedad Intelectual Cpech
21. 4. División de un segmento Si el punto C divide “interiormente” al segmento AB en razón m:n , entonces: Ejemplo: 4.1 División interior C A B Q A B AC CB = m n Si Q divide “interiormente” al segmento AB en la razón 3:5 , y QB= 45, entonces, ¿cuánto mide AB? Propiedad Intelectual Cpech
22. Solución : AQ = 27 27 Q A B 45 AQ QB = 3 5 AQ 45 = 3 5 AQ = 3 ∙ 45 5 Por lo tanto, AB mide 72 Propiedad Intelectual Cpech
23. Si el punto D divide “exteriormente” al segmento AB en razón m:n , entonces: Ejemplo: 20 4.2 División exterior B A D B A D AD BD = m n Si D divide “exteriormente” al segmento AB en la razón 5:2 , y AD = 20, entonces, ¿cuánto mide BD? Propiedad Intelectual Cpech
24. BD = 8 8 12 20 Solución : AD BD = 5 2 20 BD = 5 2 BD = 20 ∙ 2 5 B A D Propiedad Intelectual Cpech
25. Dividir el segmento AB “armónicamente” en razón m:n , implica dividirlo interior y exteriormente en la misma razón. Ejemplo: Si C lo divide interiormente y D exteriormente, se cumple que: 4.3 División armónica m AC CB = = n AD BD Al dividir “armónicamente” el segmento AB en la razón 3:2 , ¿cuánto mide BD y CB, si AB = 12? A C B D A C B D 12 Propiedad Intelectual Cpech
26. Solución : x y = 3x = 2(12 - x) 3x = 24 - 2x 5x = 24 = 24 + 2y = 3y 24 12 - x 12+y y AC CB 3 2 = 3 2 12- x x AD BD = 3 2 3 2 36 5 x = 24 5 24 = y 24 5 A C B D 12 Propiedad Intelectual Cpech
27. El punto X divide el trazo AB en “sección áurea”, si el trazo mayor es media proporcional geométrica entre el trazo completo y el menor. Si AX > BX, entonces: Ejemplo: 4.4 Sección Áurea o Divina X A B P A B AB AX = AX BX ó (AX) 2 = AB ∙ BX En la figura, P divide al segmento AB en “ sección áurea” , con AP > PB. ¿Cuál es la ecuación que permite calcular la medida de AP, si PB = 5? 5 Propiedad Intelectual Cpech
28. Solución : (AP) 2 = (AP + 5) ∙5 (AP) 2 = 5 ∙ AP + 2 5 (AP) 2 - 5 ∙ AP - 2 5 = 0 5 P A B (AP) 2 = AB ∙ PB Propiedad Intelectual Cpech
29. Los contenidos revisados anteriormente los puedes encontrar en tu libro, en las páginas 273, 274 y 276 . Propiedad Intelectual Cpech