El documento presenta 4 problemas relacionados con la ley de Faraday. El primer problema involucra calcular la fuerza electromotriz inducida en una bobina alrededor de un toroide con corriente variable. El segundo problema calcula la corriente promedio generada al deformar una espira cuadrada en un campo magnético uniforme. El tercer problema determina la aceleración de un protón moviéndose a través de campos eléctrico y magnético. El cuarto problema es similar al tercero.

1. Problemas de Ley de
Faraday
Clase 11
11/JULIO/2014

2. Ley de Faraday
 Problema 1
 Un toroide que tiene una sección transversal rectangular 𝑎 = 2𝑐𝑚 𝑝𝑜𝑟 3 𝑐𝑚
y un radio interior 𝑅 = 4𝑐𝑚 se compone de 500 vueltas de alambre que
conducen una corriente 𝐼 = 𝐼 𝑚𝑎𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 𝑐𝑜𝑛 𝐼 𝑚𝑎𝑥 = 50𝐴 y una frecuencia
𝑓 =
𝜔
2𝜋
= 60𝐻𝑧. Una bobina se compone de 20 vueltas de alambre se une al
toroide, como se muestra en la figura. Determine la fem en la bobina
como una función del tiempo.

3. Ley de Faraday
 Problema 1

4. Ley de Faraday
 Solución
 𝑎 = 2𝑐𝑚, 𝑏 = 3𝑐𝑚, 𝑅 = 4𝑐𝑚, 𝐼 = 𝐼 𝑚𝑎𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 , 𝐼 𝑚𝑎𝑥 = 50𝐴, 𝑓 = 60𝐻𝑧
 Nos piden: 𝜀 en la bobina como función del tiempo
𝑎
𝐵
𝑏
𝑅
𝑏/2

5. Ley de Faraday
 Solución
 Sabemos que por la ley de Ampere, el campo
magnético a través del toroide es:
 Considerando que el perímetro de un circulo o la
longitud se calcula con: 𝐿 = 2𝜋𝑟
 ⟹ 𝐵 ∙ 𝑑𝑠 = 𝜇 𝑜 𝐼𝑁 ⟹ 𝐵 2𝜋 𝑅 +
𝑏
2
= 𝜇 𝑜 𝐼𝑁
 Por lo tanto despejamos 𝐵 y tenemos:

6. Ley de Faraday
 Solución
𝐵 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑡𝑜𝑟𝑜𝑖𝑑𝑒 =
𝜇 𝑜 𝐼𝑁
2𝜋 𝑅+
𝑏
2
 Luego por la ley de inducción de Faraday tenemos:
 𝜀 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑏𝑜𝑏𝑖𝑛𝑎 = −𝑁′ 𝑑Φ 𝐵 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑡𝑜𝑟𝑜𝑖𝑑𝑒
𝑑𝑡
= −𝑁′ ∙
𝑑
𝑑𝑡
𝐵 ∙ 𝑑𝐴
 𝜀 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑏𝑜𝑏𝑖𝑛𝑎 = −𝑁′ 𝑑
𝑑𝑡
𝐵 ∙ 𝐴 = −𝑁′ ∙
𝑑
𝑑𝑡
𝜇 𝑜 𝐼𝑁
2𝜋 𝑅+
𝑏
2
∙ 𝑏 ∙ 𝑎

7. Ley de Faraday
 Solución
 𝜀 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑏𝑜𝑏𝑖𝑛𝑎 = −𝑁′ ∙
𝜇 𝑜 𝐼𝑁
2𝜋 𝑅+
𝑏
2
∙ 𝑏 ∙ 𝑎
𝑑
𝑑𝑡
50𝑠𝑒𝑛𝜔𝑡 ⟹
 𝜀 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑏𝑜𝑏𝑖𝑛𝑎 = −𝑁′ ∙
𝜇 𝑜 𝐼𝑁𝜔
2𝜋 𝑅+
𝑏
2
∙ 𝑏 ∙ 𝑎 50𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡 ⟹
 Donde
 𝑁′ = 20, 𝑁 = 50, 𝜇 𝑜 = 4𝜋 × 10−7, 𝑎𝑏 = 0.02 0.03 = 6 × 10−4
 𝜔 = 2𝜋 ∙ 𝑓 × 60 =
120𝜋𝑟𝑎𝑑
𝑠
, 𝑅 = 0.04

8. Ley de Faraday
 Solución
 Reemplazando tenemos
 𝜀 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑏𝑜𝑏𝑖𝑛𝑎 = −
20 500 4𝜋×10−7 6×10−4 50 120𝜋
2𝜋 0.04 +
0.03
2
𝑐𝑜𝑠 120𝜋𝑡
 En consecuencia: 𝜀(𝑡) 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑏𝑜𝑏𝑖𝑛𝑎 = 0.422𝑉 𝑐𝑜𝑠 120𝜋𝑡

9. Ley de Faraday
 Problema 2
 La espira cuadrada de la figura esta hecha de alambres con un
Resistencia total en serie de 10Ω. Se coloca en un campo magnético
uniforme de 0.1 𝑇 con dirección perpendicular hacia el plano de la
pagina. La espira, que esta articulada en cada vértice, se jala como se
ilustra hasta que la separación entre los puntos A y B es de 3𝑚. Si este
proceso tarda 0.1𝑠 ¿Cuál es la corriente promedio generada en la espira?
¿Cuál es la dirección de la corriente?

10. Ley de Faraday
 Solución
 Datos
 𝑅𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 10Ω; Δ𝑇 = 0.1𝑠, 𝐵 𝑎𝑑𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 = 0.1𝑇; 𝐼 𝑝𝑟𝑜𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 =?
 Sabemos que:
 Área inicial de un cuadrado: 3 2 = 9𝑚2
 Área final de un triangulo equilátero
 2 Á𝑟𝑒𝑎 ∆ = 2
𝐿2 3
4
= 2
32× 3
4
= 7.79𝑚2

11. Ley de Faraday
 Solución
3𝑚 3𝑚
3𝑚 3𝑚
𝐴
𝐵
3𝑚 3𝑚
3𝑚
3𝑚
3𝑚
𝐴
𝐵

12. Ley de Faraday
 Solución
 Luego por la ley de inducción de Faraday
 𝜀 = −
𝑑
𝑑𝑡
𝐵 ∙ 𝑑𝐴 = −𝐵 ∙
𝑑
𝑑𝑡
𝐴 ⟹
 𝜀 𝑑𝑡 = −𝐵 ∙ 𝐴 𝑖
𝐴 𝑓
𝑑𝐴 = −𝐵 ∙ 𝐴 𝐴 𝑖
𝐴 𝑓
 𝜀 =
𝐵𝐴 𝑖−𝐵𝐴 𝑓
∆𝑡
=
0.1 9−7.79
0.1
= 1.21𝑉
 ∴ 𝐼 𝑝𝑟𝑜𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 =
𝜀
𝑅
=
1.21
10
= 0.121𝐴 ≡ 121𝑚𝐴

13. Ley de Faraday
 Solución
 Por la ley de Lenz: El sentido o dirección de la corriente
es en el sentido de la agujas del reloj.

14. Ley de Faraday
 Problema 3
 Un protón se mueve a través de un campo eléctrico
uniforme 𝐸 = 50𝑗 𝑉/𝑚 y un campo magnético uniforme
𝐵 = 0.2𝑖 + 0.3𝑗 + 0.4𝐾 𝑇. Determine la aceleración del
protón cuando tiene una velocidad 𝑣 = 200𝑖 𝑚/𝑠

15. Ley de Faraday
 Solución
 Datos
 𝐸 = 50
𝑗𝑉
𝑚
; 𝑞 𝑝+ = 1.6 × 10−19 𝐶; 𝑚 𝑝+ = 1.67 × 10−27 𝐾𝑔
 𝐵 = 0.2𝑖 + 0.3𝑗 + 0.4𝑘 𝑇, 𝑣 = 200𝑖
𝑚
𝑠
, 𝑎 𝑝+ =?
 Sabemos que por la Ley de Lorentz
 𝐹𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝐹𝑒− + 𝐹𝐵

16. Ley de Faraday
 Solución
 Sabemos que por la Ley de Lorentz
 𝐹𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝐹𝐸 + 𝐹𝐵
 ⟹ 𝑚 𝑝+ ∙ 𝑎 = 𝑞 ∙ 𝐸 + 𝑞 ∙ 𝑣 × 𝐵
 𝑚 𝑝+ ∙ 𝑎 = 1.6 × 10−19 ∙ 50𝑗 + 1.6 × 10−19 200𝑖 ×
0.2𝑖 + 0.3𝑗 + 0.4𝑘

17. Ley de Faraday
 Solución
 𝑎 𝑝+ =
1.6×10−19
1.67×10−27 × 50𝑗 +
1.6×10−19 200𝑖
1.67×10−27 × 0.2𝑖 + 0.3𝑗 + 0.4𝑘
 ∴ 𝑎 𝑝+= −2.87 × 109 𝑗 + 5.75 × 109 𝑚/𝑠2

18. Ley de Faraday
 Problema 4
 Un protón se mueve a través de un campo eléctrico
uniforme 𝐸 = 50𝑗 𝑉/𝑚 y un campo magnético uniforme
𝐵 = 0.2𝑖 + 0.3𝑗 + 0.4𝐾 𝑇. Determine la aceleración del
protón cuando tiene una velocidad 𝑣 = 200𝑖 𝑚/𝑠