Gráficas y sus transformaciones

1. Graficando funciones
trigonométricas
Amplitud, desfase y periodo
Prof. Rosa E. Padilla Torres

2. Transformaciones en gráficas de
funciones trigonométricas
𝑓 𝑥 = 𝐴 sin[𝑏 𝑥 − ℎ ]

3. Traslación vertical
𝑓 𝑥 = 𝐴 cos 𝑏𝑥 + 𝑘

4. Estiramiento vertical (A>1)

5. Compresión vertical (0 < A < 1)

6. Amplitud, periodo y desfase
Amplitud = |𝐴|
Periodo =
2𝜋
𝑘
Desfase = 𝑐
Identifica los valores
máximos y mínimos de la
función.
Periodo original de la gráfica es de
2π.
El periodo indica si la gráfica
original se acorta o estira
horizontalmente.
Significa que se mueve
hacia la derecha (o
izquierda) h unidades.

7. Amplitud

8. Periodo

9. Desfase

10. Ejemplo
• Dibuja la gráfica de 𝑦 = 3 sin 2 𝑥 +
𝜋
6
.
• Pasos a seguir:
• La desfase es −
𝜋
6
. Localizamos el punto
𝜋
6
unidades a la izquierda del origen.
Corresponde al punto −
𝜋
6
, 0 . Ahí inicia el ciclo de la función.
• El periodo es de
2𝜋
2
= 𝜋. Dibuja un punto 𝜋 unidades a la derecha del punto
anterior. Este punto tiene coordenadas
5𝜋
6
, 0 , lo que identifica el final del
ciclo de esta función.
• Divide el intervalo para cada ciclo en 4 partes iguales a lo largo del eje x.
• La amplitud de la curva es 3.

11. 𝑦 = 3 sin 2 𝑥 +
𝜋
6

12. Resumen: Para las gráficas
𝑦 = 𝑎 sin 𝑏 𝑥 + 𝑐 & 𝑦 = 𝑎 cos 𝑏 𝑥 + 𝑐
• La amplitud es |𝑎|.
• El valor máximo es 𝑎 y el mínimo es −|𝑎|.
• El periodo de la función es
2𝜋
𝑏
.
• Esto indica que son |𝑏| ciclos en cada intervalo de 2𝜋.
• La desfase es −𝑐.
• La gráfica de la función se mueve c unidades en dirección
horizontal.
• Si c es positivo, se mueve |𝑐| unidades a la izquierda.
• Si c es negativo, se mueve |𝑐| unidades a la derecha.

13. Resumen: Para las gráficas
𝑦 = 𝑎 sin 𝑏 𝑥 + 𝑐 & 𝑦 = 𝑎 cos 𝑏 𝑥 + 𝑐
• Las gráficas de −𝑎 sin 𝑏 𝑥 + 𝑐 y −𝑎 cos 𝑏 𝑥 + 𝑐 son
reflexiones en el eje de x de las funciones originales.
• El dominio de la función es el conjunto de los números
reales.
• El rango de la función corresponde al intervalo [−𝑎, 𝑎].

14. Practica lo aprendido.
• Halla la amplitud para cada función.
1) 𝑦 = sin 𝑥 2) 𝑦 = 2 cos 𝑥
3) 𝑦 = 5 cos 𝑥 4) 𝑦 = 3 sin 𝑥
5) 𝑦 =
3
4
sin 𝑥 6) 𝑦 =
1
2
cos 𝑥
7) 𝑦 = 0.6 cos 𝑥 8) 𝑦 =
1
8
sin 𝑥

15. Practica lo aprendido.
• Halla el periodo para cada función.
1) 𝑦 = sin 𝑥 2) 𝑦 = cos 𝑥
3) 𝑦 = cos 3𝑥 4) 𝑦 = sin 2𝑥
5) 𝑦 = cos
1
2
𝑥 6) 𝑦 = sin
1
3
𝑥
7) 𝑦 = sin 1.5𝑥 8) 𝑦 = cos 0.75𝑥

16. Practica lo aprendido.
• Halla la desfase para cada función.
1) 𝑦 = cos 𝑥 +
𝜋
2
2) 𝑦 = cos 𝑥 −
𝜋
2
3) 𝑦 = sin 𝑥 −
𝜋
4
4) 𝑦 = sin 𝑥 +
𝜋
3
5) 𝑦 = cos 2 𝑥 + 𝜋 6) y = sin 2 𝑥 +
3𝜋
4
7) 𝑦 = cos 𝑥 −
𝜋
6
8) 𝑦 = cos(2𝑥 − 𝜋)

17. Práctica:
• Para cada una de las gráficas, escribe la ecuación
𝑦 = 𝑎 sin 𝑏𝑥 o 𝑦 = 𝑎 cos 𝑏𝑥.
1. 2.

18. Práctica:
• Para cada una de las gráficas, escribe la ecuación
𝑦 = 𝑎 sin 𝑏𝑥 o 𝑦 = 𝑎 cos 𝑏𝑥.
3. 4.

19. Práctica:
• Para cada una de las gráficas, escribe la ecuación
𝑦 = 𝑎 sin 𝑏𝑥 o 𝑦 = 𝑎 cos 𝑏𝑥.
5. 6.

20. Práctica:
• Para cada una de las gráficas, escribe la ecuación
𝑦 = 𝑎 sin 𝑏𝑥 o 𝑦 = 𝑎 cos 𝑏𝑥.
7. 8.

21. Graficando la función tangente
• Tabla de valores

22. Graficando la función tangente

23. Funciones trigonométricas
recíprocas
𝑦 = csc 𝑥 =
1
sin 𝑥
𝑦 = sec 𝑥 =
1
cos 𝑥
𝑦 = cot 𝑥 =
1
tan 𝑥

24. Graficando 𝑦 = csc 𝑥

25. Graficando 𝑦 = sec 𝑥

26. Graficando 𝑦 = cot 𝑥