Este documento trata sobre ecuaciones de segundo grado. Brevemente describe cómo diferentes culturas antiguas como los babilonios, egipcios y griegos estudiaron y resolvieron este tipo de ecuaciones. Luego menciona diferentes métodos de resolución propuestos por matemáticos como Brahmagupta y Abraham bar Hiyya. Finalmente, introduce a Bhaskara, quien creó la fórmula general para resolver ecuaciones de segundo grado.

1. ECUACIONES DE
SEGUNDO GRADO
UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE
TORREÓN
IRMA LAURA GARCIA FAVELA
1A
20/10/2013

2. INTRODUCCIÓN
En la actualidad se dice que los babilonios ya tenían conocimiento de la ecuación
de segundo grado, aunque no sabían como expresar la ecuación; esto pasó a
manos de la cultura egipcia que la usaba para definir los límites de las parcelas.
En el año 100 a.C los griegos resolvían ecuaciones através de metódos
geométricos, se dice que Diofano fue el que de dio más impulso a este tema.
Se crearon distintos métodos de resolución de la ecuación un ejemplo puede ser los
siguientes:
Este metódo fue propuesto por un matemático llamado Brahmagupta, el cual
resolvia la siguiente ejemplo de esta manera:
-10x=-9, esta es la
ecuación, se multipicaba el numéro absoluto que es igual a -9 por el
coheficiente del cuadrado 1, el resultado sería -9.
La verdadera solución para esta ecuación la proporcionó el matemático Abraham
bar Hiyya.
-10x=39
Otro metódo fue el propuesto un matemático arabe que tomaba la mitad de las
ríces que era 5, lo multiplicaba por el mismo y se obtenía 25 a este numero se le
sumaba 39, y resultaba 64, después sacaba la ríz de este numero que es 8 y le
resta la 5 que es una mitad de una raíz y nos resulta 3 que es el valor buscado.
BHASKARA fue un matemático que nació en la India, a el se le atribueye la
creación de la siguiente fórmula:
ÉL EMPEZÓ a utilizar el cuadrado como segunda potencia y la inicial para indicar la
tercera potencia, uso las letras como incógnitas, con esto dio solución a diversas
ecuaciones de primer y segundo grado.Para encontrar las raíces de ecuación de
segundo grado ax2 + bx + c = 0 se utiliza la fórmula de bhaskara.

3. Obtención de la Fórmula General
La formula general del conjunto de soluciones de una ecuación es la expresión
matemática que engloba a todas esas soluciones
Cualquier ecuación cuadrática puede escribirse en la forma general
ax2 + bx + c = 0. En esta ecuación a, b y c representan números conocidos y x
es la incógnita. En la fórmula anterior, la expresión
b2 – 4ac recibe el
nombre de discriminante de la ecuación, que te permite conocer qué tipo de
raíces tiene ésta, al sustituir los valores a, b y c de la ecuación en el
discriminante. El resultado puede ser un número positivo, cero, o negativo
El "±" quiere decir que tienes que hacer más Y menos, ¡así que normalmente
hay dos soluciones!
Para Obtener la fórmula se porcede a lo siguiente:
+bx-c=0
4
+4abx=-4ac
Se le suma
4
+4abx+ =-4ac+
(2x+b)2= -4ac
2ax+b=
ECUACIÓN RESULTANTE:

4. Resolución de Ecuaciones
Las soluciones son dos, aunque
Sol uci ón por medi o de l a fórmul a genera l
en agunos casos se repite la
ax 2
x
a
x2
bx
b
2a
+b
misma solución, es decir, los
0
2
b
↓
+2
c
x
valores de x 1 y x 2 son iguales.
4 ac
x1 =
+c
↓
x2
-5
= 0
↓
x
-6
+ 5 + 8,544004
+4
x1 =
+ 13,54400375
+4
= 0
x1 =
+ 3,38600094
Sustituyendo en la fórmula general:
x=
-b
-(-5)
±√
+2
±√
+2
b2
a
(-5)
- 4ac
2
+ 5 - 8,544004
+4
x2 =
x=
x2 =
- 3,54400375
-4(2)(-6)
+4
(2)
x2 =
x=
x=
x=
+5
± √ + 25
+4
+5
± √ + 73
+4
+5
±
+ 48
8,54400375
+4
- 0,88600094

5. Tabluación y gráfica
x
-9
-7
-5
-2
0
+2
+5
y
+ 201
+ 119
+ 57
+ 15
-6
-7
+ 12
+7
+9
+ 51
+ 111
Soluciones
x
y
+ 3,38600
0
- 0,88600
0

6. 2do problema
Las soluciones son dos, aunque
Solución por medio de la fórmula general
en agunos casos se repite la
ax 2
x
a
x2
↓
-3
bx
b
+b
c
valores de x 1 y x 2 son iguales.
2
b
2a
x
4 ac
x1 =
+c
↓
x2
+4
misma solución, es decir, los
0
= 0
↓
x
+ 12
- 4 + 12,649111
-6
x1 =
+ 8,64911064
-6
= 0
x1 =
- 1,44151844
Sustituyendo en la fórmula general:
x=
-b
-(4)
± √ b2
+2
a
±√
+2
(4)
- 4ac
2
- 4 - 12,649111
-6
x2 =
x=
x2 =
- 16,64911064
-4(-3)(12)
-6
(-3)
x2 =
x=
x=
x=
-4
± √ + 16 + 144
-6
-4
± √ ###
-6
-4
±
12,6491106
-6
Tabluación y gráfica
+ 2,77485177

7. Tabulación y Grñafica
x
-9
-7
-5
-2
0
+2
+5
y
- 267
- 152
- 67
- 12
+ 12
+6
- 31
+7
+9
- 98
- 195
Soluciones
x
y
- 1,44152
0
+ 2,77485
0

8. 3er Problema
Las soluciones son dos, aunque
Solución por medio de la fórmula general
en agunos casos se repite la
ax 2
x
x2
a
bx
+ 255
b
2a
+b
x
↓
x2
- 328
misma solución, es decir, los
0
2
b
↓
c
valores de x 1 y x 2 son iguales.
4 ac
x1 =
+c
= 0
↓
x
x1 =
##
#######
+ 510
##########
+ 510
- 1156 = 0
x1 =
+ 2,86731325
Sustituyendo en la fórmula general:
x=
-b
± √ b2
+2
a
- 4ac
x2 =
x2 =
x=
-(-328)
2
± √ (-328) -4(255)(-1156)
+ 2 (255)
x=
x=
##
##
##
± √ ### ####
+ 510
± √ ###
+ 510
±
1134,32976
+ 510
#######
+ 510
- 806,32975805
+ 510
x2 =
x=
##
- 1,58103874

9. Tabluación y gráfica
x
-9
-7
-5
-2
0
+2
+5
y
+ 22451
+ 12676
+ 5484
+ 873
- 1156
- 603
+ 2532
+7
+9
+ 8248
+ 16547
Soluciones
x
y
+ 2,86731
0
- 1,58104
0

10. 4to Problema
Las soluciones son dos, aunque
Sol uci ón por medi o de l a fórmul a genera l
en agunos casos se repite la
ax 2
x
a
x2
bx
b
2a
+b
misma solución, es decir, los
0
2
b
↓
+ 15
c
x
valores de x 1 y x 2 son iguales.
4 ac
x1 =
+c
↓
x2
- 15
= 0
↓
x
- 30
# # + 45,000000
+ 30
x1 =
+ 60,00000000
+ 30
= 0
x1 =
+ 2,00000000
Sustituyendo en la fórmula general:
x=
-b
-(-15)
±√
+2
b2
a
± √ (-15)
+ 2 (15)
- 4ac
2
# # - 45,000000
+ 30
x2 =
x=
x2 =
- 30,00000000
-4(15)(-30)
+ 30
x2 =
x=
x=
x=
+ 15
+ 15
+ 15
± √ # # # + 1800
+ 30
± √ ###
+ 30
45
±
+ 30
- 1,00000000

11. Tabulación y gráfica
x
-9
-7
-5
-2
0
+2
+5
y
+ 1320
+ 755
+ 341
+ 80
- 30
+ 12
+ 206
+7
+9
+ 552
+ 1050
Soluciones
x
y
+ 2,00000
0
- 1,00000
0

12. 5to Problema
Las soluciones son dos, aunque
Sol uci ón por medi o de l a fórmul a genera l
en agunos casos se repite la
ax 2
x
a
x2
bx
b
2a
+b
misma solución, es decir, los
0
2
b
↓
+ 15
c
x
valores de x 1 y x 2 son iguales.
4 ac
x1 =
+c
↓
x2
- 30
= 0
↓
x
+ 15
x1 =
# # 0,000000
+ 30
+ 30,00000000
+ 30
= 0
x1 =
+ 1,00000000
Sustituyendo en la fórmula general:
x=
-b
±√
+2
b2
a
- 4ac
x2 =
x2 =
x=
-(-30)
± √ (-30)
+ 2 (15)
2
-4(15)(15)
x=
x=
+ 30
+ 30
+ 30
± √ ###
+ 30
±√
+ 30
- 900
0
0
±
+ 30
+ 30,00000000
+ 30
x2 =
x=
# # 0,000000
+ 30
+ 1,00000000

13. Tabulación Gráfica
x
-9
-7
-5
-2
0
+2
+5
y
+ 1500
+ 901
+ 454
+ 158
+ 15
+ 23
+ 184
+7
+9
+ 496
+ 960
Soluciones
x
y
+ 1,00000
0
+ 1,00000
0

14. 5
PROBLEMAS
DE LIBRO

15. 1er Ejemplo

16. Las soluciones son dos, aunque
Solución por medio de la fórmula general
en agunos casos se repite la
ax 2
x
a
x2
↓
+6
bx
c
valores de x 1 y x 2 son iguales.
2
b
b
2a
+b
misma solución, es decir, los
0
x
4 ac
x1 =
+c
↓
x2
- 13
= 0
↓
x
- 15
# # + 23,000000
+ 12
x1 =
+ 36,00000000
+ 12
= 0
x1 =
+ 3,00000000
Sustituyendo en la fórmula general:
x=
-b
-(-13)
± √ b2
+2
a
± √ (-13)
+2
(6)
- 4ac
2
# # - 23,000000
+ 12
x2 =
x=
x2 =
- 10,00000000
-4(6)(-15)
+ 12
x2 =
x=
x=
x=
+ 13
± √ ###
+ 12
+ 13
± √ ###
+ 12
+ 13
+ 360
23
±
+ 12
Tabluación y gráfica
- 0,83333333

17. x
-9
-7
-5
-2
0
+2
+5
y
+ 588
+ 346
+ 165
+ 45
- 15
- 14
+ 48
+7
+9
+ 171
+ 354
Soluciones
x
y
+ 3,00000
0
- 0,83333
0
2do Ejemplo

18. Las soluciones son dos, aunque
Sol uci ón por medi o de l a fórmul a genera l
en agunos casos se repite la
ax 2
x
a
x2
↓
+2
bx
b
+b
c
valores de x 1 y x 2 son iguales.
2
b
2a
x
4 ac
x1 =
+c
↓
x2
-4
misma solución, es decir, los
0
= 0
↓
x
- 10
+ 4 + 9,797959
+4
x1 =
+ 13,79795897
+4
= 0
x1 =
+ 3,44948974
Sustituyendo en la fórmula general:
x=
-(-4)
±√
+2
±√
+2
b2
a
(-4)
- 4ac
2
+ 4 - 9,797959
+4
x2 =
x=
-b
x2 =
- 5,79795897
-4(2)(-10)
+4
(2)
x2 =
x=
x=
x=
+4
± √ + 16
+4
+4
± √ + 96
+4
+4
±
+ 80
9,79795897
+4
Tabluación y gráfica
´
- 1,44948974

19. x
-9
-7
-5
-2
0
+2
+5
y
+ 188
+ 108
+ 49
+9
- 10
-9
+ 13
+7
+9
+ 54
+ 116
Soluciones
x
y
+ 3,44949
0
- 1,44949
0

20. 3er Ejemplo
Las soluciones son dos, aunque
Sol uci ón por medi o de l a fórmul a genera l
en agunos casos se repite la
ax 2
x
a
x2
↓
+7
bx
c
valores de x 1 y x 2 son iguales.
2
b
b
2a
+b
x
4 ac
x1 =
+c
↓
x2
-8
misma solución, es decir, los
0
= 0
↓
x
-5
+ 8 + 14,282857
+ 14
x1 =
+ 22,28285686
+ 14
= 0
x1 =
+ 1,59163263
Sustituyendo en la fórmula general:
x=
-b
-(-8)
±√
+2
±√
+2
b2
a
(-8)
- 4ac
2
+ 8 - 14,282857
+ 14
x2 =
x=
x2 =
- 6,28285686
-4(7)(-5)
+ 14
(7)
x2 =
x=
x=
x=
+8
± √ + 64
+ 14
+8
± √ ###
+ 14
+8
±
+ 140
14,2828569
+ 14
- 0,44877549

21. Tabluación y gráfica
x
-9
-7
-5
-2
0
+2
+5
y
+ 634
+ 368
+ 173
+ 48
-5
+ 12
+ 101
+7
+9
+ 260
+ 490
Soluciones
x
y
+ 1,59163
0
- 0,44878
0

22. 4to Ejemplo
Las soluciones son dos, aunque
Sol uci ón por medi o de l a fórmul a genera l
en agunos casos se repite la
ax 2
x
a
x2
↓
+ 10
bx
c
valores de x 1 y x 2 son iguales.
2
b
b
2a
+b
x
4 ac
x1 =
+c
↓
x2
-4
misma solución, es decir, los
0
= 0
↓
x
-2
+ 4 + 9,797959
+ 20
x1 =
+ 13,79795897
+ 20
= 0
x1 =
+ 0,68989795
Sustituyendo en la fórmula general:
x=
-(-4)
±√
+2
b2
a
± √ (-4)
+ 2 (10)
- 4ac
2
+ 4 - 9,797959
+ 20
x2 =
x=
-b
x2 =
- 5,79795897
-4(10)(-2)
+ 20
x2 =
x=
x=
x=
+4
± √ + 16
+ 20
+4
± √ + 96
+ 20
+4
±
+ 80
9,79795897
+ 20
- 0,28989795

23. Tabulación y gráfica
x
-9
-7
-5
-2
0
+2
+5
y
+ 844
+ 481
+ 219
+ 58
-2
+ 40
+ 183
+7
+9
+ 427
+ 772
Soluciones
x
y
+ 0,68990
0
- 0,28990
0

24. 5to Ejemplo
Las soluciones son dos, aunque
Sol uci ón por medi o de l a fórmul a genera l
en agunos casos se repite la
ax 2
x
a
x2
↓
-9
bx
c
valores de x 1 y x 2 son iguales.
2
b
b
2a
+b
x
4 ac
x1 =
+c
↓
x2
misma solución, es decir, los
0
= 0
↓
-4
x
+2
+ 4 + 9,380832
- 18
x1 =
+ 13,38083152
- 18
= 0
x1 =
- 0,74337953
Sustituyendo en la fórmula general:
x=
-b
-(-4)
±√
+2
±√
+2
b2
a
(-4)
- 4ac
2
+ 4 - 9,380832
- 18
x2 =
x=
x2 =
- 5,38083152
-4(-9)(2)
- 18
(-9)
x2 =
x=
x=
x=
+4
± √ + 16
- 18
+4
± √ + 88
- 18
+4
±
+ 72
9,38083152
- 18
+ 0,29893508

25. Tabluación y gráfica
x
-9
-7
-5
-2
0
+2
+5
y
- 691
- 381
- 162
- 35
+2
- 53
- 198
+7
+9
- 435
- 763
Soluciones
x
y
- 0,74338
0
+ 0,29894
0