Este documento trata sobre los límites en matemáticas avanzadas. Explica que los límites son herramientas fundamentales para el cálculo y que permiten calcular la pendiente de una curva tangente. Luego, presenta algunos ejemplos de cálculo de límites utilizando técnicas como multiplicar y dividir por el conjugado. Finalmente, introduce el teorema de L'Hôpital, el cual establece que si el límite de la razón de las derivadas de dos funciones existe, entonces también existe el límite de la razón de

1. Matemáticas avanzadas
Jesús Raúl Carrillo Ruelas
Gerardo Mata Ortiz
Universidad Tecnológica De Torreón

2. Limites

3. Que son los limites
 Los límites son la herramienta principal sobre la que construimos el cálculo. Muchas
veces, una función puede no estar definida en un punto, pero podemos pensar a qué
valor se aproxima la función mientras se acerca más y más a ese punto (esto es el
límite). Otras ocasiones, la función está definida en un punto, pero puede aproximarse a
un límite diferente.
 Hay muchas, muchas veces donde el valor de la función es el mismo que el del límite
en el punto. De cualquier manera, esto es una poderosa herramienta cuando
comenzamos a pensar en la pendiente de una recta tangente a una curva.

4. 1
2
3

5. Artificios para calculo de limites

6. 1) Calcular √x - 2
Resolución:
√x - 2 = √2 - 2 = 0
2) Calcular (√x - 1)/(x - 1)
Resolución:
(√x - 1)/(x - 1) = (√1 - 1)/(1 - 1) = 0/0, indeterminación.
- Para resolver la indeterminación se multiplica y se divide por el conjugado del numerador, √x +
1:
(√x - 1)/(x - 1) = [(√x - 1).(√x + 1)]/[(x - 1).(√x + 1)] = (x - 1)/[(x - 1).(√x + 1)] = 1/(√x + 1) =
1/(√1 + 1) = ½
3) Resolver el siguiente límite: (√x - √5)/(x - 5)
Resolución:
(√x - √5)/(x - 5) = (√5 - √5)/(5 - 5) = 0/0, indeterminación.
- Para resolver la indeterminación se multiplica y se divide por √5 + √5
(√x - √5)/(x - 5) = [(√x - √5).(√x + √5])/[(x - 5).(√x + √5)] = (x - 5)/[(x -
5).(√x + √5)] = 1/(√x + √5) = 1/(√5 + √5) = 1/2.√5

7. Teorema de L´Hospital
Esta regla recibe su nombre en honor al Matemático Francés del siglo XVII Guillaume François
Antoine, marqués de l'Hôpital (1661-1704), quien dio a conocer la regla en su obra
Analyse des infiniment petits pour l'intelligence des lignes courbes(1692), el primer texto que se ha
escrito sobre cálculo diferencial aunque actualmente se sabe que la regla se debe a
Johann Bernoulli, que fue quien la desarrolló y demostró
LA REGLA DE L HOPITAL
Sean f y g dos funciones definidas en el intervalo [a,b], y sean f(c)=g(c)=0, con COM
perteneciente a (a,b) y g'(x) ≠0 si x≠ c.
Si f y g son derivables en (a,b), entonces si existe el límite f'/g‘ en c, existe el límite de f/g (en c) y
es igual al anterior. Por lo
tanto