Este documento trata sobre la reducción de ángulos al primer cuadrante. Explica que esto implica expresar las razones trigonométricas de un ángulo que no es agudo en función de otro que sí lo sea. Describe casos como ángulos mayores a 360°, menores a 360° y negativos, y cómo reducirlos al primer cuadrante. También presenta identidades trigonométricas relacionadas con ángulos complementarios y suplementarios. Finalmente, resuelve problemas aplicando estas técnicas de reducción al primer cuadrante.
1. UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA
CEPUNS 180
R
360
R.T.()
RT()
Ciclo 2013-III 90
R Co R.T.()
TRIGONOMETRÍA 220
“Reducción al Primer Cuadrante” Semana Nº 6
Lic. Edgar Fernández C. Rodolfo Carrillo V.
Objetivos:
Discrimar información relevante, sintetizar y construir conocimientos para resolver
problemas con reducción al primer cuadrante.
Aplicar técnicas empleadas en la comprobación de diversas identidades.
Aplicar razones trigonométricas equivalentes de ángulos mayores a 360°, menores a 360º
y negativos.
Def inición: Por ejemplo; calculemos:
Es el procedim iento m ediante el cual se determ inan 3
las razones trigonom étricas de un ángulo que no es Sen120 º Sen (90 º 30 ) Cos 30 º
()
2
a gudo, en función de otro que sí lo sea. *
R.T.( ) R.T.( ) 1
Cos120 º Cos(180 º 60º ) Cos60º
()
2
*
: no es agudo : sí es agudo
La conversión de una razón trigonométrica (R.T) de Tanº Tan (270 º 30º ) Cot 30º 3
u n ángulo cualquiera en otra razón equivalente de un 240
á ngulo del primer cuadrante se llama:”reducción al * ()
pr imer cuadrante”
También reducir al prim er cuadrante un ángulo Csc 330 º Csc(360 º 30 º ) Csc 30 º 2
significa encontrar los valores de las RT de cualquier * ()
á ngulo en forma directa mediante reglas prácticas.
II. Ángulo cuya medida es mayor que 360º:
C asos: En este caso, se procede de la siguiente manera:
R.T. () = R.T. () ; donde 360º
I. Ángulos cuyas medidas están en
q
<90º ; 360º>: En este caso, el ángulo original "α"
se descom pone com o la suma o resta de un ángulo Residuo
cuadrantal (90º ; 180º ; 270º ó 360º) con un ángulo Por ejemplo, calculemos:
qu e sea agudo; para luego aplicar :
3
Sen 2580 º Sen 60 º * Tan 3285º = Tan
180 2
R R.T.()
RT() 360 2580º 360º 3285º 360º
90 2520º 7 3240º 9
R Co R.T.()
220 * 60º 45º
Donde el signo que deberá anteponerse al
resultado dependerá del cuadrante al que pertenezca
el ángulo original " α "
1
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2
* Tan 3285º = Tan45º = 1 Sen (45 º ) Sen 45 º
* 2
3285º 360º Cos (60 º ) Cos 60 º 1
* 2
3240º 9 Tan (120 º ) Tan 120 º Tan (90 º 30 º ) (Cot 30 º ) 3
45º ()
*
IV. Ángulos relacionados:
Sec1200º = Sec120º = Sec(90º + 30º) = Csc30º = 2
() Senx Seny
1200º 360º
Si : x y 180º Cosx Cosy
1080º 3 Tanx Tany
120º
1.
Si el ángulo estuv iese expresado en radianes, se
pr ocede de la siguiente manera: Senx Seny
Cos 1 1
Sen133 Sen 1 1
* Cos127 Si : x y 360º Cosx Cosy
2 2 3 3 2
Tanx Tany
133 4 127 6
132 33 126 221
.
* 1 1
Por ejemplo, calculemos:
Cos127 Cos 1 1 C Cos Cos 2 Cos 3 Cos 4 Cos 5 Cos 6
* 7 7 7 7 7 7
3 3 2
127 6 En esta expresión note que:
126 21 6 Cos Cos 6
1 7 7 7 7
2 5 Cos 2 Cos 5
R.T. a ; a 2b 7 7 7 7
Es decir, si fuese: b
Se divide:
3 4 Cos 3 Cos 4
a 2b 7 7 7 7
q Luego:
r este residuo reempla za al numerador "a " C Cos 6 Cos 5 Cos 4 Cos 4 Cos 5 Cos 6
Tan 1315 Tan 3 Sen 1345 quedaría C = 0
7 7 7 7 7 7
* Reduciendo,
4 4 3
1315 8 1345 BLEMAS
RO RESUELTOS
51 164
35 1. Reducir:
* 3 sen(180º ) tg 270º sec 90º
Q
cos(90º ) ctg 360º csc 180º
III. Ángulos de medida negativa: Se A) 0 B) -3 C)-1
procede de la siguiente manera: D) 3 E) 1
RESOLUCIÓN
Sen(-x) = -Senx Csc(-x) = -Cscx
Cos(-x) = Cosx Sec(-x) = Secx Q sen ctg csc
Tan(-x) = - Tanx Cot(-x) = - Cotx sen ctg csc
Por ejemplo, calculemos: Q 1 1 1 1
2
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RPTA.: C * 47
47
sen x sen x sen 22 3 x
2 2
2
2. Si cos x cos x cos x
W
3 cos x
Calcule:
sen 15 cos 92 W= 1 RPTA.: B
P
927 1683
sec csc
2 2
4. Siendo “ ” y “ ” las medidas de dos
A) 3 B) 1 C) 1 D) 3/16 E) 5
ángulos complementarios:
16 16 16 16
cos 2 4 tg 3 2
RESOLUCIÓN Q
cos 4 6 ctg 2 3
A) -1 B) 1 C) 0 D) -2 E) 2
sen 15 sen 15 sen sen
cos 92 cos RESOLUCIÓN
1683 * 90
csc sec
2
927
sec csc * cos 2 4 cos 2 2 2 cos 180 2 cos 2
2
Reemplazando:
P
sen cos
sen cos * cos 4 6 cos 4 4 2 cos 360º 2 cos2
csc sen 1
sen cos
sen2 cos2 * tg 3 2 tg 2 2 tg 180º tg
reemplazando:
* ctg 2 3 ctg 2 2 ctg 180 ctg
3
P sen2 cos2 cos 2 tg cos 2
3 3 Q Q
cos 2 ctg cos 180 2
2
3 1
2
3 tg 90
2 2 16 ctg
RPTA.: A
Q
cos 2 ctg
2
RPTA.: D
cos 2 ctg
3. Reduce:
cos x cos 24 x cos 53 x 5. Reducir:
W
sen x
47 H cos 7 cos 3 cos 4 cos 6
7 7 7
2
A) -1 B) 1 C) -3 D) 3 E) 0 A) 0 B) 1 C) 2 D) ½ E) 3
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
* cos x cos x H cos 7 cos 3 cos 4 cos 67
7 7
* cos 24 x cos 2 12 x cos x
* cos 53 x cos 52 x cos x cos x
3
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3 3
H cos cos cos cos
7 7 7
7 3) Al reducir: (Examen de admisión 2011 – II)
37
3 3 tg 99 x . cos x . sec90 x
H cos cos cos cos R 2
7 7 7 7 91
ctg
x .sen 40 x
2
H= 0 RPTA.: A
a) 1 b) senx c) cosx d) - secx e) cscx
6. Si: ctg20 a
4) Si: cos 10º = a. ¿a que es igual
Calcule: csc 200º sen110º
E = sen100º.cos190º?
E
cos 290º csc 430º
a) a b) 2a c) a/2 d) a 2 e) -a 2
A) a B) -a C)
2
a D)
2
a E) 1 (Segundo examen sumativo 2011 – II)
RESOLUCIÓN 5) ¿Qué relación existe entre a y b? sabiendo
( )
csc 200 sen110
()
que:
E () 2a 3b 6 3a 2b
cos290 csc 430 Tg Ctg 0
()
8 4
csc 20 sen70
E
sen20 csc 70 a) ½ b) 1/3 c) ¼ d) 1/5 e) 1/6
csc 20 cos20
E
sen20 sec 20
cos2 20º 6) Cuál es la relación que existe entre x e y.
E
sen2 20º 40 x 15 4 x 2 y 89
Tg Ctg Cos
cos 20
2
10 10 2
E
sen20
a) 2y = 3x b) y = 3x c) 2y – 3x = k
2
E ctg 20º
d) y = 3x + k e) 2y – 3x = 2k
E a2 RPTA.: D 7) Sabiendo que:
37 77
Ksen ctg cos(sen)
2 2
ROBLEMA DE CLASE
Entonces el valor de: M = |sen + csc| en
términos de K es: (k > 0)
1) Si , simplifique:
Sen 2 Cos2 1 ( k 2 1) ( k 2 1)
F
Cos 2 Cos 2 90º 1 A)2K B) 1/K C) 2/K D) 2 E) k
A) - 1 B) - ½ C) 0 D) ½ E) 1
8) En un cuadrilátero convexo ABCD se cumple:
A B C A B C
sen(A B C) cos2 sen2
2 2 2 2 2 2
2) Si SenA +2Cos2A = 0, Calcule el valor de F , Entonces el valor del ángulo D es:
Si: Ctg 270º A.Sec 180º A.Tg 90º A
F
Cxc 180º A.Cos180º A.Sen360º A A) 45º B) 60º C) 90º D) 135º E) 150º
A) –8 B) -5 C) 5/4 D) 0 E) 8
4
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5. Lic. Edgar Fernández C. Rodolfo Carrillo V. Trigonometría.
9) Analice la veracidad de las proposiciones
xy
siendo , n Z
14) Si 2 entonces al simplificar:
i. Sen(n ) Sen
3sec x.sec y cos(8x 9y)
ii. 2 3 5 5 F
Tg Tg Ctg tgx tgy sen(9x 8y)
3 2 6 6
Se obtiene:
iii. Sec(781 Cos ) Sec(Cos )
iv. 1 1 a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e)5
Ctg 3n Ctg
x x
a) FFFF b) FFVF c) FVVV 15) Si a y c son suplementarios, además a y b
d) FVVF e) VFVF son complementarios. Reducir:
4 cos(2a 3c)Csc(4b 3c) Sen(a b c)
M
tg (a b c) Sen(a b c)
10) Si a y b son ángulos complementarios,
simplificar la expresión:
a) -3 b)2 c) -1 d)-2 e) 0
Sen 6a 7b .Tg 13b 14a
M
Cos 4b 5a .Tg 10a 11b
a) -2 b) -1 c) 2 d) 0 e) 1 16)Calcular el valor de
143
Tg
6
11) Calcular el valor de F, Si: E Cos(2k 1) ; k Z
109 253 2
Sen Sec
11 23 3 6
Tg Ctg
F 12 12 a) 2 b) 2 c) 2 3 d) 2 3 e) 2 3
29 31
Tg Ctg 7 7 21 21 15
12 12
PROBLEMA DE REPASO
A) 3 B) 2 C) 3 D) 3 E) 2 3
2 2 2
12) Calcular: 1. Hallar s ot
R Cos
Cos
2
Cos
3
. . . Cos
29 y
30 30
30 30
29 Tér min os
a) 0 b) 1 c) - 1 d) 2 e) – 2 x
13 (x;-5)
13) En el triángulo ABC, Simplifique la expresión
F, si:
C A B
SenA.CscB C Sen .Sec a) 2/3 b)-3/2 c) -2/3
F 2 2
A d)3/2 e) -2
Cos B C .Sen
2
2. Calcular el valor de:
A) SenB C B) CosB C C) 0 D) 1 E) 2 os os n
os ( )
5
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6. Lic. Edgar Fernández C. Rodolfo Carrillo V. Trigonometría.
y
6. Si:
∑ ( ) ∑ ( )
x Calcule:
∑ * +
a) 0 b) -1 c) 1
d) 2 e) -2
a) n b) n c)-1
d) n e)1
7. Si ABCD es un cuadrado, calcular:
3. Si se cumple:
* + [ ]
2/3
[ ] * +
Calcular: B C
a) -2/3 b) -3/2 c) 2/3
d) 1 e) 1/3
M
4. Si : s ; s
A D
D t rmin r l v lor d ‘‘m’’ qu h qu
sean suplementarios. a)-2 b) -1 c) 0
d) 1 e) 2
a) 1/2 b) -1/2 c) -1/4
d) 0 e) ¼ 8. Hallar: Ctg si ‘‘ ’’ s ntro
5. Si: es centro, hallar:
n| | | ot |
1
y
2
1 3
2
O
3
x
O1 a)31/11 b)11/31 c) -31/11
d) -11/31 e) -1/3
a) -2 b) 2 c) 0
d) 10/3 e) -10/3
6
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