Este documento discute varias extensiones del problema de probabilidad geométrica. La primera extensión calcula la probabilidad de que tres partes de un palo roto formen un triángulo. La segunda extensión calcula la probabilidad de que tres amigos se encuentren para cenar esperando entre ellos no más de 15 minutos en una hora. Luego se propone generalizar el problema para tiempos de espera diferentes para cada persona.

1. Probabilidad Geométrica
Extensiones
Análisis Cuantitativo del Riesgo
Algoritmos y Modelación
David Solís

2. 2
Extensión 1
Si se rompe un palo en dos puntos escogidos de
manera uniforme, ¿Cuál es la probabilidad de que los
tres partes resultantes formen un triángulo?

3. 3
Planteamiento
h
x
P
y
z
La propiedad de un
triángulo equilátero
h=x+y+z
!
de tal manera que el
problema contempla
todos los puntos dentro
del triángulo

4. 3
Planteamiento
h
x
P
y
z
La propiedad de un
triángulo equilátero
h=x+y+z
!
de tal manera que el
problema contempla
todos los puntos dentro
del triángulo
¿A qué teorema
corresponde esta
propiedad?

5. 4
Planteamiento
x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0
x + y+ z =1
x ≤ y+ z
y ≤ x + z
z ≤ x + y
h=1
x
y
z
Las restricciones del problema son

6. 4
Planteamiento
x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0
x + y+ z =1
x ≤ y+ z
y ≤ x + z
z ≤ x + y
h=1
x
y
z
Las restricciones del problema son
¿Cuál es la razón de las
3 últimas restricciones?

7. 5
Solución
A
B
1. x ≥
1
2
2. y ≥
1
2
3. z ≥
1
2
4. x ≤
1
2
, y ≤
1
2
, z ≤
1
2
4 satisface las restricciones
del problema y es el
triángulo sombreado. Por
simetría la solución es 1/4
Podemos dividir el área en 4 partes iguales

8. 6
Extensión 2
¿Cuál es la probabilidad de que 3 amigos se
encuentren para cenar esperando entre ellos no más
de 15 minutos en un intervalo de 1 hora?

9. 7
Solución

10. 8
Fórmula General
Pn = nwn−1
− n −1( )wn
Donde w es el tiempo de espera.
!
Para nuestro caso
P3 = 3
1
4
!
"
#
$
%
&
2
− 3−1( )
1
4
!
"
#
$
%
&
3
=
5
32
≈ 0.1562
Que coincide con el resultado obtenido

11. 8
Fórmula General
Posible extensión:
Demostrar esta
fórmula
Pn = nwn−1
− n −1( )wn
Donde w es el tiempo de espera.
!
Para nuestro caso
P3 = 3
1
4
!
"
#
$
%
&
2
− 3−1( )
1
4
!
"
#
$
%
&
3
=
5
32
≈ 0.1562
Que coincide con el resultado obtenido

12. 9
Generalización del Problema
Suponer que w es diferente para cada persona.
Para n = 2
1
1
0 w2
w1
P2 =1−
1− w1( )
2
2
−
1− w2( )
2
2
= w1 − w2 −
1
2
w1
2
−
1
2
w2
2

13. 10
Generalización del Problema
Para n = 3

14. 10
Generalización del Problema
Para n = 3
¡12 integrales dobles!

15. 10
Generalización del Problema
Para n = 3
P3 = w1w2 + w1w3 + w2w3
−
1
2
w1w2
2
+ w1w3
2
+ w2w3
2
( )−
1
3
w1
3
−
1
6
w2
3
¡12 integrales dobles!

16. 10
Generalización del Problema
Para n = 3
P3 = w1w2 + w1w3 + w2w3
−
1
2
w1w2
2
+ w1w3
2
+ w2w3
2
( )−
1
3
w1
3
−
1
6
w2
3
¡12 integrales dobles!
Posible extensión:
Describir las
integrales

17. 11
Idea - Replantamiento
Tiempo de llegada de A
minutos
TiempodellegadadeB
minutos
15 45
15
45
Se
encuentran
N
o
se
encuentran
Zona inválida
N
o
se
encuentran
P =
area verde
area verde+ area azul
=
452
−302
452
=
5
9
¿Cuál es la probabilidad de que 3 amigos se encuentren para
cenar esperando entre ellos exactamente 15 minutos en un
intervalo de 1 hora?

18. 12
Referencias
Otras fuentes
‣ Whittaker, J. (1990). Random triangles. American Mathematical
Monthly, 228-230.
Libros