Este documento explica los conceptos fundamentales de límites, incluyendo: (1) la definición formal de límite, (2) teoremas de límites como el teorema del emparedado y el teorema de unicidad de límite, y (3) cómo calcular límites laterales y determinar si un límite existe para funciones especiales.

1. I- Límites. 1- Límite: Que tiende o se
aproxima a algo.
1
Ejemplo: Para ; con porque si x=2, la función se
indetermina, o no existe, pero… ¿Qué sucede alrededor de
 Primero factorizamos:
 por lo tanto,
; con
 Restando 0,01 (como valor fijo) a “x=2”, se tiene que:
X Y
1,97 f(1,97) = 1,97+2 3,97
1,98 f(1,98) = 1,98+2 3,98
1,99 f(1,99) = 1,99+2 3,99
 Sumando 0,01 (como valor fijo) a “x=2”, se tiene que:
X Y
2,01 F(2,01) = 2,01+2 4,01
2,02 F(2,02) = 2,02+2 4,02
2,03 F(2,03) = 2,03+2 4,03
 En la tabla se observa que, cuando “tiende a 2”, la función (Y) tiende a 4,
aunque no existe.
Unidad II- Límites y Continuidad.

2. Visto de manera gráfica:
 Si graficamos en el plano cartesiano, se observa que…
 El valor que se resta antes, y se suma después de “x” recibe el nombre de
(delta).
 El valor que se resta antes, y se suma después de “Y” recibe el nombre de
(épsilon).

3. 2- Significado Intuitivo de Límite:
“Cuando se aproxima a está cerca de de ”.
 No es necesario que la función esté definida en “c”.

4. 3- Definición Formal de Límite:
Se sabe que:
4
Donde:
 = Límite
 = Variable Real Independiente
 = Función o Variable Dependiente
 = Número Real al cual la variable se aproxima
 = Resultado de Evaluar el Límite cuando “ ” tiende a ”.
La diferencia entre y se puede hacer pequeña, si “ ” está cerca de “
”, pero sin ser iguales. Entonces, .
Recordemos que “ ” es un número entero positivo ( ).
De allí se tiene que pertenece al intervalo “ ”; y si
existe un “ ”, también existe un “ ”, tal que: , por lo
tanto,

5. , siempre que
Si , entonces,
 Esto quiere decir que el valor de depende de !!!
4- Teoremas de Límites.
a) Límite de una Constante: Si con , entonces
b) Evaluando el valor al cual tiende en el límite:
5
c) Límite de una Constante por una función:
d) Álgebra de Límites: Si y ; Entonces:



; con
C= Constante

6. ; con m y
b cttes.


e) Si “f” es Función Polinomial o Racional:
; Si “n” es par,
Con denominador para función racional, para que el límite exista.
6
f) Si , y entonces:
(Este teorema se puede aplicar cuando se presenta alguna indeterminación).
g) Teorema del Emparedado: Sean f, g y h funciones que satisfacen la condición
para toda próxima a “C”, con la posible excepción de
C; si

7. Entonces,
5- Límites Unilaterales.
Teorema de Unicidad del Límite: Para que el límite exista, el límite por la
derecha de un número (Cuando venimos desde + hacia el número) debe ser
igual al límite por la izquierda del número en cuestión (cuando nos acercamos
al número desde ).
Es decir, y
7 Para que el límite exista, y sea igual a “L”:
Ejemplos:
1) Determine si existe
Respuesta:
2) Determine si existen ; y
en la función
Como los dos límites unilaterales son
diferentes, se tiene que:

8. 6- Límites Laterales de Funciones Especiales.
 Calcular
Respuesta: 8
Como los dos límites unilaterales son
iguales, se tiene que: