Este documento presenta los diferentes conjuntos numéricos, comenzando con los números naturales y continuando con los números enteros, racionales e irracionales. Explica las propiedades y representaciones de cada uno de estos conjuntos numéricos y cómo se fueron ampliando para incluir nuevos tipos de números. Finalmente, introduce el conjunto más amplio de todos, los números reales, definidos como la unión de los números racionales e irracionales.

1. i

2. ii
PRESENTACIÓN
Este texto tiene la intención de asistir como un importante material de apoyo
en el área de matemática a los estudiantes que participan en el curso
propedéutico que dicta la Facultad de Agronomía de la Universidad Central de
Venezuela.
Este curso de naturaleza teórico – práctica, está basado en la revisión de
conocimientos teóricos y una práctica operatoria centrada en las aplicaciones
propiamente de carácter matemático.
En la distribución de los distintos temas se intenta proporcionar el suficiente
material de trabajo para que, una vez afianzados los conceptos fundamentales, se
pueda guiar a los estudiantes en el proceso de autoformación.
Los contenidos que se incluyen son aquellos cuyos conocimientos de
entrada son requeridos como básicos con la intención de ofrecer una preparación
rigurosa y completa a fin de que los estudiantes puedan acceder a cursos
superiores afines al área de Matemática, tales como: Matemática I, Matemática II,
Física I, Física II, Estadística, etc.; obligatorias en la formación de un Ingeniero
Agrónomo.
El desarrollo de las actividades de enseñanza y aprendizaje estará centrado
en los alumnos, y tomará en cuenta tanto los procesos cognitivos como los
procesos afectivos. El docente se convierte en un mediador del aprendizaje
propiciando actividades, proponiendo estrategias, usando metodologías en las que
el proceso de enseñanza y aprendizaje se potencie.
En la evaluación se tomará en cuenta la responsabilidad de los alumnos en
el cumplimiento de las asignaciones, la pertinencia de los resultados y la
interpretación de los mismos. De igual manera será considerado lo novedoso en la

3. iii
resolución de problemas en cuanto a originalidad, ingenio y versatilidad de los
métodos usados.
El texto consta de cinco unidades, las cuales contienen los siguientes
temas:
Unidad I: Conjuntos Numéricos
Unidad II: Polinomios y operaciones con fracciones algebraicas
Unidad III: Sistema de ecuaciones e inecuaciones deexpresiones algebraicas
Unidad IV: Trigonometría, logaritmos y exponenciales
Unidad V: Matrices y determinantes
Los autores esperan que esta obra sea útil tanto a los profesores como a
los estudiantes.
CÁTEDRA DE MATEMÁTICA Y COMPUTACIÓN
DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA AGRÍCOLA

4. iv
TABLA DE CONTENIDO
PRESENTACIÓN ________________________________________________________ ii
TABLA DE CONTENIDO _________________________________________________ iv
UNIDAD I: CONJUNTOS NUMÉRICOS_____________________________________ 1
Conjuntos Numéricos __________________________________________________________ 1
Números Naturales ( )._____________________________________________________________ 1
Números Enteros ( )._______________________________________________________________ 1
Números Racionales ( ).____________________________________________________________ 2
Números Irracionales ( ). ___________________________________________________________ 3
Números Reales ( ). _______________________________________________________________ 4
Propiedades en la adición y multiplicación en los conjuntos Numéricos . _______ 5
Recta Real.___________________________________________________________________ 6
Orden en el conjunto R. ________________________________________________________ 7
Intervalos Reales______________________________________________________________ 8
Operaciones con Intervalos Reales _______________________________________________ 9
Unión____________________________________________________________________________ 9
Intersección_______________________________________________________________________ 9
Diferencia _______________________________________________________________________ 10
Complemento ____________________________________________________________________ 10
Potenciación en el conjunto de los números reales. _______________________________ 10
Propiedades de la potenciación en . ____________________________________________ 11
1. Multiplicación de potencias de igual base. ____________________________________________ 11
2. División de potencias de igual base. _________________________________________________ 11
3. Potencia de un producto. __________________________________________________________ 11
4. Potencia de un cociente.___________________________________________________________ 11
5. Potencia con exponente cero._______________________________________________________ 12
6. Potencias con exponentes enteros negativos.___________________________________________ 12
7. Potencia de una potencia.__________________________________________________________ 12
Radicación en el conjunto de los números reales._________________________________ 13
Potencias con exponente fraccionarios y radicales. _________________________________ 13
Propiedades de la radicación.___________________________________________________ 14
1. Raiz de un producto. _____________________________________________________________ 14
2. Raíz de un cociente. ______________________________________________________________ 14
3. Raíz de una raíz._________________________________________________________________ 14
Racionalización______________________________________________________________ 15
UNIDAD II POLINOMIOS Y OPERACIONES CON FRACCIONES ALGEBRAICAS
______________________________________________________________________ 29
Polinomios__________________________________________________________________ 29
Elementos de un polinomio. _________________________________________________________ 29
Término ____________________________________________________________________ 29
Grado del polinomio: 5 _____________________________________________________________ 29
Polinomios Especiales. ________________________________________________________ 30

5. v
Polinomio nulo: ___________________________________________________________________ 30
Polinomio Constante:_______________________________________________________________ 30
Valor Numérico de un polinomio._______________________________________________ 30
Términos Semejantes._________________________________________________________ 31
Polinomios en dos o más variables: ______________________________________________ 31
Operaciones con polinomios. ___________________________________________________ 32
Adición de polinomios. _____________________________________________________________ 32
Adición de polinomios en dos o más variables.___________________________________________ 32
Sustracción de polinomios. __________________________________________________________ 32
Multiplicación de polinomios. __________________________________________________ 33
Multiplicación de dos monomios: _____________________________________________________ 33
Multiplicación de un monomio por un polinomio. ________________________________________ 33
Multiplicación de dos polinomios._____________________________________________________ 33
División de polinomios.________________________________________________________ 34
División de dos monomios. __________________________________________________________ 34
División de un polinomio entre un monomio. ____________________________________________ 34
División de dos polinomios. _________________________________________________________ 34
Raíz o cero de un polinomio ____________________________________________________ 35
Productos Notables. __________________________________________________________ 36
Cuadrado de un binomio.____________________________________________________________ 36
Cubo de un binomio. _______________________________________________________________ 36
Producto de una suma de dos términos por su diferencia (binomios conjugados)_________________ 36
Producto de dos binomios que tienen un término en común._________________________________ 37
Binomio de Newton. _______________________________________________________________ 37
Factorización. _______________________________________________________________ 37
Factor común. ____________________________________________________________________ 37
Factorización por agrupación de términos _______________________________________________ 38
Factorización de un trinomio cuadrado perfecto __________________________________________ 38
Factorización de una diferencia de cuadrados ____________________________________________ 39
Factorización de un trinomio del tipo ax2
+ bx + c ________________________________________ 39
Factorización de un polinomio que es un cubo perfecto.____________________________________ 41
Regla de Ruffini para factorizar polinomios._____________________________________________ 42
Máximo Común Divisor de Polinomios. __________________________________________ 43
Mínimo Común Múltiplo de Polinomios.__________________________________________ 44
Operaciones con Fracciones Algebraicas _________________________________________ 45
Adición. _________________________________________________________________________ 45
Multiplicación. ______________________________________________________________ 45
División.____________________________________________________________________ 45
Simplificación de Fracciones Algebraicas_________________________________________ 46
Fracciones Algebraicas Irreducibles._____________________________________________ 46
Ejercicios Propuestos. Unidad II ________________________________________________ 46
UNIDAD III SISTEMAS DE ECUACIONES E INECUACIONES DE EXPRESIONES
ALGEBRAICAS ________________________________________________________ 52
Ecuaciones de Primer Grado.___________________________________________________ 52

6. vi
Ecuación de Segundo Grado ___________________________________________________ 53
1. Método de Factorización.__________________________________________________________ 53
2. Método de la Fórmula General de la Ecuación de Segundo Grado o de la Resolvente. __________ 53
Discriminante de la Ecuación de Segundo Grado:_________________________________________ 55
Aplicaciones de la ecuación de segundo grado._____________________________________ 55
Ecuaciones con Radicales:_____________________________________________________ 56
Sistema de dos Ecuaciones lineales con dos incógnitas y aplicaciones __________________ 57
Método de sustitución ______________________________________________________________ 58
Método de igualación_______________________________________________________________ 58
Método de reducción _______________________________________________________________ 59
Aplicaciones de los sistemas de ecuaciones lineales en la resolución de problemas ________ 60
Sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas ______________________________ 63
Inecuaciones lineales y no lineales ______________________________________________ 64
Sistemas de Inecuaciones en una variable_________________________________________ 67
Valor absoluto de un número real._______________________________________________ 68
EJERCICIOS PROPUESTOS. UNIDAD III _________________________________ 69
UNIDAD IV: ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS, EXPONENCIALES Y
LOGARÍTMICAS _______________________________________________________ 82
Ángulos ____________________________________________________________________ 82
Medida en grados__________________________________________________________________ 82
Medida en radianes ________________________________________________________________ 83
Ángulos Notables. ____________________________________________________________ 84
Razones Trigonométricas ______________________________________________________ 84
Signos de las razones trigonométricas. ___________________________________________ 86
Razones trigonométricas de los ángulos notables.___________________________________ 86
Reducciones de ángulos al primer cuadrante.______________________________________ 86
Triángulos y aplicaciones. _____________________________________________________ 88
Identidades Trigonométricas ___________________________________________________ 91
Identidades Fundamentales __________________________________________________________ 91
Sumas y restas de senos y cosenos_____________________________________________________ 92
Sumas y restas de ángulos ___________________________________________________________ 93
Ángulo doble _____________________________________________________________________ 94
Ángulo medio ____________________________________________________________________ 94
Teorema del Seno ____________________________________________________________ 95
Teorema del Coseno __________________________________________________________ 96
Funciones trigonométricas inversas _____________________________________________ 96
Ecuaciones trigonométricas. ___________________________________________________ 99
Logaritmos_________________________________________________________________ 101
Exponenciales. _____________________________________________________________ 104
Ecuaciones exponenciales ____________________________________________________ 104

7. vii
Ejercicios Propuestos Unidad IV __________________________________________ 105
UNIDAD V: MATRICES Y DETERMINANTES ____________________________ 116
Matrices. Definición: ________________________________________________________ 116
Matrices Especiales: _________________________________________________________ 117
Igualdad de Matrices ________________________________________________________ 117
Algebra de matrices__________________________________________________________ 118
Suma de Matrices_________________________________________________________________ 118
Multiplicación por un escalar________________________________________________________ 119
Resta de Matrices_________________________________________________________________ 120
Multiplicación de Matrices _________________________________________________________ 120
Matriz Traspuesta: __________________________________________________________ 124
Determinantes. Definición ____________________________________________________ 124
Matriz Adjunta. Definición____________________________________________________ 126
Regla de Cramer para resolver sistemas de ecuaciones _____________________________ 127
Resolución de un determinante de tercer orden: _________________________________________ 128
Ejercicios Propuestos. Unidad V___________________________________________ 130
BIBLIOGRAFÍA _______________________________________________________ 132

8. 1
UNIDAD I: CONJUNTOS NUMÉRICOS
Conjuntos Numéricos
Números Naturales ( ).
Los números naturales sirven para contar. El conjunto de los números naturales se denota con
la letra y sus elementos son:
es decir
Su representación en la semi-recta es:
La imposibilidad de resolver en sustracciones cuando el minuendo es menor que el
sustraendo, plantea la necesidad de ampliar el conjunto de los números naturales. Se observa que,
la ecuación:
no siempre tiene solución en . Por ejemplo:
no tiene solución en .
Números Enteros ( ).
Los números enteros sirven, por ejemplo, para expresar temperaturas por debajo de cero y
además, la ecuación , siempre tiene solución en los números enteros.
El conjunto de los números enteros se denota con la letra y sus elementos son:
es decir:

9. 2
Observa que para cada número entero existe el número , llamado entero negativo. Los
números y – son llamados opuestos.
Su representación en la recta es:
La imposibilidad de resolver en divisiones cuando el dividendo no es múltiplo del divisor,
plantea la necesidad de ampliar el conjunto de los números enteros. Se observa que la ecuación:
, con diferente de cero,
no siempre tiene solución en . Por ejemplo:
no tiene solución en
Números Racionales ( ).
Los números racionales sirven para expresar “partes” de la unidad y, además, la ecuación:
, con diferente de cero,
siempre tiene solución en los números racionales.
El conjunto de los números racionales se denota con la letra y sus elementos tienen la
forma , siendo y números enteros, con diferente de cero. Es decir:
Se observa que para cada número entero diferente de cero, existe el número ,
llamado inverso de .
Su representación en la recta es:
Los números racionales pueden ser representados tanto por fracciones como por decimales.

10. 3
Para convertir fracciones a decimales basta con efectuar la división del numerador entero
entre el denominador.
Cuando la división es exacta, estos números decimales reciben el nombre de números
decimales limitados.
Cuando la división no es exacta obtendremos un número infinito de cifras decimales, donde
una cifra o un grupo de cifras se repiten indefinidamente y en el mismo orden, estos decimales
reciben el nombre de números decimales periódicos.
Así, todo número racional puede escribirse como un decimal limitado o un decimal periódico.
Por ejemplo:
½ = 0,5 ; 1
/4 = 0,25 ; 7
/8 = 0,875 ; 11
/10000 = 0,00011
1
/3 = 0,3333333… = 3
,
0 ; 2
/7 = 0,285714285714285714… = 285714
,
0
Números Irracionales ( ).
Analicemos las siguientes situaciones que se han presentado en el estudio de la matemática:
a) Existencia de decimales no limitado y no periódicos, por ejemplo:
0, 2121112 . . . , 5, 2468105 . . . , -4, 1357911 . . .
b) Existencia de segmentos con longitudes tales como:
c) Las ecuaciones de la forma , no siempre tienen solución en . Por
ejemplo:
, admite como una solución,
Lo anterior revela la insuficiencia de los números racionales, planteando la necesidad de
ampliar el campo numérico introduciendo nuevos números que llamaremos Números Irracionales.
Números escritos tales como los escritos en las situaciones a) y b) son números irracionales.
“ Un número irracional es un número con la presentación decimal ilimitada no periódica. ”
Con el mismo argumento también puede decirse que un número irracional es un número que
no puede expresarse como cociente de dos números enteros, es decir, no es racional.
Al conjunto de los números irracionales se denota por . Su representación en la recta es:

11. 4
Ejemplos de números irracionales:
a) Las raíces cuadradas de números primos:
b) Las raíces cuadradas de números enteros positivos que no sean cuadrados perfectos:
Recuerda: Un número entero es un cuadrado perfecto si existe un entero tal que
c) El número
d) El número
Números Reales ( ).
El conjunto de números reales es la unión del conjunto de los números racionales y del
conjunto de números irracionales.
Se denota por al conjunto de números reales, así que:
Es de observar que la intersección entre los conjuntos y es vacío. Es decir, ningún número
racional es irracional y ningún número irracional es racional.
Luego, sí , entonces: o , pero no a ambos.
Como el conjunto de los números irracionales es representado por los decimales ilimitados no
periódicos y los racionales por los decimales limitados o periódicos; entonces el conjunto de los
números reales es el conjunto de los números que se representan con decimales.

12. 5
Propiedades en la adición y multiplicación en los conjuntos Numéricos .
Operaciones Propiedades Descripción de la las propiedades
Asociativa
La forma de agrupar los sumandos
no altera la suma:
Sí Sí Sí
La forma de agrupar los factores no
altera el producto. Sí Sí Sí
Conmutativa
El orden de los sumando, no altera
la suma: Sí Sí Sí
El orden de los factores no altera el
producto: Sí Sí Sí

13. 6
Existencia
de elemento
neutro
Existe un elemento e tal que:
Para todo en el conjunto y
Sí Sí Sí
Existe un elemento tal que:
Para todo el conjunto y
Sí Sí Sí
Existencia
de un
elemento
simétrico
Para cada elemento existe un
tal que: No Sí Sí
Para cada elemento diferente de
cero, existe tal que: No No Sí
Distributiva
Al multiplicar un número por la
adición de otros, se puede
multiplicar dicho número por cada
uno de los sumandos y luego se
suma el producto obtenido:
Sí Sí Sí
Nótese que cumple con las mismas propiedades tanto para la adición como para el
producto que , sin embargo la radicación está definida en los reales, mas no en los racionales.
Recta Real.
El conjunto de los números reales se representa así:
A cada
número real le corresponde un punto y a cada punto le corresponde un número real. Ahora la recta
numérica esta completa y la llamaremos Recta Real.
También se dice que la recta real es ordenada; es decir, la posición de cualquier número
sobre esta recta se define en base al criterio del valor de dicho número con respecto al resto y en
relación al cero. Los números se ordenan desde cero hacia la derecha los números positivos en
orden creciente, y desde cero hacia la izquierda los números negativos, en orden creciente de sus
valores absolutos. La distancia de cualquier número al cero se denomina valor absoluto, se obtiene
tomando el valor numérico positivo del número estudiado y se denota con barras verticales. ( )

14. 7
Orden en el conjunto R.
Un número real es mayor que otro número sí en la recta real se encuentra a la
derecha de .
Si y son números reales, decimos que:
.
En símbolos:
Se observa que si es mayor que entonces, es menor que .
Es decir:
Si y son números reales, decimos que:
es mayor o i ual ue a, s y sólo s , es mayor ue a o es i ual ue
En símbolos:
Se observa que si es mayor o igual que entonces es menor o igual que :
Propiedades de las desigualdades.
1) Dados dos números reales y , una sola de las siguientes posibilidades se cumple:
Esta propiedad reci e el nom re de “Tricotom a”.
2) Dados tres números reales a , , se cumple que:
Si y entonces
Esta propiedad recibe el nom re de “Transitiva”.
Ejemplo:
Si y entonces

15. 8
3) Si a los miembros de una desigualdad se le suma o resta un mismo número real, la
desigualdad no cambia de sentido.
En símbolos:
Si y entonces
Ejemplo:
Si y entonces es decir
4) Si multiplicamos los dos miembros de una desigualdad por un número real positivo, la
desigualdad no cambia de sentido.
En simbolos:
Si y entonces
Ejemplo:
Si y entonces , es decir
5) Si multiplicamos los dos miembros de una desigualdad por un número real negativo, la
desigualdad cambia de sentido.
En símbolos:
Si y entonces
Ejemplo:
Si y entonces ,es decir
Intervalos Reales
Un intervalo es un par ordenado que denota todos los números comprendidos en un
determinado sector de la recta real.
Intervalo Abierto
Intervalo Cerrado

16. 9
Intervalo Semiabierto
Intervalo No Acotado
Operaciones con Intervalos Reales
Unión
La unión de dos intervalos A y B, es otro intervalo compuesto por todos los elementos
comunes y no comunes entre los intervalos A y B.
Ejemplo: Hallar la unión de los intervalos y
Intersección
La intersección de dos intervalos A y B, es otro intervalo compuesto por todos los
elementos comunes a ambos intervalos A y B.
Ejemplo: Hallar la intersección de los intervalos y 

17. 10
Diferencia
La Diferencia entre dos intervalos A y B, es otro intervalo compuesto por todos los
elementos de A que no están en B.
Ejemplo: Hallar la diferencia menos
Complemento
El complemento de un intervalo A, es otro intervalo compuesto por todos los elementos
de la recta real que no están en el intervalo A.
Ejemplo: Hallar el complemento del intervalo
Potenciación en el conjunto de los números reales.
La potenciación es una multiplicación abreviada. Con la notación , queremos indicar un
producto de factores iguales a Luego: Si es un número real y un número entero positivo,
tenemos:
El número o expresión se llama base de la potencia. El número se llama exponente de la
potencia. El número o expresión se llama n-ésima potencia de .

18. 11
Propiedades de la potenciación en .
1. Multiplicación de potencias de igual base.
Si y , entonces . En efecto:
Ejemplos:
a)
b)
2. División de potencias de igual base.
Si , entonces
Ejemplos:
a)
b)
3. Potencia de un producto.
Si , entonces . En efecto:
Ejemplos:
a)
b)
4. Potencia de un cociente.
Si , entonces . En efecto:

19. 12
Ejemplo:
a)
b)
5. Potencia con exponente cero.
Si es diferente de cero tenemos que:
a)
b) (por ser el numrador igual al denominador)
Igualando a) y b) obtenemos
Ejemplos:
a)
b)
6. Potencias con exponentes enteros negativos.
Si , entonces , con diferente de cero.
Ejemplos:
a)
b)
7. Potencia de una potencia.
Si , entonces .
Ejemplos:
a)
b)

20. 13
Radicación en el conjunto de los números reales.
La radicación es la operación inversa de la potenciación. Consiste en determinar la base,
conocidas la potencia y el exponente.
Si es un número real y un entero positivo, entonces la radicación consiste en hallar un
número tal que
El número reci e el nom re de “ra z n-ésima de a” y se denota:
En forma simbólica:
donde, se denomina índice
se denomina cantidad subradical
se denomina signo radical
se denomina raíz n-ésima de a
Nota:
a) Si es un número positivo y un entero, entonces la raíz n-ésima de es un numero real.
b) Si es un número negativo y es número entero impar, entonces la raíz n-ésima de es un
número real.
c) Si es un número negativo y es un entero par, entonces la raiz n-ésima de no es un número
real.
Potencias con exponente fraccionarios y radicales.
Si y son números enteros con diferente de cero y un número real, entonces:
Ejemplos:
a)
b)

21. 14
Propiedades de la radicación.
1. Raiz de un producto.
La raíz de un producto es igual al producto de las raices.
Ejemplos:
2. Raíz de un cociente.
La raíz de un cociente es igual al cociente de las raíces.
Ejemplos:
a)
b)
3. Raíz de una raíz.
Para calcular una raíz a una raíz se multiplican los índices y se conserva la cantidad
subradical.
Ejemplos:
a)
b)

22. 15
Racionalización
Racionalizar una función cuyo denominador es irracional consiste en obtener una equivalente
a ella cuyo denominador es racional.
Caso a: El denominador de la fracción contiene un monomio bajo el signo radical.
Regla: Se multiplican el numerador y denominador de la fracción por un radical del mismo índice del
radical que aparece en el denominador y los exponentes de los factores de la nueva cantidad
subradical deben ser multiplos del índice.
Ejemplo: Racionalice el denominador en cada caso.
a)
b)
Caso b: El denominador de la fracción es un binomio en el cual uno de sus términos contiene raíces
cuadradas.
Regla: Se multiplican tanto el numerador como el denominador por la expresión conjugada del
denominador.
Ejemplo: Racionalice el denominador en cada caso.
a)
b)
Caso c: El denominador de la fracción contiene un binomio en el cual uno de los términos contiene
raíces cúbicas.
Regla:
1.
Si el binomio tiene la forma entonces se multiplican tanto el numerador como el
denominador por la expresión
2. Si el binomio tiene la forma entonces se multiplican tanto el numerador como el
denominador por la expresión .

23. 16
Ejemplo: Racionalice el denominador en cada caso:
a)
b)
EJERCICIOS PROPUESTOS. UNIDAD I.
1) Coloque el símbolo 0 según corresponde:
3/2 0,1 2,12345…
π 4,25 0,167
2) Efectuar las siguientes operaciones:
A.
B.
C.
D.
E.
F.
G.
H.
I.
J.
3) Calcular los siguientes productos:
A.
B.
C.
D.
E.
F.
G.
H.
4) Efectúe aplicando la propiedad distributiva:
A.
B.
C.
D.
E.
F.
G.
H.
5) Determine en cada caso el cociente (c) y el residuo (r):
A.
B.
C.
D.
E.
F.

24. 17
6) Efectúe aplicando propiedad distributiva para la división:
A.
B.
C.
D.
E.
F.
7) Calcular el mínimo común de:
A.
B.
C.
D.
E.
F.
G.
8) Simplifique las siguientes fracciones:
A.
B.
C.
D.
E.
F.
G.
H.
I.
J.
K.
L.
M.
N.
O.
9) Efectuar las siguientes adiciones de fracciones:
A.
B.
C.
D.
E.
F.

25. 18
G.
H.
I.
J.
K.
L.
M.
N.
O.
P.
Q.
R.
S.
T.
U.
10) Efectuar:
A.
B.
C.
D.
E.
F.
G.
H.
I.
11)Aplique la propiedad distributiva:
A.
B.
C.
D.
E.
F.
G.
H.
I.
J.
K.
L.

26. 19
12) Efectuar:
A.
B.
C.
D.
E.
F.
13)Aplique la propiedad distributiva:
A.
B.
C.
Operaciones con intervalos reales.
Unión.
La unión de dos intervalos A y B, es otro
intervalo (A  B) compuesto por todos los
elementos comunes y no comunes entre los
intervalos A y B.
Intersección. La intersección de dos intervalos A y B, es otro
intervalo (A  B) compuesto por todos los
elementos comunes a ambos intervalos A y B.
Conjunto
B [1,3]
Conjunto
A (2, 4)
Conjunto
B [1,3]
Conjunto
A (2, 4)
(A  B)
(A  B)

27. 20
Diferencia.
La Diferencia entre dos intervalos A y B, es
otro intervalo (A - B) compuesto por todos los
elementos de A que no están en B.
Complemento. El complemento de un intervalo A, es otro
intervalo (AC
) compuesto por todos los
elementos de la recta real que no están en el
intervalo A.
14) Dados los siguientes intervalos reales, se pide hallar: AB, AC, BC, AB, AC, BC, A-B, B-
A, A-C, C-A, B-C, C-B, AC
, BC
, CC
, BC
-CC
, CC
-B, B-AC
, AC
BC
, AC
CC
, (CC
-B)(AC
-C), (C-BC
)(A-BC
):
Conjunto
B [1,3]
Conjunto
A (2, 4)
Conjunto
A (2, 4)
(A - B)
(AC
)

28. 21
15) Efectuar:
A.
B.
C.
D.
E.
F.
G.
H.
I.
J.
K.
L.
M.
N.
O.
P.

29. 22
Q.
R.
S.
16) Dado los números racionales:
Determine aproximaciones, de defecto y por exceso, con error máximo de una milésima de:
A.
B.
C.
D.
E.
F.
G.
H.
I.
J.
17) Calcular las siguientes potencias, utilizando las propiedades:
A.
B.
C.
D.
E.
F.
G.
H.
I.
J.
K.
L.
M.

30. 23
N.
O.
P.
Q.
R.
S.
18) Simplificar las siguientes fracciones y expresar el resultado sin exponentes negativos:
A.
B.
C.
D.
E.
F.
G.
H.
I.
J.
K.
L.
M.
N.
O.
19) Resolver aplicando las propiedades:
A.
B.
C.
D.
E.
F.
G.
H.
I.
J.
K.
L.
M.
N.
O.
P.

31. 24
Q.
R.
20) Resolver:
A.
B.
C.
D.
21) Escribir cada una de las siguientes expresiones según su radical equivalente:
A.
B.
C.
D.
E.
F.
G.
H.
22) Transformar cada uno de los siguientes radicales en su potencia correspondiente:
A.
B.
C.
D.
E.
F.
G.
H.
I.
23) Simplificar las siguientes expresiones.
A.
B.
C.
D.
E.
F.
G.
H.
I.

32. 25
24) Resolver:
A.
B.
C.
D.
E.
F.
G.
H.
25) Efectúe las siguientes operaciones con radicales de diferentes índices:
A.
B.
C.
D.
E.
F.
G.
H.
26) Introducir en la cantidad subradical.
A.
B.
C.
D.
E.
F.
G.
H.
I.
27) Extraiga los factores de los siguientes radicales.
A.
B.
C.
D.
E.
F.

33. 26
28) Efectuar y simplificar.
A.
B.
C.
D.
E.
F.
29) Simplifique las siguientes expresiones.
A.
B.
C.
D.
E.
F.
G.
H.
I.
J.
K.
L.
M.
N.
O.
P.
Q.
R.

34. 27
30) Efectuar.
A.
B.
C.
D.
E.
F.
G.
H.
I.
J.
K.
L.
M.
31) Racionalice.
A.
B.
C.
D.
E.
F.
G.
H.
I.
J.
K.
L.
M.
N.
O.
P.
Q.

35. 28
32) Racionalice (Denominador)
A.
B.
C.
D.
E.
F.
G.
H.
I.
J.
K.
L.
M.
N.
O.
P.
Q.
R.
S.
T.
U.
V.
W.
X.
33) Simplificar y racionalizar el denominador (cuando sea necesario)
A.
B.
C.
D.
E.
F.

36. 29
UNIDAD II POLINOMIOS Y OPERACIONES CON
FRACCIONES ALGEBRAICAS
Polinomios
Se denomina polinomio en una variable x a una expresión algebraica de la forma
siguiente:
anxn
+ an-1xn-1
+ . . . + a2x2
+ a1x + a0
siendo n un número natural.
Elementos de un polinomio.
a) Los números an, an-1, . . . a2, a1, a0 se denominan coeficientes del polinomio.
b) En un polinomio, cada sumando se denomina término del polinomio.
c) Se denomina grado del i-ésimo término de un polinomio, al exponente de la
potencia de x de ese término.
d) El término de grado cero se denomina término independiente.
e) Se denomina grado de un polinomio al mayor exponente de las potencias de
x con coeficientes no nulo.
Ejemplo:
P(x) = 6x5
+ 3x4
– 2x3
+ x2
– x + 4
Término Coeficiente Grado
6x5
6 5
3x4
3 4
-2x3
-2 3
x2
1 2
- x -1 1
4 4 0
Grado del polinomio: 5

37. 30
Polinomios Especiales.
Polinomio nulo:
Es un polinomio que tiene sus coeficientes nulos. Este polinomio carece de grado
y se designa con el número cero.
P(x) = 0x5
+ 0x4
+ 0x3
+ 0x2
+ 0x + 0
 coeficientes: 0, 0, 0, 0,0
 variable: x
 término independiente: 0
Polinomio Constante:
Es un polinomio que tiene todos sus coeficientes nulos excepto el del término
independiente. Cualquier número no nulo es un ejemplo de polinomio constante.
Ejemplos:
a) P(x) = 0x6
+ 0x5
+ 0x4
+ 0x3
+ 0x2
+ 0x + 1 P(x) = 1
b) P(y) = 0y4
+ 0y3
+ 0y2
+ 0y - ½ P(y) = - ½
Monomio:
Es un polinomio de un solo término con coeficiente no nulo. ( 3x3
, - ½ a )
Binomio:
Es un polinomio de dos términos con coeficientes no nulos. ( a + b , 6x2
– 3x )
Trinomio:
Es un polinomio de tres términos con coeficientes no nulos.
( x2
– 3x – 9 , -7y3
+ 2y -7/8 )
Valor Numérico de un polinomio.
Al sustituir en: P(x) = anxn
+ an-1xn-1
+ . . . + a2x2
+ a1x + a0
la variable x por un número racional fijo q, obtendremos el valor numérico del
polinomio p(x) cuando x “vale”
Ejemplo:
Sea P(x) = x3
+ 2x2
+3x – 1
Hallemos el valor numérico para x = -1
P(-1) = (-1)3
+ 2(-1)2
+ 3(-1) - 1 = -1 + 2 – 3 – 1 = -3

38. 31
Términos Semejantes.
Se denomina términos semejantes en polinomios de una misma variable, a
aquellos términos que tienen igual grado.
En los polinomios:
P(x) = 5x3
- 4x2
+ 7x - 10
Q(x) = 7x3
+ 8x2
– 15
Los términos semejantes son:
5x3
y 7x3
-4x2
y 8x2
7x y 0x
-10 y -15
Polinomios en dos o más variables:
Un término de un polinomio, en dos o más variables, es un producto de un número
y de las potencias de las variables. El número se denomina coeficiente y el
producto de potencias se denomina parte literal.
El grado de un término es dado por la suma de los exponentes de las variables.
Los términos semejantes en un polinomio de dos o más variables son aquellos
que tienen igual parte literal (iguales las variables e iguales sus exponentes).
Ejemplo: En los polinomios
5x3
– 3x2
y + 0,5xy2
– y4
y
2x4
+ 5x2
y – 2/3xy2
+ 5y4
los términos semejantes son:
-3x2
y y 5x2
y
0,5xy2
y -2/3xy2
-y4
y 5y4
Observa que –3x2
y y -2/3xy2
no son términos semejantes.

39. 32
Operaciones con polinomios.
Adición de polinomios.
La suma de dos polinomios P(x) y Q(x) es otro polinomio S(x) que se obtiene
sumando los coeficientes de los términos semejantes de los polinomios dados.
El polinomio suma S(x) es denotado por P(x) + Q(x).
Los polinomios P(x) y Q(x) se denominan sumandos.
Ejemplo: Sumar los siguientes polinomios
P(x) = 3x7
– 4x6
+ x – 2x3
+ 1 y Q(x) = 2x2
+ 4x3
– 3 + 2x6
– 5x7
+ x8
Procedimiento:
1. Ordenamos los polinomios en forma decreciente ( también se pueden ordenar
en forma creciente)
P(x) = 3x7
–4x6
– 2x3
+ x + 1
Q(x) = x8
– 5x7
+ 2x6
+ 4x3
+ 2x2
– 3
2. Se colocan los polinomios uno debajo del otro de forma tal que los términos
semejantes queden en una misma columna (si es necesario se completa con
ceros)
0x8
+ 3x7
– 4x6
– 2x3
+ 0x2
+ x + 1
x8
– 5x7
+ 2x6
+ 4x3
+ 2x2
+ 0x – 3
3. Se suman los coeficientes de los términos semejantes:
P(x) + Q(x) = x8
– 2x7
– 2x6
+ 2x3
+ 2x2
+ x - 2
Adición de polinomios en dos o más variables.
La suma de polinomios en dos o más variables se obtiene en forma similar a los
de una variable, reduciendo los términos semejantes de los polinomios dados, así:
2x3
+ 5x2
y – 7xy2
– y3
-7x3
+ 4x2
y
-5x3
+ 9x2
y – 7xy2
– y3
Sustracción de polinomios.
La diferencia de dos polinomios P(x) y Q(x) es otro polinomio que se obtiene
sumando a P(x) el opuesto de Q(x), es decir:

40. 33
P(x) – Q(x) = P(x) + [-Q(x)]
Ejemplo:
Si P(x) = 5x4
+ 8x3
+ 3x – 7
Q(x) = 3x3
+ 4x2
– 3x + 9
P(x) – Q(x) será:
P(x) = 5x4
+ 8x3
+ 0x2
+ 3x – 7
- Q(x) = 0x4
- 3x3
- 4x2
+ 3x – 9
P(x) – Q(x) = 5x4
+ 5x3
– 4x2
+ 6x – 16
Multiplicación de polinomios.
Para facilitar la comprensión de la multiplicación de polinomios consideremos tres
casos:
Multiplicación de dos monomios:
El producto de dos monomios es otro monomio tal que:
a) Su coeficiente es el producto de dos coeficientes.
b) La variable tiene un exponente igual a la suma de exponentes.
(3x6
).(-8x3
) = [3.(-8)] . (x6
.x3
) = -24x9
Multiplicación de un monomio por un polinomio.
El producto de un monomio por un polinomio se obtiene multiplicando el monomio
por cada término del polinomio.
Recordemos que la multiplicación es distributiva respecto a la adición; dicha
propiedad la aplicaremos en este caso.
Sean P(x) = -2x3
y Q(x) = 4x2
- 5x + 3
P(x) . Q(x) = (-2x3
).(4x2
- 5x + 3) = (-2x3
) . (4x2
) + (-2x3
) . (-5x) + (-2x3
) . (3)
P(x) . Q(x) = -8x5
+ 10x4
- 6x3
Multiplicación de dos polinomios.
Para multiplicar dos polinomios aplicamos también la propiedad distributiva.
El producto de dos polinomios no nulos, P(x) y Q(x) se obtiene multiplicando cada
término de Q(x) por el polinomio P(x) efectuando la suma de los polinomios

41. 34
obtenidos.
El grado del producto es la suma de los grados de los factores.
P(x) . Q(x) = 3x2
+ 4x - 5
P(x) . Q(x) = 3x - 4
-12x2
- 16x + 20
9x3
+ 12x2
- 15x
P(x) . Q(x) = 9x3
- 31x + 20
División de polinomios.
Para facilitar la comprensión de la división de polinomios consideremos tres casos:
División de dos monomios.
Para dividir dos monomios se dividen los coeficientes y luego se dividen las
variables aplicando el cociente de potencias de igual base.
4
2
6
2
6
2
5
10
5
10
x
x
x
x






División de un polinomio entre un monomio.
Para dividir un polinomio entre un monomio se divide cada término del polinomio
entre el monomio. Es decir, se aplica la propiedad distributiva de la adición
respecto a la división.
3
4
2
17
2
6
2
8
2
17
2
6
8
17 2
2
3
2
3








x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
División de dos polinomios.
Para hallar el cociente entre dos polinomios seguimos el siguiente procedimiento:
1) Se completa el polinomio dividendo y se ordena en forma decreciente
2) Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor
para obtener el primer término del cociente.
3) Se multiplica el primer término del cociente por el divisor y se resta este
producto del dividendo. Recuerda que para restar debes sumar el opuesto.
4) Consideramos la diferencia obtenida como un nuevo dividendo y repetimos los
pasos 2) y 3) para obtener el segundo término del cociente.

42. 35
5) Repetimos el proceso hasta que el resto o residuo sea el polinomio nulo o un
polinomio de menor grado que el divisor.
DIVIDENDO RESÍDUO
COCIENTE
DIVISOR DIVISOR
 
Ejemplo:
Sean P(x) = 5x3
+ x – 8 y Q(x) = x – 3
Hallemos el cociente P(x) / Q(x)
5x3
+ 0x2
+ x – 8 x – 3
-5x3
+ 15x2
5x2
+ 15x + 46
15x2
+ x - 8
-15x2
+ 45x
46x - 8
-46x + 138
130
 
 
x 2
x
P 130
5x 15x 46
Q x 3
   

NOTA
Es importante mencionar que si el residuo es el polinomio nulo, se dice que la
división es exacta.
Se dice un polinomio P(x) es divisible por otro Q(x) si la división de P(x) / Q(x) es
exacta, o sea si existe otro polinomio C(x) tal que:
P(x) = Q(x) . C(x)
Otra forma de expresar esta propiedad es diciendo que P(x) es un múltiplo de Q(x),
o que Q(x) es un divisor de P(x).
Un polinomio se dice que es primo si no admite otros divisores que sí mismo y las
constantes.
Raíz o cero de un polinomio
Una raíz o cero de un polinomio P(x) es un valor particular de la variable para el
cual el valor numérico del polinomio es cero.

43. 36
Un cero o raíz del polinomio:
P(x) = 3 + x es x = -3, ya que:
P(x) = 3 + (-3) = 0
Productos Notables.
Se llama productos notables a ciertos productos que cumplen reglas fijas y cuyo
resultado puede ser escrito por simple inspección, es decir, sin verificar la
multiplicación.
Veamos algunos de ellos:
Cuadrado de un binomio.
El cuadrado de un binomio es igual al cuadrado del primer término, más el doble
del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo término.
(a  b)2
= a2
 2ab + b2
Ejemplos:
a) (x + 5)2
= x2
+ 2x.5 + 52
= x2
+ 10x + 25
b) (x - 3)2
= x2
– 2.x.3 + 32 = x2
– 6x + 9
Cubo de un binomio.
El cubo de un binomio es igual al cubo del primer término, más el triple del
cuadrado del primero por el segundo, más el triple del primero por el cuadrado del
segundo, más el cubo del segundo.
(a  b)3
= a3
 3a2
b + 3ab2
 b3
Ejemplos:
a) (x + 2)3
= x3
+ 3x2
2 + 3x(2)2
+ (2)3
= x3
+ 6x2
+ 12x + 8
b) (y – 5)3
= y3
– 3y2
5 + 3y52
– (5)3
= y3
– 15y2
+ 75y – 125
Producto de una suma de dos términos por su diferencia (binomios
conjugados)
El producto de dos binomios conjugados es igual al cuadrado del primer término
menos el cuadrado del segundo término.
(a + b).(a – b) = a2
– b2

44. 37
Ejemplos:
a) (x + 6).(x – 6) = x2
– 62
= x2
– 36
b) (y2
– 3/2).(y2
+ 3/2) = (y2
)2
– (3/2) = y4
– 9/4
Producto de dos binomios que tienen un término en común.
El producto de dos binomios que tienen un término en común es igual al cuadrado
del término en común más la suma de los términos no comunes por el término
común, más el producto de los términos no comunes.
(a + b).(a + c) = a2
+ (b + c).a + b.c
Ejemplos:
a) (x + 4).(x + 3) = x2
+ (4 + 3).x + 4.3 = x2
+ 7x + 12
b) (x + 7).(x - 2) = x2
+ (7 – 2).x + 7.(-2) = x2
+ 5x - 14
Binomio de Newton.
Es el desarrollo del binomio (a + b)n
.
 
n n n 1 n 2 2 2 n 2 n 1 n
n n n n
a b a a b a b ... a b ab b
1 2 n 2 n 1
   
       
       
       
 
       
NOTA: los números combinatorios se resuelven según
 
   
n n!
y n! n. n 1 . n 2 ...2.1
m n m !m!
 
   
 

 
Ejemplo: (x + 3)5
= x5
+ 5x4
3 + 10x3
32
+ 10x2
33
+ 5x34
+ 35
 (x + 3)5
= x5
+ 15x4
+ 90x3
+ 270x2
+ 405x + 243
Factorización.
Factorizar un polinomio consiste en escribirlo como producto de factores primos. A
continuación estudiaremos algunos casos de factorización.
Factor común.
Este caso tiene la forma
a.m + a.n + a.p = a.(m + n + p)
Consiste en aplicar la propiedad distributiva de la multiplicación respecto a la

45. 38
adición.
Ejemplo: Factorizar 6ax3
+ 9a2
x2
– 18a3
x
Observe que cada coeficiente es divisible por 3 y la parte literal es divisible por ax.
Luego el factor común es 3ax y factorizamos así:
6ax3
+ 9a2
x2
– 18a3
x = 3ax(2x2
+ 3ax – 6a2
)
Factorización por agrupación de términos
Las propiedades asociativas de la adición conjuntamente con la propiedad
distributiva, permiten factorizar un polinomio por agrupación de sus términos.
Ejemplos:
a) mx + ny + my + nx = (mx + my) + (nx + ny) = m(x + y) + n(x + y) = (x + y)(m + n)
b) y2
– x2
+ y –x2
y = (y2
+ y) – (x2
y + x2
) = y( y+ 1) – x2
( y + 1) = (y + 1)(y - x2
)
Factorización de un trinomio cuadrado perfecto
Un polinomio de la forma a2
± 2ab + b2
se denomina trinomio cuadrado
perfecto, y su factorización es (a ± b)2
En un trinomio de esta forma se cumple:
a) Dos de sus términos son cuadrados perfectos (positivos).
b) El otro término es el doble producto de a y b, esto es 2ab, ( que puede ser
positivo o negativo ).
Ejemplo: Factoricemos:
a) x2
+ 10x + 25
Dos de sus términos son cuadrados perfectos ( positivos ).
x2
es el cuadrado de x.
25 es el cuadrado de 5.
El otro término es el doble producto de a y b, esto es 2ab.
10x = 2.x.5
Por lo que se trata del cuadrado de una suma, luego
x2
+ 10x + 25 = (x + 5)2
b) 16x4
- 8x2
y3
+ y6
Dos de sus términos son cuadrados perfectos ( positivos ).

46. 39
16x4
es el cuadrado de 4x2
.
y6
es el cuadrado de y3
.
El otro término es el doble producto de a y b, esto es 2ab.
-8x2
y3
= -2.(4x2
).(y3
)
Por lo que se trata del cuadrado de una diferencia, luego
16x4
- 8x2
y3
+ y6
= (4x2
- y3
)2
Factorización de una diferencia de cuadrados
Este caso tiene la forma:
(a2
- b2
) = (a + b).(a – b)
El binomio a2
– b2
es una diferencia de cuadrados de dos monomios a y b. Es
factorizable en dos factores, la suma (a + b) y la diferencia (a – b).
Ejemplos: Factorizar
a) X2
– 9 = (x + 3).(x – 3)
b) 25x4
– 81y2
= (5x2
+ 9y).(5x2
– 9y)
Factorización de un trinomio del tipo ax2
+ bx + c
Solamente trataremos el caso de trinomios que provienen del producto de dos
binomios con un término común, esto es:
ax2
+ bx + c = (px + m).(px + n)
Analizaremos dos casos:
1. Cuando a = 1
Sí a = 1 entonces: p = 1, y así:
x2
+ bx + c = (x + m).(x – n) = x2
+ (m + n).x + m.n
Luego:
1) El término común x de cada binomio es la raíz cuadrada del primero.
2) Los segundos términos: m y n, son dos números tales que sumados
dan b y multiplicados dan c, es decir:
m + n = b y m.n = c
Los números m y n los determinamos mediante los divisores de c.
3) De las relaciones: b = m + n y c = m.n, se tiene:

47. 40
a) Si c es positivo, entonces m y n tienen el mismo signo que b
(ambos positivos o ambos negativos)
b) Si c es negativo, entonces m y n tienen diferentes signos.
El divisor de c (m ó n) de mayor valor absoluto tiene el signo de b.
Ejemplo: Factorizar:
X2
+ 5x + 4 Debemos hallar dos números tales que
su producto sea 5 y su suma sea 4
X2
+ 5x + 4 = (x )(x ) escribimos x (raíz Cuadrada x2
)
en cada factor
= (x + )(x + ) Como el producto 4 es positivo,
los números buscados tienen el mismo
signo. Como la suma 5 es positiva los
números buscados son positivos.
Seleccionamos entre divisores de 4 al 1
y al 4, Ya que: 1 + 4 = 5 y 1.4 = 4
= (x + 4).(x + 1) los números buscados son 4 y 1
2. Cuando a es un cuadrado perfecto.
Este caso tiene la forma:
ax2
+ bx + c = (px + m).(px + n) = p2
x2
+ [(m + n).p] x + m.n
Luego el término común px de cada binomio es la raíz cuadrada del primer
término ax2
del trinomio.
Para factorizar un trinomio de este tipo, se procede en la forma siguiente:
1) Se descompone el coeficiente b de x en un producto tal que uno de
sus factores sea la raíz cuadrada de a.
Sea b = dp, donde p = a
2) Se forma el trinomio: ax2
+ d.(px) + c
3) Se procede como en el caso anterior, buscamos entre los divisores de
c, dos números cuya suma sea d.

48. 41
Ejemplo: Factorizar:
4x2
– 16x – 20 como la raíz de 4 es 2,
descomponemos: -16 = (-8).2, luego:
4x2
– 16x – 20 = 4x2
– 8.(2x) – 20
Debemos hallar dos números tales que
su producto sea –20 y su suma –8
4x2
– 16x – 20 = (2x ).(2x ) escribimos 2x (raíz cuadrada de 4x2
)
en cada factor.
= (2x + ).(2x - ) como el producto -20
es negativo, los números buscados
tienen diferente signo. Como la suma
-8 es negativa, el número de mayor
valor absoluto es negativo.
= (2x + 2).(2x - 10) Los números buscados son: -10 y 2
Factorización de un polinomio que es un cubo perfecto.
Este caso tiene la forma:
a3
± 3a2
b + 3ab2
± b3
= (a ± b)3
y se cumple que:
a) Tiene cuatro términos.
b) El primer término a3
es el cubo de a.
c) El cuarto término b3
es el cubo de b.
d) El segundo término 3a2
b es el triple de a2
por b
e) El tercer término 3ab2
es el triple de a por b2
.
Ejemplo: Factorizar X3
+ 6x2
+ 12x + 8
Observemos que dicho polinomio:
a) Tiene cuatro términos.
b) El primer término x3
es el cubo de x.
c) El cuarto término 8 es el cubo de 2.
d) El segundo término 6x2
= 3x2
.2
e) El tercer término 12x = 3.x.22
.
Y como los términos son positivos, es el cubo de la suma:
X3
+ 6x2
+ 12x + 8 = (x + 2)3

49. 42
Regla de Ruffini para factorizar polinomios.
Para factorizar un polinomio p(x) = anxn
+ an-1xn-1
+ . . . + a2x2
+ a1x + a0,
utilizando la regla de Ruffini seguiremos los siguientes pasos:
a) Hallaremos los divisores positivos y negativos del término independiente a0.
b) En caso de que la raíz sea fraccionaria, el numerador es divisor del término
independiente y el denominador es divisor del coeficiente del término de
mayor grado.
c) Llamaremos  a los divisores enteros y fraccionarios hallados en a) y b).
d) Se va probando por división sintética por (x – ).
e) Si el residuo es cero entonces  es raíz del polinomio.
f) Luego, se escribe el polinomio p(x) como producto de factores (x – ).
Ejemplo: Factorizar los siguientes polinomios
a) p(x) = x4
– 5x2
+ 4 Calculemos los divisores de 4:  1,  2,  4
1 0 -5 0 4
1 1 1 -4 -4
1 1 -4 -4 0
-1 -1 0 4
1 0 -4 0
2 2 4
1 2 0
-2 -2
1 0
Así, las raíces del polinomio son: 1, -1, 2, -2.
Luego p(x) = (x - 1).(x + 1).(x - 2).(x + 2)
b) q(x) = 15x4
+ 26x3
– 17x2
– 20x - 4
Los divisores de 4 son:  1,  2,  4
Los divisores de 15 son:  1,  3,  5,  15

50. 43
15 26 -17 -20 -4
1 15 41 24 4
15 41 24 4 0
-2 -30 -22 -4
15 11 2 0
-2/5 -6 -2
15 5 0
-1/3 -5
15 0
Así, las raíces del polinomio son: 1, -2, -2/5, -1/3.
Luego q(x) = 15.(x - 1).(x + 2) .(x + 2/5).(x + 1/3)
q(x) = (x - 1).(x + 2) .(5x + 2).(3x + 1)
Máximo Común Divisor de Polinomios.
El máximo común divisor de dos o más expresiones algebraicas es la expresión
algebraica de mayor coeficiente numérico y de mayor grado que esta contenida
exactamente en cada una de ellas.
Ejemplo:
a) El M.C.D. de 10a2
b y 20a3
es 10a2
b) El M.C.D. de 8a3
n2
, 24an3
y 40a3
n4
p es 8an2
Al hallar el M.C.D. de dos o más polinomios puede ocurrir que los polinomios
puedan factorizarse fácilmente o que su descomposición no sea sencilla. En el
primer caso se halla el M.C.D. factorizando los polinomios dados; en el segundo
caso se halla el M.C.D. por divisiones sucesivas.
M.C.D. por descomposición de factores.
Se descomponen los polinomios dados en sus factores primos. El M.C.D. es el
producto de los factores comunes con su menor exponente.
Ejemplos: Hallar el M.C.D. de
a) 4a2
+ 4ab y 2a4
– 2a2
b2
Factorizando las expresiones:
4a2
+ 4ab = 4a(a + b)

51. 44
2a4
– 2a2
b2
= 2a2
(a2
– b2
) = 2a2
(a + b)(a – b)
Los factores comunes son: 2, a y (a + b), luego:
M.C.D. = 2a(a + b)
b) x2
– 4, x2
– x – 6 y x2
+ 4x
Factorizando las expresiones:
x2
– 4 = (x + 2).(x - 2)
x2
– x – 6 = (x + 2).(x – 3)
x2
+ 4x + 4 = (x + 2)2
El factor común es (x + 2 ) y se toma con su menor exponente, luego:
M.C.D. = (x + 2)
Mínimo Común Múltiplo de Polinomios.
El mínimo común múltiplo de dos o más expresiones algebraicas es la expresión
algebraica de menor coeficiente numérico y de menor grado que es divisible
exactamente por cada una de las expresiones dadas.
Ejemplos:
a) El m.c m. de 4a y 6a es 12a
b) El m.c.m. de 2x2
, 6x3
y 9x4
es 18x4
El m.c.m. de dos o más expresiones algebraicas, es el producto de los factores
primos comunes y no comunes con su mayor exponente.
Ejemplo:
a) Hallar el m.c.m. de 4ax2
– 8axy + 4ay2
y 6b2
x – 6b2
y
Descomponiendo:
4ax2
– 8axy + 4ay2
= 4a(x2
– 2xy + y2
) = 22
a(x – y)2
6b2
x – 6b2
y = 6b2
(x – y) = 2.3b2
(x - y)
m.c.m. = 22
.3.a(x – y)2
= 12ab2
(x – y)2
b) Hallar el m.c.m. de x3
+ 2bx2
, x3
y - 4b2
xy, x2
y2
+ 4bxy2
+ 4b2
y2
Descomponiendo:
x3
+ 2bx2
= x2
(x + 2b)
x3
y - 4b2
xy = xy(x2
- 4b2
) = xy(x + 2b)(x - 2b)
x2
y2
+ 4bxy2
+ 4b2
y2
= y2
(x2
+ 4bx + 4b2
) = y2
(x + 2b)2
m.c.m. = x2
y2
(x + 2b)2
(x – 2b)

52. 45
Operaciones con Fracciones Algebraicas
Adición.
Para sumar dos o más fracciones algebraicas, esta se reduce al común
denominador.
Ejemplo: Sumar; 2 2
2x 1 4 5x
x 2
x 2x x 4
 
 

 
a) Hallamos el m.c.m. de los denominadores;
x2
+ 2x = x(x + 2) x – 2 = x – 2 x2
– 4 = (x + 2)(x – 2)
m.c.m. = x(x + 2)(x – 2) Denominador común
b) Factorizando los denominadores y dividimos el m.c.m. entre el denominador de
cada fracción y multiplicamos cada cociente por el correspondiente numerador
5x
2x 1 4
x(x 2) x 2 (x 2)(x 2)
 
 
   
=
(x 2)(2x 1) ( 4)x(x 2) 5x.x
x(x 2)(x 2)
     
 
=
2 2 2
2x x 4x 2 4x 8x 5x
x(x 2)(x 2)
     
 
=
2
3x 13x 2
x(x 2)(x 2)
 
 
Multiplicación.
El producto de dos fracciones algebraicas es una fracción cuyo numerador es el
producto de los numeradores y el denominador es el producto de los
denominadores de las fracciones dadas.
5 3 3 5 2 3 3 2 5 3 3 3
7 2 7 2 2 2 2 7 4 4
8.x 9.y 2 .x .3 y 2 .3 .x .y 2.3.x 6.x
.
5.y 12.x 5y .3.2 .x 5.3.2 .x .y 5.y 5.y
   
División.
El cociente de una fracción algebraica entre otra, se obtiene multiplicando la
primera por la inversa de la segunda.
2 3 2 2 3 2 2
5 5 3 2 5 3 2 3
24.x .y 5.x .y 24.x .y 14.z 2 .3.x .y.2.7.z 48
.
14.z
7.z 7.z 5x .y 7.z . 5.x .y 5.x.y.z
   

53. 46
Simplificación de Fracciones Algebraicas
El proceso de hallar fracciones equivalentes dividiendo numerador y denominador
por un mismo polinomio no nulo, se denomina simplificación de fracciones
algebraicas.
Luego, simplificar una fracción algebraica es dividir numerador y denominador por
un divisor común no nulo y diferente de uno.
Fracciones Algebraicas Irreducibles.
Una fracción algebraica
(x)
(x)
p
q
, se dice, que es irreducible si el máximo común
divisor de sus términos es uno.
En consecuencia, no se puede simplificar.
La fracción
3x 1
5x

es irreducible porque M.C.D. (3x – 1 y 5x) = 1
En cambio, la fracción
2
3
28x
16x
no es irreducible porque M.C.D. (28x2
y 16x3
) = 4x2
diferente de 1. En consecuencia, se puede simplificar por 4x2
y obtener así una
fracción irreducible.
Ejercicios Propuestos. Unidad II
1.- Dados los polinomios:
p(x,y) = x3
- 3x2
y + 2xy2
q(x,y) = x2
- xy - y2
g(x,y) = x4
- x3
y + x2
y2
+ 2x2
y - 2xy2
+ 2y3
h(x,y) = 2x3a + 1
y2b – 3
- 4x3a
y2b - 2
- 28x3a – 2
y2b
+ 30x3a – 3
y2b + 1
i(x,y) = -xa + 2
yb – 1
- 3xa
yb + 1
+ 4xa + 1
yb
r(a,b) = a2
- 3ab + b2
l(a,b) = -5ab + a2
- b2
k(a,b) = 8ab - b2
- 2a2
w(a,b) = a3
- 4ab2
- 5a2
b
m(a,b) = 3a5
+ 10a3
b2
+ 64a2
b3
- 21a4
b + 32ab4
d(x,y,z) = x2
- 4y + 5z f(x,y,z) = -5x2
+ 10y - 6z
y(x) = 3x5
- x4
- 8x3
- x2
- 3x + 12 c(x) = -x2
+ x + 1
s(x) = x4
- x2
+ 5 z(x) = 3x3
- x2
+ x - 4
j(x) = 4x5
- 2x4
- 3x3
+ 4x2
- x - 1

54. 47
t(x) = 3
8
3
3
2 3

 x
x u(x) = x
x
x
4
3
6
5
5
3 3
4



Calcular: p+q, p-q, p+g, q+g, g-q, p.q, p.g, q.g, g/q, h+i, h-i, h.i, h/i, r+l, r+k,
r+w, r+m, l+k, l-k, r.l, r.k, r.w, k.w, k.l, m/w, d+f, d-f, d.f, y+c, y+z, y-u, s-z, j-t,
s.c, z.t, u.s, y/c, y/s, y/z, j/t, j/u, j/y, j/z, (j-u)+(t-z), (s.z)-(j.c), (u-t).(z-c), (y.c)/(j-z)
2.- Resuelva utilizando la fórmula de productos notables, donde sea posible:
a) (10x3
– 9xy5
)2
b) (a + b)(a – b)(a2
– b2
)
c) )
)(
( n
x
n
x
b
a
b
a 
 d) )
9
)(
8
( 1
1

 
 a
a
x
x
e) )
4
)(
4
(
)
6
)(
6
( 



 x
x
x
x f)
2
)
1
(
)
1
2
( 

 xy
xy
xy
g) m + 1 - n2
h) (8x2
y + 9m3
)3
i)  
3
6
z x 3y
 j)   
3 x 5yz 3 x 5yz
 
k) (2y - 3x2
)5
l) (xa + 3
+ 5ya + 1
)(xa + 3
- 2ya + 1
)
m)  
6
2
x 2y
 n)    
3
2 2
2 2 2 2
2x y 4x y
 
 
  
 
 
o)
3
2 3
3 2
a 2b
b a

 

 
 
p)
2 2
2 x 3 x
3 y 4 y
  
   
  
  
q) (x + 1)3
- (x - 1)3
.(x + 1).(x – 1) r) (x + 4y).(x – 4y) + (3x + 2y)2
- (x – 4y)2
3.- Hallar el cociente y el residuo de las siguientes divisiones de polinomios:
a)    
3 2
2
28
12 3 2 6
4
2 x
x x x
x
    

b)    
5
2 3 3
4 2 1
x
x x x
  
  
c)    
4 2 6 5 4
4 6 6 4 4 4 6
2
x x x x x x
     

d)    
3 2 2
1 2 6 2 1
x x x x
   

e)    
4 3 2
10 21 19 15 6 5 3 1
x x x x x x
      
f)    
5 4 2 2
3 9 7 3
4 2
x x x x x x
      
g)    
1
x
2
x
2
x
2
x
x
3
3
4
5
7






h)    
3 2
5 2
4 6 1 2 1
10 2
30 3 x x x
x x
x x
      

i)    
2
4 2
3
2
5
4 1
6
7 x
x
x x x
x
    



55. 48
4.- Hallar el valor de m para que el polinomio p(x) = m
x
mx 3
3

 sea divisible
por 1
2 
x .
5.- Hallar los valores de m y n para que el polinomio p(x) =3mx5
+nx2
+3 sea
divisible por ( x2
–1 ).
6.- Factorizar los siguientes polinomios:
2 4
2
2
2 2
2
2
2
4 3 2
2
2
2
4 3 2
4 3 2
) 30
) ( ) 18( ) 65
) 14 5
) 12
) ( 1) 16( 1) 64( 1)
) 3 18
) 4 8 3
) 2 35 47 15
) 12 8
) 12 11
) 20 21
) 12 4 16
)4 14 4 26 12
 
   
 
 
    
 
 
   
 
 
 
   
   
a y y
b c d c d
c n n
d x y xy
e x z z z
f x x
g x x
h p p p p
i n n
j m m
k a a
l x x x x
m x x x x
2
2
2
2 2
4 2 2 4
2
2
2
2
4
4 2
4 3 2
4 3 2
) 17 60
) (5 ) 13(5 ) 42
) (2 ) 4(2 ) 3
) 21 98
) 6
) 5 13 6
) 4 15 9
) 20 1
) 20 9 20
) 16
)4 37 9
)2 35 47 15
)9 12 21 12 12
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
   
   
n x x
o x x
p x x
q a ab b
r a a b b
s x x
t a a
u y y
v n n
w x
x x x
y x x x x
z x x x x
7.- Simplifique las siguientes fracciones:
a) 2
2
3
2
2
p
p
p
p



b) 2
2
3
)
m
n
(
nm
n


c) 2
2
2
2
4
4
10
3
n
m
mn
mn
n
m




d)
9
27
12
2
2



x
x
x
e) 3
2
2
2
3
a
x
a
ab

f)
9
9
6
2
2



y
y
y
g)
1
1
3
4
3




a
a
a
a
h)
2
2
3x
2x x

i)
2
x 4x 4
x 2
 

j) 2 2
6ax 3bx 2ay by
9x 6xy y
  
 
k)
2 2
2 2
4a 4ab b
4a b
 

l)
2
2
x 6x 9
x x 6
 
 
m)
3 2
3
x x 5x 3
x 3x 2
  
 
n)
3 2
3 2
3x 4x 17x 6
3x 16x 23x 6
  
  
o)
3 2 2 3
3 2 2 3
a ab a b b
a 3a b 3ab b
  
  
p)
2
2
x 7x 10
x 9x 20
 
 
q)
3 2
3 2
x 6x 7x
x 7x
 

r)
2
2
4x 8x 4
x 1
 

s)
8
2
x 1
x 1



56. 49
8.- Simplifique las siguientes fracciones empleando los métodos de
factorización o racionalización según sea el caso:
2
2
2
) ; 2
4 4
x x
a x
x x

 
 
2
1 1
) ; 0
x x x
b x
x
   
 
2
2
7 10
) ; 5
25
x x
c x
x
 
  

3 5
) ; 4
1 5
x
d x
x
 
 
 
3
2
1
) ; 1
1
x
e x
x

  

4 2
3 2 6 28
) ; 2
3 3 5 1
x x x
f x
x x
  
 
  
3 2
3 2
3 9 5
) ; 1
1
x x x
g x
x x x
  
  
  
2 3
) ; 3
3 6
x x
h x
x
 
 
 
3 2
2
2 3
) ; 0
4 3 4
x x
i x x
x x

   

3
3
2
) ; 2
2
x
j x
x

 

4
2
1
) ; 1
1
x
k x
x

  

2
3 3
) ;
ax a
l x a
x x a a

 

2
2
3 17 20 9
) ; 4
4 25 36 4
x x
m x x
x x
 
   
 
2
2
6 5 4 1 3
) ;
4 4 3 2 2
x x
n x x
x x
 
    
 
3 2
3 2
4 4 3 3 1
) ;
18 27 2 3 2 3
x x x
o x x
x x x
 
     
  
3 2
2
4 4 3
) ; 1
2 3 2
x x x
p x x
x x
  
    
 
9.- Efectúe las operaciones indicadas en cada caso:
a)
6
12
6
36
12
2





x
x
x
x
x
b)
1
1
1
1





t
t
t
t
c)
4
4
2
3
2
2
2




 p
p
p
d)
2
2
2x 5 4x 2x
x 2 x 2
x 4

 
 

e)
2
2 2
x x 1 x 2
x 1
x 1 x x
 
 

 
f)
2
2 2
x 2 4x 1 x
x 3
x 9 3x x
 
 

 
g) 2
5y 2y 3
1 2y 2y 1 4y 1
 
  
h)
 
2 2
3 3
1 1 a b
a a b ab a b ab

 
 
i)
2 2
5 3 2 2 4 4
xy 2 5x 3y 3xy 1
x y 4x y 2x y
  
 
j)
2
x
2
9
x
x
6
x
5
x
1
2
2






k)
2 4 2 3 2
2 2
x 2x 1 x 2x x 4x 4x
x 1
x 4 x 3x 2
   
    
   

  
   
l) 2 2 3 3
4x y 3x y
6x y 5x y
  
 
  
  
m)
2
2
x 2 x 4
x 2 x x 2
 
 
 
 
 
  
  
n)
2
y 2y 2 y 64
y 8 y 8 y 1
 
  
 
 
  
  
   

57. 50
o)
3 2 2 2 2
2 2 2 2
a a b ab a 2ab b
a b a ab b
  
   
  
  
  
p)
2 2 2 2
2 3 3
a ab b a 2ab b
b
ab b a b
   
  
   
 
   
q)
2 2
2
x 5x 6 6x x 25
3x 15 2x 4
x x 30
   
  
 
   
 
 
 
 
   
r)
2 2
2 2
x 2x 80 x 9x 10
x 100 x 4x 32
  
   
  
  
  
s)
2 2
2 2
a 13a 40 a 25
a 144 a 11a 12
   
  

   
  
   
t)
4 3 2 4 2
2 2
b 2b b b b
b 2b 3 b 9
   
  

   
  
   
u) 2
6xy 4xy
x 4 x 16
   

   
 
   
v)
2 2
3 2
x x 2 x 4x 4
x x x x
   
   

   
 
   
w)
2 2
2 2
n m
n 1
n m n m
   
  
   
 
   
x)
   
2
2
3 2 2x 7x 3
2x 1 2x 1 2x 1 2x 1
 
 
 
   
 
 
   
 
 
y)
2
2 2
4 2 5 x 4
1 x x 1
x 1 x 3x 2
 

 
   
 
 
  
   
z) 2
1 3 3
x 2 x 2
x 4
   
 
   
 

   
)
2 2
y x
x y
x y x y
   
  
   
 
   
)
a b a b ab
a b a b a b
 
   
 
   
  
   
)
4
2 2 2 2
x 1 1 1 1
1
x 1 x 1 x 1 x
 
 
    
  
 
    
  
   
 
 
) 2
2 4
1 1
z z
   
  
   
   
)
2 2
2 2
a b a b
b a
b a
   
  
   
 
 
) 2 2
2 2
x y x y
x y x y
x xy y
1
x y
 

 
 


)
2
5
4
2x
1
1 x
2x 2
2x
1 x





)
6x 12
x 1
x 2
x 5
11x 22
x 4
x 2
x 7

 



 


10.- Resolver las siguientes ecuaciones:
a) 1
1
3



p
p
b) 0
5
3
4



x
c)
2x 5 3x 6
4
5 3
 
 
d)
2
x
3
1
3
x
2 


e)
2
5
12
2 x
x
x 


f)
2x x 7
3x
5 10 4
  
g)
10x 1 16x 3
4 4x
6 4
 
  

58. 51
h) 




 






 
3
6
4
3
5
1
3
2 x
x
i)
4
5
6
12
2
2




x
x
x
j)
3x 2 9x 14
5
4 12x
 
 
k) 8x - 65 = -x2
l) 2x2
+ 7x - 4 = 0
m) (x+4)2
= 2x(5x–1)-7(x–2)
n) (x - 2)3
- (x - 3)3
= 37
o) 2
1
6
1
3
1
5
x
x
x 




p)
2
2
2 6x 2
3 3x 1
9x 1
 


q) 1
1
x
x
1 2




r) z
z 

4
2
s) 0
6
7
2


 p
p
t)
1
3
2
1
9
6
3
2
2
2




x
x
x
u)
   
2 x 1 3 2x 15
2x 5 3
2x 6 x 3 8 4x 12
 

  
  
v)   3
x
33
x
5 


w) 1
x
2
x
2
2



x) 5 x 5 3 7
  
y) x 2 x 2 2x
   
z) 2x 5 1 x 3
   
aa) 3 6
2x 1 x 1
  
bb) 3
x 2
x 2


cc) 4 10 x 6 4 x
    
dd) 2
4x 15 2x 1
   
ee) x 4 x 1 5
   
ff) x 7 x 1 2 x 2
    
gg)
2
x 4 x 1
x 1
   

hh)
6
x 14 x 7
x 7
   

ii) 2 2 2
4x 5 2x 3 2x 5
15x 7x 2 12x 7x 10 20x 29x 5
  
 
     

59. 52
UNIDAD III SISTEMAS DE ECUACIONES E
INECUACIONES DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Ecuaciones de Primer Grado.
Sea la expresión ax + b = c
La igualdad anterior recibe el nombre de ecuación de primer grado y la letra x se
llama incógnita. Cada una de las expresiones que se encuentran al lado del signo
igual se llaman miembros de la ecuación. La expresión que está a la izquierda
del signo igual se llama primer miembro y la que está a la derecha se llama
segundo miembro.
Resolver una ecuación es hallar el número que la convierte en una igualdad
numérica. Una solución de la ecuación ax + b = c, es un número que
sustituyéndolo por x convierte la ecuación en una igualdad numérica.
Problemas Resueltos
1.- Las edades de Julián y José suman 75 años. Si Julián tiene tres años más que
José ¿Cuántos años tiene cada uno?
Solución: Sea x = edad de José; entonces la edad de Julián es x + 3,
Luego: (edad de José) + (edad de Julián) =75
 x + (x + 3) = 75  x + x + 3 = 75
 2x + 3 = 75  2x = 75 – 3
 x = 72/2  x = 36
José tiene 36 años y Julian 39 años
2.- La suma de tres números consecutivos es 24. ¿Cuáles son los números?
Solución: Sea w = número menor, luego, los otros números son:
W + 1 y w + 2  w + (w + 1) + (w + 2) = 24
 w + w + 1 + w + 2 = 24  3w + 3 = 24
 3w = 24 - 3  3w = 21  w = 7
Los números consecutivos son: 7, 8 y 9

60. 53
Ecuación de Segundo Grado
La ecuación ax2
+ bx + c = 0, donde a y b son números reales con a  0,
se denomina ecuación de segundo grado de variable x.
Una ecuación de segundo grado tiene dos raíces. Resolver una ecuación de
segundo grado es encontrar los dos valores de la incógnita que la satisfacen. A
estos valores se les denomina raíces o ceros de la ecuación. Aún cuando las
raíces de una ecuación de segundo grado pueden no pertenecer a  , en este
texto asumiremos que las raíces son reales.
Las ecuaciones de segundo grado pueden resolverse mediante uno de los
siguientes métodos:
1. Método de Factorización.
La ecuación ax2
+ bx + c = 0. puede resolverse factorizando, según las
técnicas estudiadas con anterioridad.
Ejemplo: Resolver la ecuación x2
+ 5x + 6 = 0
La expresión x2
+ 5x + 6 puede escribirse como el producto de dos binomios:
(x + 3) y (x + 2); así:
x2
+ 5x + 6 = (x + 3) (x + 2) = 0
Entonces: (x + 3) = 0 ó (x + 2) = 0
x = -3 ó x = -2
Luego, para x2
+ 5x + 6 = 0 las soluciones o raíces son: x1 = -3 y x2 = -2
2. Método de la Fórmula General de la Ecuación de Segundo Grado o
de la Resolvente.
La fórmula general, o resolvente, para resolver ecuaciones de segundo grado
parte de la forma general, ax2
+ bx + c, de la ecuación cuadrática, para
llegar a una expresión que permite agilizar el proceso de obtener la solución.
Considera la ecuación:
ax2
+ bx + c = 0 (a  0)
Si dividimos toda la ecuación por a: 0
2



a
c
x
a
b
x
Pasando el término independiente al segundo miembro:
a
c
x
a
b
x 


2

61. 54
A fin de formar un cuadrado perfecto en el primer miembro, sumamos la mitad del
coeficiente del segundo término elevado al cuadrado:
2
2
2
2
2
2
2
a
4
b
ac
4
a
4
b
a
c
a
2
b
a
c
a
2
b
x
a
b
x























La expresión anterior es equivalente a:
2
2
2
4
4
2 a
ac
b
a
b
x









Sacando raíz cuadrada a ambos miembros:
a
ac
b
a
b
x
2
4
2
2




Despejando a x:
a
ac
b
a
b
x
2
4
2
2




Finalmente se obtiene: a
2
ac
4
b
b
x
2




que es la fórmula general, para resolver una ecuación de segundo grado.
Ejemplo:
Resolver la Ecuación 7
9
2 2

 x
x = 0 usando la fórmula general.
Solución:
En esta ecuación tenemos: a = 2, b = 9, c = 7
Sustituimos estos valores en la forma original.
2
2
7
2
4
9
9 2
.
.
.
x



 
4
56
81
9 



x 
4
25
9 


x 
4
5
9 


x 
1
4
4
4
5
9
1 






x ^
2
7
4
14
4
5
9
2 






x
es decir, las raíces o soluciones de la ecuación, son:
x1 = -1 ^ x2 = -7/2 Compruébalo!

62. 55
Discriminante de la Ecuación de Segundo Grado:
Consideremos la ecuación de segundo grado 0
2


 c
bx
ax , donde a es
diferente de cero, y la formula general:
a
2
ac
4
b
b
x
2




Se denomina discriminante de la ecuación de segundo grado a la cantidad
subradical:
D = b2
- 4ac
Veamos como son las raíces de la ecuación según cual sea el discriminante:
1. Positivo D = b2
– 4ac > 0
2. Cero D = b2
– 4ac = 0
3. Negativo D = b2
– 4ac < 0
Caso 1: b2
– 4ac > 0
Si el discriminante b2
– 4ac, es positivo, su raíz cuadrada es un número real.
Por tanto, las raíces de la ecuación son reales y distintas.
Caso 2: b2
– 4ac = 0
Si el discriminante b2
– 4ac, es cero, la raíz cuadrada es cero. Por tanto, las
raíces de la ecuación son reales e iguales.
Caso 3: b2
– 4ac < 0
Si el discriminante b2
– 4ac, es negativo, su raíz cuadrada no es un número
real y por consiguiente las raíces de la ecuación no son números reales.
Como hemos visto, b2
– 4ac permite “discriminar” la naturaleza de las ra ces.
De allí que se justifique el nombre que se le ha dado.
Aplicaciones de la ecuación de segundo grado.
Hallar dos números cuya suma sea 11 y cuyo producto sea – 60.
Solución:
Llamamos x e y a dichos números, entonces:
11

 y
x
60


xy

63. 56
Despejemos y en la primera ecuación: x
y 
11 , sustituyámoslo en la
segunda ecuación:
60
11 

 )
x
(
x  60
11 2


 x
x 
0
60
11
2



 x
x  0
60
11
2


 x
x
resolviendo la ecuación:
a
ac
b
b
x
2
4
2



 
1
2
60
1
4
11
11 2
.
)
.(
.
)
(
)
(
x






 
2
240
121
11 


x 
2
361
11

x 
2
19
11

x
15
2
30
2
19
11
1 



x ^ 4
2
8
2
19
11






x
Así, si x = 15 entonces y = -4 y si x = -4 entonces y = 15
Ecuaciones con Radicales:
Ecuaciones tales como:
3
1 1; 2 3; 3 1 2 1 0
x x x x
       
son llamadas ecuaciones con radicales.
Para resolver una ecuación con radicales se sigue el siguiente procedimiento:
1. Se “despeja” un radical en un miem ro.
0
1
1 


x  1
1 

x
2. Se elevan ambos miembros a un exponente igual al índice del radical
despejado.
  2
2
1
1 

x  1
1 

x
3. Si existen más radicales se repiten los pasos 1 y 2.
4. Se resuelve la ecuación:
2
x
1
1
x 



5. Por cuanto al elevar a un exponente pueden introducirse “soluciones extrañas”,
es necesario comprobar el valor encontrado en la ecuación original. Si la satisface,
ésa será la solución.

64. 57
0
1
1 


x sustituimos x por 2
0
1
1
2 

  1 – 1 = 0  ¡ 0 = 0 !
Ejemplo: Resuelva la ecuación 0
2
4
3 

 x
x
1. Despejamos un radical
x
x 2
4
3 

2. Elevamos cada miembro al cuadrado
   2
2
2
4
3 x
x 

3. Resolvemos la ecuación
4 = 4x - 3x  4 = x
4. Comprobamos
0
4
2
4
4
3 


)
.
(  0
2
2
4
12 

 . 
0
4
16 
  ¡ 4 - 4 = 0 !
.
Sistema de dos Ecuaciones lineales con dos incógnitas y
aplicaciones
Se denomina sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas a la reunión de
dos ecuaciones de primer grado en X e Y, así:









0
0
2
2
2
1
1
1
C
y
B
x
A
C
y
B
x
A
es un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas.
La solución de un sistema de ecuaciones son los valores de las incógnitas que
satisfacen todas las ecuaciones del sistema.
Ejemplo: Resolver el sistema:









0
5
4
0
13
3
2
y
x
y
x
La solución del sistema es: x = 2, y = 3, comprobando:
   
   









0
5
3
2
.
4
0
13
3
.
3
2
.
2
Los métodos de solución de sistemas de ecuaciones mas usuales son: método de
sustitución, de igualación y de reducción o de suma y resta, los cuales se explican
a continuación.

65. 58
Método de sustitución
Este método consiste en despejar una cualquiera de las incógnitas, por ejemplo x,
en una de las ecuaciones. Luego, sustituirla en la otra ecuación y obtenemos una
sola ecuación con una incógnita (y), la cual despejamos y tenemos su valor,
nuevamente por sustitución sabemos el valor de la incógnita x.
Ejemplo:
 
 









II
0
13
2
5
I
0
6
3
y
x
y
x
1.) Despejamos una incógnita en una de las ecuaciones, digamos x en la
ecuación ( I ), así:
6
3 

 y
x
2.) Sustituir la expresión obtenida en la ecuación ( II ):
  0
13
2
6
3
5 



 y
y
3.) Resolver la ecuación obtenida y despejar la incógnita (y):
1
17
17
0
13
2
30
15









y
y
y
y
4.) La solución obtenida, la sustituimos en la expresión despejada en 1.) y
obtenemos la otra incógnita:
  3
6
1
3 



x
5.) Finalmente la solución (x, y) del sistema de ecuaciones es:
 
1
3,
1
y
3
ó
y
x 

Método de igualación
Este método consiste en despejar una cualquiera de las incógnitas, por ejemplo x,
en ambas ecuaciones. Luego, aplicando la propiedad transitiva de la igualdad
obtenemos una sola ecuación con una incógnita (y), la cual despejamos y
tenemos su valor, nuevamente por sustitución sabemos el valor de la incógnita x.
Ejemplo:
 
 










II
0
8
6
I
0
1
15
7
y
x
y
x
1.) Se despeja la misma incógnita en cada una de las ecuaciones, por ejemplo x:

66. 59
8
6
:
(II)
7
1
15
:
(I)





y
x
de
y
x
de
2.) Se igualan las dos expresiones obtenidas:
8
6
7
1
15




y
y
3.) Se resuelve la ecuación obtenida:
 
1
57
57
1
56
42
15
56
42
1
15
8
6
7
1
15
















y
y
y
y
y
y
y
y
4.) Se sustituye la solución obtenida en cualquiera de las ecuaciones, por ejemplo
la expresión obtenida en el paso 1.) de la ecuación (II):
 
2
8
6
8
1
6
8
6











x
x
x
y
x
5.) Se escribe la solución del sistema:
 
1
-
2,
-
1
y
2
ó
y
x 



Método de reducción
Este método consiste en transformar las ecuaciones, de tal manera de igualar los
coeficientes de una de las incógnitas, por ejemplo x, en ambas ecuaciones. Luego,
sumamos ó restamos las ecuaciones y obtenemos una sola ecuación con una
incógnita (y), la cual despejamos y tenemos su valor, nuevamente por sustitución
sabemos el valor de la incógnita x.
Ejemplo:
 
 









II
0
4
3
I
0
2
y
x
y
x
1.) Se busca el m.c.m. de los coeficientes de una de las incógnitas, por ejemplo
(y): m.c.m. (1, 3) = 3
2.) Se divide el m.c.m. entre cada coeficiente de la incógnita seleccionada:

67. 60
En (I) 3 : 1 = 3 En (II) 3 : 3 = 1
3.) Se multiplica cada ecuación por el resultado obtenido:
 
 









II
0
4
3
I
0
2
1
3
y
x
y
x










0
4
3
0
6
3
3
y
x
y
x
4.) Se restan término a término las ecuaciones resultantes, debido a que la
incógnita seleccionada tiene igual signo:
5
10
2
0
10
2
0
4
3
0
6
3
3
















x
x
x
y
x
y
x
5.) Se sustituye la solución obtenida en cualquiera de las ecuaciones, por ejemplo
la ecuación (I), y se despeja la otra incógnita:
3
0
3
0
2
5
0
2









y
y
y
y
x
6.) Se escribe la solución del sistema:
 
3
5,
3
y
5
ó
y
x 

Aplicaciones de los sistemas de ecuaciones lineales en la
resolución de problemas
Los sistemas de ecuaciones pueden utilizarse para resolver muchos problemas
prácticos. El proceso radica en transformar el planteamiento de dicho problema en
ecuaciones lineales. Básicamente, se deben seguir estos lineamientos:
a) Identificar las incógnitas y los datos.
b) Expresar mediante ecuaciones los planteamientos del problema.
c) Resolver el sistema de ecuaciones obtenido.
d) Verificar que las soluciones obtenidas, satisfagan las condiciones del
problema planteado.

68. 61
Ejemplo: El perímetro de una parcela rectangular es 400 metros, si uno de los
lados es 50 metros mayor que el otro lado.¿Cuánto mide cada lado?
Solución:
a) Identificamos las incógnitas y los datos:
Incógnitas:
Sean: x = longitud de uno de los lados
Y = longitud del otro lado
Datos:
El perímetro es: 400 m
La diferencia de los lados es: 50 m
b) Expresamos mediante ecuaciones los datos del problema:







50
400
2
2
y
x
y
x
c) Resolvamos el sistema: (método de sustitución)







(II)
50
(I)
400
2
2
y
x
y
x
 De (II), se despeja x: y
x 
 50
 Se sustituye en (I):
 
75
4
300
y
100
-
400
4y
400
2y
2y
100
400
2
50
2








 y
y
 Se obtiene la otra incógnita de (II):
125
75
50



x
x
d) Verificamos que las soluciones satisfacen las condiciones del problema:
   







50
75
125
400
75
2
125
2
Respuesta: El rectángulo tiene: 125 metros de base (x) y 75 metros de altura (y).
x
y

69. 62
Ejemplo: Un productor compró 4 vacas y 7 caballos por $ 514 en total y otro
compró 8 vacas y 9 caballos por $ 818 en total. ¿Cuál es el costo de cada vaca y
caballo?
Solución:
a) Identificamos las incógnitas y los datos:
Incógnitas:
Sean: x = costo de cada vaca
Y = costo de cada caballo
Datos:
4 vacas mas 7 caballos cuestan $ 514
8 vacas mas 9 caballos cuestan $ 818
b) Expresamos mediante ecuaciones los datos del problema:







818
9
8
514
7
4
y
x
y
x
c) Resolvamos el sistema: (método de reducción)







(II)
818
9
8
(I)
514
7
4
y
x
y
x
 Se busca el m.c.m. de x: m.c.m. = (4, 8) = 8
 En (I), se multiplica por: 8 : 4 = 2
En (II), se multiplica por: 8 : 8 = 1














818
9
8
028
.
1
14
8
818
9
8
514
7
4
1
2
y
x
y
x
y
x
y
x
 Se restan las ecuaciones, para simplificar la incógnita x:
42
5
210
210
5
818
9
8
028
.
1
14
8













y
y
y
y
x
y
x

70. 63
 Se obtiene la otra incógnita de (I): 514
7
4 
 y
x
 
55
4
220
294
514
4
514
42
7
4






x
x
x
d) Verificamos que las soluciones satisfacen las condiciones del problema:
   
   







818
42
9
55
8
514
42
7
55
4
Respuesta: cada vaca cuesta $ 55 (x) y cada caballo $ 42 (y).
Sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas
Se denomina sistema de ecuaciones lineales con tres incógnitas a la reunión de
tres ecuaciones de primer grado en X, Y y Z, así:














3
33
32
31
2
23
22
21
1
13
12
11
D
z
C
y
B
x
A
D
z
C
y
B
x
A
D
z
C
y
B
x
A
es un sistema de ecuaciones lineales con tres incógnitas. Para resolver este
sistema, aplicaremos cualquiera de las técnicas estudiadas para la solución de los
sistemas de ecuaciones lineales con dos incognitas:
Ejemplo:
 
 
 















III
1
z
2
y
x
2
II
1
z
y
2
x
I
4
z
y
x
1.- Se busca eliminar dos variables, usando el método de reducción:
 
 
 















 III
1
z
2
y
x
2
II
1
z
y
2
x
I
4
z
y
x

 
 
 















III
1
z
2
y
x
2
II
1
z
y
2
x
I
4
z
y
x
2.- Se restan término a término las ecuaciones resultantes, debido a que la
incógnita seleccionada tiene igual signo:

71. 64
 
 
 
3
z
6
z
2
-
III
1
z
2
y
x
2
II
1
z
y
2
x
I
4
z
y
x


















3.- Se sustituye la solución obtenida en el sistema de ecuaciones:
 
 
 











III
5
y
x
2
II
4
y
2
x
I
1
y
x
4.- Se asocian dos ecuaciones para obtener el valor de una incógnita y luego con
la tercera se obtiene el valor de la otra incógnita:
Por ejemplo, sumando (I) y (III) se obtiene: 3x = 6  x = 2
Sustituyendo en la ecuación (II) -2y = 2  y = -1
Inecuaciones lineales y no lineales
Es una desigualdad que tiene una variable en su enunciado. La solución de esta
inecuación es el conjunto (intervalos) de valores de la variable que hacen cierta la
desigualdad planteada.
Sea la función f(x) = ax + b, con a > 0 y b  R. Tenemos que f(x) = 0, si
a
b
x 
 .
Además como f es una función creciente f(x) < 0, si
a
b
x 
 y f(x) > 0, si
a
b
x 
 .
Esto lo podemos resumir en la siguiente tabla de variación de signos.
)
,
(
a
b

 )
,
( 

a
b
Signo de (ax + b) - +
La tabla nos da la siguiente información:
f(x) = ax+b < 0, si x  )
a
b
,
( 

f(x) = ax+b  0, si x  
a
b
,
( 

f(x) = ax+b > 0, si x  )
,
a
b
( 


72. 65
f(x) = ax+b  0, si x   )
,
a
b


Ejemplo: Hallar el conjunto solución de las siguientes inecuaciones.
a) 5x + 4 > 2x + 6
5x + 4 > 2x + 6  5x - 2x > 6 - 4  3x > 2  x > 2/3
Solución:
2 2
, x / x
3 3
   
     
 
 
   
b)
x 3
0
x 3



x + 3  0  x  -3  x - 3  0  x  3
Los valores obtenidos los llevamos a la recta real y realizamos un estudio de
signos. Este nos permitirá conocer en cual(es) intervalo(s) real se cumple la
desigualdad planteada.
     
x 3 x 3
x 3
x 3
  
      
  
      
Solución:      
, 3 3 , x / x 3 x 3
           
Para resolver la inecuación
f(x) = ax2
+ bx + c, a > 0, b, c números reales. Tenemos tres casos:
1° caso: Sean m < n las raíces reales de f(x), esto nos permite factorizar al
polinomio f(x), así
f(x) = a (x – m)(x – n) para construir la tabla de variación de signos, si a > 0,
tenemos:
( - , m ) ( m, n ) ( n ,  )
Signo de a + + +
Signo de ( x – m) - + +
Signo de ( x – n) - - +
Signo de f(x) + - +
La tabla nos da la siguiente información

73. 66
f(x) < 0, si x  ( m , n )
f(x)  0, si x   m , n 
f(x) > 0, si x  (- , m )  ( n ,  )
f(x)  0, si x  (- , m    n ,  ).
2° caso: Sean m = n las raíces reales de f(x), a > 0, entonces 2
)
x
( )
m
x
(
a
f 
 , así:
f(x) > 0, para x  (-  , m )  ( m ,  )
f(x)  0, para x  R
f(x) < 0, para x  
f(x) = 0, para x = m
3° caso: Sean m y n las raíces imaginarias de f(x), entonces m = c + di y n = c – di,
donde i es la unidad Imaginaria.
Así f(x) = a( x – (c + di))( x – ( c – di)) = a((x –c) – di)((x –c) + di) = a((x –c)2
- (di)2
) =
a((x –c)2
+ d2
) > 0, para todo x en R. En conclusión: Un polinomio de segundo
grado f(x), con primer coeficiente positivo y raíces imaginarias, es positivo para
cualquier valor real de x.
Lo expuesto anteriormente nos permite resolver las siguientes inecuaciones:
0
)
2
x
)(
1
x
(
)
2
1
x
(
)
1
x
(
2
f
0
2
x
x
2
x
1
x
4
x
5
x
2
f 2
2
)
x
(
2
3
2
3
)
x
( 













 .
Estudiemos los signos de f(x), mediante la siguiente tabla de variación de signos:
(- , - 2)







2
1
,
2 





1
,
2
1 )
,
1
( 
Signo de 2 + + + +
Signo de 2
)
1
x
(  + + + +
Signo de
)
2
1
( 
x
- - + +
Signo de )
1
x
( 2
 + + + +
Signo de (x + 2) - + + +
Signo de f(x) + - + +

74. 67
Luego la solución de la inecuación es 







2
1
,
2
S , es decir, si x 







2
1
,
2
entonces f(x) < 0.
2.



















3
1
,
3
1
:
sol
0
1
x
3
x
9
x
27 2
3
Sistemas de Inecuaciones en una variable
Resolver el sistema es hallar el conjunto (intervalos) solución de cada una de las
inecuaciones planteadas e intersectarlas; es decir, hallar el conjunto (intervalos)
de valores de la variable que satisface simultaneamente a todas y cada una de las
inecuaciones que forman parte del sistema.
Ejemplo: Hallar el conjunto solución del siguiente sistema de inecuaciones.
 
 
2
2
2
x 5 x 3 2x
0 I
x 2 x 2 x 4
x 5 x
II
4 4x 1
  
  
   



 
 

Procedemos a resolver cada una de las inecuaciones y luego intersectamos sus
soluciones, para hallar el conjunto solución del sistema.
(I)
2
2
x 5 x 3 2x
0
x 2 x 2 x 4
 
  
  

      2
2
x 5 x 2 x 3 x 2 2x
0
x 4
     



  
8x 4
0
x 2 x 2
 

 

  
8x 4
0
x 2 x 2


 

8x + 4 = 0  x = - ½  x + 2  0  x  -2  x - 2  0  x  2
Los valores obtenidos los llevamos a la recta real y realizamos un estudio de
signos. Este nos permitirá conocer en cual(es) intervalo(s) real se cumple la
desigualdad planteada.

75. 68
       
1
2
x 2 x x 2
x 2
8x 4
x 2
   
        
   
        
        
Solución: (I) =     
1 1
2 2
( 2, 2 , x / 2 x x 2
             
(II)
2
x 5 x
4 4x 1




2
x 5 x
0
4 4x 1

 


  
 
2
x 5 4x 1 4x
0
4 4x 1
  



 
19x 5
0
4 4x 1




19x - 5  0  x  5/19  4x - 1  0  x  ¼
Los valores obtenidos los llevamos a la recta real y realizamos un estudio de
signos. Este nos permitirá conocer en cual(es) intervalo(s) real se cumple la
desigualdad planteada.
     
5
1
4 19
x x
4x 1
19x 5
  
      
  
      
Solución: (II) =    
5 5
1 1
4 19 4 19
, x / x
    
La solución del sistema viene dada por la intersección de las soluciones (I) y (II); lo
cual da como resultado un conjunto vacio; ya que las soluciones parciales no
tienen elementos comunes.
(I)  (II) =     
5
1 1
2 4 19
( 2, 2 , ,
       
Valor absoluto de un número real.
El VALOR ABSOLUTO DE UN NÚMERO REAL x es un número denotado porx
y definido así:







0
,
0
,
x
si
x
x
si
x
x

76. 69
Algunas propiedades del valor absoluto.
1. 0
x
0
x 

 2. x
,
0
x 
 3. x
x 
 4. y
x
xy 
5.
y
x
y
x
 6. y
x
y
x 

 7. x
y
y
x 

 8. y
x
y
x 


9. Para r  0, se tiene que: r
x
r
r
x 




10. Para r > 0, se tiene que: r
x
r
x
r
x 




 .
EJERCICIOS PROPUESTOS. UNIDAD III
PROBLEMAS EN UNA VARIABLE LINEAL.
1.- Que número aumentado en sus
6
5
equivale a su triple disminuido en 14.
2.- El triple de un número excede en 48 al tercio del mismo. Hallar el número.
3.- La diferencia de los cuadrados de dos números pares consecutivos es 324.
Hallar los números.
4.- La suma de dos números es 9 y su producto es 20.¿Cuál es el valor de la
suma de sus inversos?.
5.- Después de vender los
5
3
de una pieza de tela quedan 40m. ¿Cuál era la
longitud de la pieza?
6.- Si el inverso de p+1 es p-1, ¿Cuánto vale p?
7.- Al multiplicar un número por 8 y sumarle 12, resultó 16. ¿Cuál es el número?
8.- La suma de 3 números enteros consecutivos es 156. Hallar los números.
9.- Dividir 196 en tres partes tales que la segunda sea el duplo de la primera y la
suma de las dos primeras exceda a la tercera en 20.
10.- En un terreno rectangular de 240 metros de ancho, se plantan 1600000 matas
de coco. Se estima una mata por cada 1,5 m2
. ¿Cuantos kilómetros de largo tiene
el terreno?
11.- De las 120 aves que tengo, el número de gallinas es el triple que el de gallos
y el número de patos es la semisuma de los gallos y las gallinas. ¿Cuántas aves
de cada especie tengo?

77. 70
12.- Si a los ¾ de mi edad le sumo la mitad de la misma, obtengo la edad que
tendré dentro de 4 años. ¿Qué edad tengo?
13.- La edad de un padre es el triple de la de su hijo. La edad que tenía el padre
hace 5 años era el duplo de la edad que tendrá su hijo dentro de 10 años. Hallar
las edades.
14.- Julia tiene 48 años y su hija mayor 18. Halla el número de años que deben
transcurrir para que Julia tenga el doble de la edad de su hija.
15.- Un padre tiene 60 años y sus dos hijos 16 y 14 años. ¿Dentro de cuantos
años la edad del padre será igual a la suma de las edades de los hijos?
16.- Armando tiene 2/3 de lo que tiene Melva y Jesús tiene 3/5 que lo que tiene
Armando. Si juntos tienen 24800 bolívares, entonces ¿cuánto tiene Jesús?
17.- Para coser un traje, una costurera toma un hilo de 37 cm de longitud y lo pica
en tres pedazos, de manera que cada hilo que pica tiene una longitud de ¼ menos
que la longitud del hilo anterior. ¿Cuáles son las longitudes de cada trozo de hilo?
18.- Un comerciante vendió los ¾ de una pieza de tela y regaló los 2/5 de la tela
que quedaba. ¿Cuántos m2
media la tela inicialmente si al final sobraron 18 m2
?
29.- Una sociedad de 12 personas había de pagar 1224 mil bolívares. Un grupo no
pagó y los demás han pagado cada uno 34 mil bolívares más de lo que les
correspondía para cubrir la parte del grupo que no pagó. ¿Cuántas personas
constituyen el grupo que no pagó?
20.- A un trozo de cable se le ha cortado su tercera parte, su quinta parte y su
sexta parte. ¿Cuánto cable resta?
21.- Un sistema de cableado eléctrico requiere de tres secciones de cable, donde
cada una de las secciones debe ser 2/3 más larga que la sección que la precede.
Si se tienen 588 metros de cable, ¿cuál es la medida de la sección más larga?
22.- Una persona efectúa 5 pagos de un préstamo. Si cada pago es el doble del
anterior, y si en total se pagaron 465 mil bolívares. ¿Cuánto fue el primer pago?
23.- Los reyes de una dinastía tuvieron 9 nombres diferentes. La tercera parte del
número de reyes llevó el primero de esos nombres, la cuarta parte el segundo
nombre, la octava parte el tercer nombre, la doceava parte el cuarto nombre y

78. 71
cada uno de los nombres restantes lo llevó un solo rey. ¿De cuantos reyes
constaba la dinastía?
24.- Un hacendado compró 35 caballos. Si hubiera comprado 5 caballos mas por
el mismo precio, cada caballo la habría costado 10 bs menos. ¿Cuánto le costó
cada caballo?
25.- Seis personas iban a comprar una casa, contribuyendo por partes iguales;
pero dos de ellas desistieron del negocio. Por esto cada una de las restantes tuvo
que contribuir con 200 bs más. ¿Cuál es el valor de la casa?
PROBLEMAS EN UNA VARIABLE CUADRÁTICA.
26.- La suma de dos números consecutivos elevada al cuadrado es 49. ¿Cuáles
son los números?
27.- El cuadrado de la suma de dos números consecutivos es 2025. ¿Cuál es el
mayor de los dos números?
28.- La mitad de la diferencia de los cuadrados de dos números pares
consecutivos es 162. Hallar los números.
29.- La base de un rectángulo es el cuádruple de su altura y su área es igual a
2500 cm2
. Hallar el perímetro del rectángulo.
30.- Un salón rectangular tiene 1 metro de largo más que de ancho. Si se
aumentan ambas dimensiones en 2 metros, el área aumenta en 10 m2
. ¿Cuáles
eran las dimensiones originales del salón?
31.- La edad de Ana incrementada en 6 años da un cuadrado perfecto. Su edad
disminuida en 6 años da la raíz cuadrada del cuadrado perfecto. ¿Qué edad tiene?
32.- Se desea fabricar una caja sin tapa, de base cuadrada, cortando cuadrados
de 3 centímetros de lado en las esquinas de una lámina cuadrada y doblando
hacia arriba los lados. Para que la caja tenga un volumen de 48 cm3
, ¿cuánto
debe medir el lado de la lámina?
33.- El cuadrado de un número positivo menos el doble del número es igual a 48.
Encuentre el número.
34.- El ancho de un rectángulo es 5 cm menos que su largo. El área es 24 cm2
.
Encuentre las dimensiones.

79. 72
35.- En un patio rectangular se construye una piscina de 11 m por 8 m. El área del
patio es de 1120 m2
. Si el piso alrededor de la piscina tiene un ancho constante,
¿cual es este ancho?.
PROBLEMAS CON RADICALES.
36.- La fórmula h
2
,
1
V  es una ecuación radical que aproxima la distancia (V)
en millas que una persona puede ver al horizonte desde una altura de h pies.
Elabora una fórmula para aproximar la altura. ¿A qué altura se encuentra una
persona que puede ver a 72 millas en el horizonte?.
37.- La fórmula
2
2
h
r
r
S 

 permite calcular el área de superficie de un cono,
dados su radio (r) y su altura (h). Resuelve la fórmula para h. ¿Cuánto vale h
cuando S = 15 y r = 3?.
38.- La fórmula s
g
2
v  representa la velocidad (v) de un objeto que ha caído a
una distancia de s pies, donde g es la aceleración debida a la gravedad.
Resuelve la fórmula para s y calcula s para un objeto que cae con una velocidad
de 32g.
39.- El radio de un generador Van de Graaff que puede reunir una carga máxima
de Q coulombs en su superficie está dado por Q
10
826
,
1
R
2


 . Resuelve la
fórmula para Q, y encuentra Q para un generador con un radio de 1,5 m.
PROBLEMAS EN VARIAS ECUACIONES Y VARIABLES.
40.- Un hacendado compró 4 vacas y 7 caballos por $ 514, y más tarde a los
mismos precios, compró 8 vacas y 9 caballos por $ 718. Hallar el costo de una
vaca y de un caballo.
41.- Si a 5 veces el mayor de dos números se añade 7 veces el menor, la suma es
316, y si a 9 veces el menor se resta el cuádruplo del mayor, la diferencia es 83.
Hallar los números.
42.- El doble de la edad de A excede en 50 años a la edad de B, y ¼ de la edad
de B es 35 años menor que la edad de A. Hallar ambas edades.
43.- Antes de una batalla, las fuerzas de dos ejércitos estaban en la relación de 7
a 9. El ejército menor perdió 15000 hombres en la batalla y el mayor 25000

80. 73
hombres. Si la relación ahora es de 11 a 13, ¿cuántos hombres tenía cada ejército
antes de la batalla?
44.- En una granja se crían gallinas y conejos. Si en total hay 30 animales y 76
patas, ¿cuántos animales hay de cada especie?
45.- Una cafetería compra 42 litros de leche en botellas de 1 y de 2 litros. Si se
compran igual número de botellas de 1 y 2 litros, ¿cuántas botellas se compran?
46.- En un almacén hay dos tipos de lámparas. La lámpara tipo A que utiliza 3
bombillos y la lámpara tipo B que utiliza 4 bombillos. Si en el almacén hay 60
lámparas y 220 bombillos, entonces, si se armaran todas las lámparas utilizando
todos los bombillos, ¿cuántos bombillos se usarían en las lámparas tipo A?
47.- En una tarde asistieron a un museo 600 personas. La entrada para adultos
vale 500 bs y la de niños vale 200 bs. Si la recaudación fue de 195000 bs,
¿cuántos niños asistieron al museo?
48.- A le dice a B: si me das un bolívar tendremos igual cantidad. B le dice a A: si
me das un bolívar tendré el doble que tu. ¿Qué cantidades tienen?
49.- En una prueba de 30 preguntas, cada pregunta bien resuelta se califica con 3
puntos; mal resuelta resta 2 puntos. Si la puntuación final es de 25 puntos, ¿cuál
fue el número de respuestas buenas?
50.- Se tienen un matraz y un tubo de ensayo. Al pasar 2 cc de agua del matraz al
tubo, ambos quedan con la misma cantidad de líquido. Pero al pasar 2 cc de agua
del tubo al matraz, este queda con el doble de líquido que el tubo. ¿Cuál es el
contenido original de agua del matraz?
51.- Un caballo transportaba una pesada carga al lado de una mula y vencido por
el peso se lamenta a. “¿De ué te uejas? Dijo la mula: si yo tomase uno de tus
sacos, mi carga sería el doble de la tuya y, si tu llevases uno de los míos, mi carga
ser a entonces i ual a la tuya”. ¿Cuántos sacos cargaba cada animal?
52.- El año pasado la edad de Rosa Elena era 10 veces la edad de su hija y dentro
de 15 años será el doble. ¿Cuántos años tiene cada una actualmente?
53.- Un coleccionista de pinturas compra en una subasta un total de 35 unidades,
unas le costaron 10000 bs c/u y otras a 35000 bs c/u. Si hace una venta por un

81. 74
monto total de 1760000 bs, ganándose el 10% sobre el valor de la compra,
¿cuántas pinturas de cada una vendió?
54.- En una venta de empanadas se venden las de chorizo en 5 bs y las de
pabellón en 7 bs. La venta de 90 empanadas ha generado 566 bs. ¿Cuántas
empanadas de chorizo se vendieron?
55.- Un señor tiene 3600000 bs en dos clases de bonos. Unos le generan el 11% y
los otros el 9% de interés anual. Si recibe 324000 bs en intereses al año, ¿qué
cantidad está colocada a cada tipo de interés?
56.- En un examen de 60 preguntas, Julio omite 4 de ellas. Si la tercera parte de
las preguntas que contestó correctamente es igual al número de las que contestó
incorrectamente, ¿en cuantas preguntas se equivocó Julio?
57.- Una empresa vende 48 paquetes de producto A y 24 paquetes de producto B
por un valor total de 600000 bolívares. Si el producto B cuesta la mitad del valor
del producto A. ¿Cuánto cuesta el producto A?
58.- El doble de un número es igual al triple del otro, si al multiplicar los números
se obtiene 72; ¿cuáles son los números?
59.- En una ferretería 12 galones de pintura y 6 brochas cuestan 400 bs. Si el
dueño del local aplica un descuento de 30% sobre el costo de los galones de
pintura, el precio final es de 364 bs. ¿Cuál es el valor original de los galones de
pintura?
60.- La diferencia en la medida del largo de dos rollos de tela es 125 metros y el
cociente entre esas longitudes es de 6 metros. ¿Cuál es la longitud de cada rollo?
61.- La suma de tres números es 105. El tercero es 11 menos que diez veces el
segundo. Dos veces el primero es 7 más que tres veces el segundo. Calcula los
números.
62.- La suma de tres números es 57. El segundo es 3 más que el primero. El
tercero es 6 más que el primero. Encuentra los números.
63.- La suma de tres números es 5. El primer número menos el segundo más el
tercero es 1. El primero menos el tercero es 3 más que el segundo. Calcula los
números.

82. 75
64.- La suma de tres números es 26. Dos veces el primero menos el segundo es 2
menos que el tercero. El es el segundo menos tres veces el primero. Calcula los
números.
65.- En una fábrica hay tres máquinas, A, B y C. Cuando las tres están trabajando
producen 222 trajes por dia. Si A y B trabajan, pero C no, producen 159 trajes por
dia. Si B y C trabajan, pero A no, producen 147 trajes por dia. ¿Cuál es la
producción diaria de cada máquina?.
66.- En una fábrica hay tres máquinas pulidoras, A, B y C. Cuando las tres están
en operación se pueden pulir 5700 lentes en una semana. Cuando solo A y B
están en operación, se pueden pulir 3400 lentes en una semana. En cambio,
cuando solo B y C trabajan, se pueden pulir 4200 lentes en una semana.
¿Cuántos lentes puede pulir cada máquina en una semana?.
67.- En una fábrica hay tres máquinas, A, B y C. Cuando las tres están en
operación, producen 287 tornillos por hora. Cuando solo las máquinas A y C
funcionan, producen 197 tornillos por hora. Cuando solo las máquinas A y B están
en operación producen 202 tornillos por hora. ¿Cuántos tornillos por hora puede
producir cada máquina por separado?.
68.- Las sierras de agua A, B y C pueden producir 7400 metros cuadrados de
tabla en un dia. A y B juntas pueden producir 4700 metros cuadrados, mientras
que B y C pueden producir 5200 metros cuadrados. ¿Cuántos metros cuadrados
puede producir cada sierra de agua por separado?.
69.- Cuando las bombas A, B y C operan a un mismo tiempo, pueden bombear
3700 litros por hora. Cuando solo las bombas A y B están trabajando, se pueden
bombear 2200 litros por hora. En cambio, cuando solo las bombas A y C están en
operación, se pueden bombear 2400 litros por hora. ¿Cuál es la capacidad de
cada bomba?.
70.- David y Carla pueden soldar 27 metros lineales por hora cuando trabajan
juntos. Tomas y David, juntos, pueden soldar 22 metros lineales por hora, mientras
que Tomas y Carla, juntos, pueden soldar 25 metros lineales por hora. ¿Cuantos
metros lineales por hora puede soldar cada uno de ellos por separado?.