Los movimientos en el plano incluyen traslaciones, giros, simetrías axiales y centrales. Estos movimientos conservan distancias y ángulos y se pueden usar para hacer rosetones, frisos y mosaicos. Los frisos son cubrimientos de regiones infinitas usando traslaciones, giros, simetrías axiales o deslizamientos. Los mosaicos rellenan el plano con polígonos regulares u otras figuras usando traslaciones.

1. Movimientos Presentación S. M Movimiento en el plano - Traslaciones D.M Simetrías axiales y centrales P.G Giros I. R Frisos y mosaicos

2. Movimientos en el plano . Tipos Son transformaciones que conservan distancias y ángulos. Se clasifican en directos e inversos y comprenden 4 tipos: Traslación, giro, simetrías axiales y centrales. Las podemos utilizar para hacer: rosetones, frisos y mosaicos Movimientos Directos Inversos Traslaciones Giros Simetrías axiales Simetrías centrales Rosetones Mosaicos Frisos

3. Plano Es una superficie geométrica que no posee volumen. Este plano se divide en eje de coordenadas X y Y, subdivididas en positivas y negativas. Poseen un numero infinitos de rectas y puntos que los cruzan de un lado a otro. La posición de una recta en algún lugar del plano se puede medir en grados. Los conceptos y propiedades de los movimientos en el plano van íntimamente ligados al concepto de vector (magnitud física con dirección, sentido y módulo). Y+ X- X + Y-

4. Transformaciones y movimientos Las Transformaciones en el plano hacen corresponder a cada punto del plano otro punto del plano. Existen muchas formas de transformar el plano, pero hay una que es motivo de nuestro interés, esta forma consiste en transformar el plano conservando las distancias, es decir, la distancia entre dos puntos es igual a la distancia entre sus transformados. Estos tipos de transformaciones reciben el nombre de movimientos. Hay dos tipos de movimientos, Directos si conservan la orientación de los dibujos e Inverso si invierte el sentido de la orientación. Y+ A’ A X- X + Y-

5. Traslación La Traslación es un movimiento en el que los segmentos que unen un punto cualquiera y su transformado son siempre de la misma dirección sentido y longitud. El segmento, que está orientado por asignarle un sentido, se denomina vector de traslación. C’ B’ A’ C Vector de traslación B A

6. Giro Los giros tienen como elementos característicos el centro y el ángulo de giro. Pueden dividirse en: Con respecto su propio centro Con respecto un centro exterior Y+ Y+ B’ C A’ C’ A B X- X + X- X + 0 0 A’’ C’’ B’’ Y- Y-

7. Simetrías La Simetría Axial de eje la recta r es un movimiento en el que el eje r es mediatriz del segmento que une un punto cualquiera y su transformado, es decir, eje y segmento se cortan perpendicularmente en el punto medio del segmento. La simetría puede ser con deslizamiento y es un movimiento que se compone de una simetría axial y de una traslación de vector paralelo al eje de simetría, es decir para transformar un punto determinamos su simétrico respecto de un eje y a continuación trasladamos el simétrico en dirección paralela al eje. Las simetrías axiales y las simetría axial con deslizamiento se conocen como movimientos inversos por no conservar la orientación de la figuras. Y+ Y+ r r X + X + 0 0

8. Simetría axial La simetría axial se basa en el eje podemos representar objetos con respecto a: Eje exterior Vertical Horizontal Eje interior

9. Simetría Central Se denomina Simetría Central de centro un punto O del plano a la transformación que hace corresponder a cada punto A otro que designaremos por A’ tal que el punto O sea el punto medio del segmento AA’, es decir que la distancia de ambos puntos al centro es la misma. Si al hacer media vuelta la figura queda igual diremos que tiene simetría central, y diremos que hay simetría cíclica si la figura sólo queda igual cuando giramos un ángulo divisor de 360º (un tercio de vuelta, un cuarto de vuelta,...). Y+ C B A X- X+ A’ 0 B’ C’ Y-

10. Frisos Se llama friso a un cubrimiento de la región del espacio limitada por dos rectas paralelas. Los frisos son cubrimientos de regiones de longitud infinita pero de anchura finita. Hay cuatro tipos de movimientos en el plano que intervienen en los frisos: la traslación, el giro, la simetría axial y el deslizamiento (el deslizamiento es la composición de una simetría axial y de una traslación). Aunque pueden construirse infinitos tipos de frisos mediante traslaciones, en realidad todos ellos pueden clasificarse en sólo siete tipos distintos según qué movimientos existan en el motivo que se traslada infinitamente Traslación Simetría vertical y traslación Simetría horizontal y traslación Simetría con desplazamiento y traslación Giro de 180º y traslación Giro de 180º más simetría y traslación Giro de 180º y con desplazamiento traslación

11. Frisos

12. Mosaicos Podemos definir un mosaico como todo recubrimiento o teselación del plano, con piezas o losetas que no pueden superponerse ni dejar huecos, haciendo composiciones con polígonos o figuras mediante traslaciones en las dos direcciones del plano. Si se utilizan polígonos regulares como motivo mínimo sólo podremos rellenar el plano mediante triángulos equiláteros, cuadrados y hexágonos regulares. Esto se debe a que en cada vértice deben confluir ángulos que sumen 360º. A estos mosaicos, representados en la siguiente figura, se les llama mosaicos regulares.

13. Mosaicos Se pueden construir mosaicos que rellenen el plano con polígonos no regulares, e incluso no convexos. También se pueden hacer usando figuras de lados curvos. Así lo hizo, por ejemplo, el pintor holandés M.C.Escher, produciendo modificaciones compensadas en los lados del polígono regular que genera un mosaico regular, es decir, lo que se corta de un lado se añade a otro. En la siguiente ilustración se presenta un modelo.

14. Referencias http://amolasmates.es/pdf/cidead/3_eso/apuntes/teoria%20movimientos%20en%20el%20plano.pdf http://docentes.educacion.navarra.es/~msadaall/geogebra/figuras/es70.htm http://concurso.cnice.mec.es/cnice2006/material105/inicio.html http://www.ite.educacion.es/w3/eos/MaterialesEducativos/mem2003/movimientos/ http://www.vitutor.com/geo/vec/c_4.html www.unizar.es/ttm/2004-05/Movimientos.doc www.unizar.es/ttm/2004-05/frisosmos.doc