El documento presenta las identidades trigonométricas para la suma y diferencia de variables, así como propiedades relacionadas. Incluye fórmulas para seno, coseno y tangente de la suma y diferencia de ángulos, así como propiedades como que el seno y coseno de la suma es igual al seno y coseno de la diferencia. También cubre identidades para tres ángulos y relaciones entre tangente, cotangente y funciones trigonométricas de ángulos complementarios.

1. 91
91
91
91
TRILCE
Capít ulo
1 IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS DE LA SUMA Y
DIFERENCIA DE VARIABLES
I. Para la Suma:
Sen(x  y)  Senx  Cosy  Seny  Cosx
Cos(x  y)  Cosx  Cosy  Senx  Seny
Tan(x  y) 
Tanx Tany
1  Tanx  Tany
II. Para la Diferencia:
Sen(x  y)  Senx  Cosy  Seny  Cosx
Cos(x  y)  Cosx  Cosy  Senx  Seny
Tan (x  y)
Tanx Tany
1  Tanx  Tany
PROPIEDA D ES:
I.
Sen(x  y)  Sen(x  y)  Sen2x  Sen2y
Cos(x  y) Cos(x  y)  Cos2x  Sen2y
II.
Tanx  Tany 
Sen(x y)
Cosx  Cosy
III.
Si :K  aSenx  bCosx  a ,b R 
 K  a2  b2  Sen(x  ) ; donde :
a2 + b2
b

a
IV.
Si :
L  aSenx  bCosx ;  a , b , x R
Donde :
L
máx
Lmín
 a 2  b2
  a2  b2
a b : constantes
x : variables

2. 92
92
92
92
Trigonometría TRILCE
V.
Tanx  Tany  Tanx  Tany Tan(x  y) Tan( x y)
ó
Tanx Tany  Tanx Tany  Tan(x  y)  Tan(x  y)
IDENTID AD ES TRIGONOMÉTRICA S PARA TRES ÁNGULOS
* Propiedades:
I.
Si :
x  y  z   ó n ; n  Z

i) Tanx Tany  Tanz Tanx · Tany · Tanz
ii) Ctgx · Ctgy  Ctgy · Ctgz  Ctgz · Ctgx  1
II.
Si:
x  y  z  
2
ó (2n1) 
2
; n  Z

i) Ctgx + Ctgy + Ctgz = Ctgx · Ctgy· Ctgz
ii) Tan x · Tany + Tany · Tanz + Tanz · Tanx= 1

3. 93
93
93
93
Trigonometría TRILCE
a) 3/4 b) 4/3 c) 4/5
d) 5/4 e) 3/5
a) 5º b) 10º c) 15º
d) 20º e) 30º
10 10 10 a) 17/13 b) 13/17 c) 51/13
d) 13/51 e) 3
a) 1/4 b) 1/5 c) 5/3
d) 5 e) 3/7
01. Reducir:
J = Sen(30º+x)+Sen(30º-x)
EJERCICIOS PROPUESTOS
127
a)
225
125
b)
117
117
c)
222
a) 2Senx b) Cosx c) 2Cosx 117 39
d) e)
d) Senx e) 3Senx 125 25
02. Reducir: J = Cos(45º+x)+Cos(45º-x) 10. Simplificar:
M 
Cos(30ºx) Cos(30º x)
a) Cosx b) Senx c) 2Cosx
Sen(30ºx)  Sen(30º x)
d) 3Cosx e)
2
2
a) 1 b) 2 c) 3
3
03. Halle un valor agudo de "x" que verifique:
Cos 4x.Cosx  Sen4x.Senx 
1
2
a) 6º b) 12º c) 18º
d) 21º e) 24º
04. Halle un valor agudo de "x" para que cumpla:
Sen4x.Cosx-Senx.Cos4x = 0,5
d)
3
e) 3 3
11. Sabiendo que:
Sen(2x+y)Cos(x-y)+Sen(x-y)
4
Cos(2x+y) =
5
Calcular: Ctg3x
05. Si: Tgx = 2  Tgy = 3
Calcular: Tg(x+y)
12. Obtener: Sen23º
3 3 3 4 3 3 4
a) 1 b) -1 c) 2
d) -1/2 e) -2
a)
10
4 3 3
d)
10
b) c)
10 10
4 3 3
e)
10
06. Si: Tan  1 ;
3
Tan 
2
5 13. Del gráfico mostrado, calcular: "x".
Calcular: Tan(  )
x
a) 1/7 b) -1/7 c) 1/17
d) -1/17 e) -1/19
07. Hallar el valor de: Sen7º 1 37º
a)
3 3 4
b)
3 3 4
4
c)
4 3 3
d)
3 3 4
5
e)
3 3 4
2 2

3
14. Si:
Senx Cosx
08. Calcular: Tg8º Calcular: Tg(45º-x)

4. 94
94
94
94
Trigonometría TRILCE
a) 1/3 b) 1/5 c) 1/7
d) 1/9 e) 1/11
09. Si: Senx 
3
y
5
Senz 
24
25
Calcular: E =Sen(x+z); x  z son agudos.

5. 95
95
95
95
Trigonometría TRILCE
a) Sen37º b) Cos37º c) Sec37º
d) Csc37º e) 1
a) 1,1 b) 1,2 c) 1,3 a)
2
3
8
b)
5
2
3
c)
8
d) 1,4 e) 1,5
15. Hallar: M  2Sen(45ºx) 22. Del gráfico, calcular: Tan 
a) Cosx-Senx b) Senx-Cosx
C
c) Cosx+Senx d) 2(Cosx-Senx)

e)
2
2
16. Simplificar:
L=(Sen3x+Cos3x)(S en2x+Cos2x)-Sen5x
a) Cosx b) Cos2x c) Cos3x
d) Cos4x e) Cos5x
37º
A M B
3 6 7
a) b) c)
17. Reducir:
C  Sen50º2Sen10º Cos40º
16
12
d)
17
17 19
14
e)
19
a) Tan40º b) Tan10º c) Cot10º
d) Cot45º e) Sen30º
18. Si:
23. Del gráfico, calcular: Tan
B P C
5Sen(x  37º ) 
Hallar : Cotx
2Cos(x  45º )

19. Simplificar:
C 
Sen() SenCos
37º
A D
Cos(  ) SenSen
a)  4 b)  8 c)  16
d)  9 e) 32
a) Tan
d) Cot 
20. Simplificar:
b) Tan
e) 1
c) Cot
24. Siendo:     60º
Calcular:
C  (Cos  Cos)2  (Sen  Sen)2
J 
Sen 40º Sen10º Cos30º
Cos40ºSen30º Sen10º
a) 3 b) 1 c)
3
3
a) 2  3
d) 2  3
b) 2(2 
e) 3
3 ) c) 3(2  3 )
e) 2 e)
21. Siendo:
2 3
3
25. Siendo:
x + y = 60º ; Tany 
3
4
Calcular:
x + y = 30º ; x  y = 37º
J = (Senx + Cosx) (Seny + Cosy)
Calcular :
M  (1  TanxTany )Tan(x  y)
3 3
28

6. 96
96
96
96
Trigonometría TRILCE
d)
3 3
14
e)
5 3
14

7. 97
97
97
97
Trigonometría TRILCE
2 2
26. Señale el valor máximo que toma la expresión:
C = (Sen3x + Cos3x) (Sen2x  Cos2x) + Senx
32. Simplificar:
Tan  1
P 
Ctg()
a) 1 b) 2
1
  
1
c)  1 1 
Tan
Ctg(  )
d) 41 e) 
2

 3  a) Tan  Tan b) Tan  Tan
27. Sabiendo que:
Senx - 5Cosx = 0 ; 2Seny + 3Cosy = 0
c) Ctg
e) Ctg
d) Tan
Donde: x  IIIC ; y  IIC
Calcular:
L = Sen(x + y) + Cos(x  y)
33. Calcular el valor de:
Tan13º + Tan32º + Tan13º Tan32º
3
a)
13
6
b)
13
c) 
6
2
13
a) 2  2 b) 1  2
d) 
3
13
2 e)  5 2
13
c)
1  2
2
e) 1
d)
2
2
34. Simplificar la siguiente expresión:
28. Si: Tan(a  b  c)  3
5
Calcular:
y Tanb = 3 1
Tan5a  Tan 2a

1
Ctg 5a  Ctg 2a
a) 
6
7
21
b)
7
Tan (a  b + c)
27
c)
11
Cos7a
a)
Sen3a
Cos3a
b)
Sen7a
Sen3a
c) Ctg7a
d) 
29
17 e) 
11
27
d) Ctg3a e) Sen7a
29. Si: A + B + C = 180º
El valor de:
E = TanA+ TanB+TanC  TanA TanB TanC
a) 1 b)  1 c) 2
d) 0 e)  2
30. Si x e y son ángulos comple me nt arios (x > 0º),
encontrar el valor de "m" de modo que se verifique la
identidad.
35. A partir de la figura, hallar "x".
7
x
30º
2 3
m
 1  Tan
 x 
a) 3 b) 3 c) 4
 y 
 
2

1  Tg 
 
d) 6 e) 7
 2 
Tan
x
36. Calcular: Sen75º + Cos75º
a) 1 b) 2 c)
2

8. 98
98
98
98
Trigonometría TRILCE
Tan
y Tan
x
Tan
y 6
a) b)
2 3 6  2
c)
d)
2
e)
2 2 2 3 2
6 6  2
31. Hallar TanA en un  ABC, cuyos ángulos cumplen:
SenA = nSenB SenC
CosA = nCosB CosC
d) e)
3 2
a) n b) n
2
c) n  1
37. Si: Tan(x  y) 
a b
a  b
; Tan(y  z) = 1
d) n2  1 e) n + 1
Entonces: Tan(x  z) es igual a:
a
a)
b
b
b)
a
a b
c)
a  b

9. 99
99
99
99
Trigonometría TRILCE
a) 4 6 b) 4 23 c) 4 13 b) x = 3Cos2t  4Sen2t
d) 3 17 e) 3 6 c)
d)
x = Cos2t  Sen2t
x = 2Sen2t  3Cos2t
Ha llar el valor de: e) x = 2Cos2t + 3Sen2t
x 
7
Rad , y 
5
Rad
12 12


a b
d)
a  b
a b
e)
a
10mo. piso
38. Los ángulos  ,  y  satisfacen la relación:
Tan  Tan  Tan  TanTanTan
Hallar la suma de:     
(K : Número entero)
9no. piso

a) 0 b) 2k c)
2
 k 500
d)

 k

5
b)
3143 1
c)
4
e) k

a)
3143 500 274
39. En la siguiente figura, la medida del lado x es: 25 36
d) e)
4
43. Si:
3143 3143
Sen(y  2t) 
4
;
6 5
 
 y  2t  
2 2
Seny 
x
;
5

Expresar x en términos de Sen 2t y Cos2t solamente:
x
a) x = 4Cos2t + 3Sen2t
40.
 y  x (Cosx  Seny) Cos  
 2 
Sabiendo que:
44. En la figura mostrada, se tiene un trapecio isósceles en
el que la longitud de la base menor es igual a la de su
altura y la longitud de su base mayor es igual a la de su
diagonal.
Hallar: Tan
a) 
(2  6)
2
B C
b) 
(3  3)
4
3  3 
c) 0 d)
4
3  2
e)
2
A D
41. El valor de la expresión:
(Tan80º  Tan10º) Ctg70º es : 4 1
a) 2 b) c)
a) 1 b)  1 c) 2
d)  2 e) 0
3
d)
4
3 7
1
e)
3
42. Nos situamos a una distancia de 500 metros de un
edificio de 100m de altura, que tiene 25 pisos idénticos.
Hallar el valor de la Tangente del ángulo  mostrado.
45. Hallar el valor aproximado de:
D  Cos2 4ºCos 2 86º

10. 10
0
10
0
10
0
10
0
Trigonometría TRILCE
a)
7
10
2
b)
9 2
10
c)
d)
2
10
e)
3 2
10
5 2
10

11. 10
1
10
1
10
1
10
1
Trigonometría TRILCE
 
2 2 2
46. En un triángulo ABC, se cumple: 51. En la identidad trigonométrica:
SenC  2Sen(A  B)
Determinar:
2Senx  3Cosx  kCos(x  )
Tan
TanB  3 3  2 6
Hallar el valor del ángulo BAC.
2
a)
13
2
b)
3
3
c)
13

a)
3
5
b)
12

c)
6
3 13
d) e)
2 3
3 2
d)
10
e)
3 52. En la siguiente figura:
MC

CB

AB

47. Si:
3 4 8
y MC MD
Tan   x   1 Calcular: Tgx
Hallar:
 14  2 D M C
x
Ctg
 5
 x

 
 28 
a) 3 b) 2 c) 1
1
d)
2
1
e)
3 A B
48. Determinar el mayor valor de A y el menor valor de B
tal que:
A  Senx  2Cosx  B
13
a)
4
24
d)
5
22
b)
7
17
e)
9
8
c)
3
a) 3 y 3 b)  5 y 5 53. Si: Sen  2Sen y Cos  3Cos
c)  3 y 3 d)  2 5 y 2 5
Hallar el valor de: Cos(  )
e)  2 2 y 2 2
a) 
5
7
b) 
3
7
3
c)
7
49. En un triángulo rectángulo ABC recto en C, calcular el
valor de M.
5 6
d)
7
e)
7
M 

1  Tan
A 
1  Tan
B 
1  Tan
C 
54. En la figura mostrada, calcular: Tan
   
   

3
a) 0 b) 1 c) 2
d) 3 e) 4
2
50. En la figura adjunta, la longitud del segmento AB es:
C
 1
3

12. 10
2
10
2
10
2
10
2
Trigonometría TRILCE
es
1 3
a)
2
4 5
d)
2

2
b) 2 c)
2
1
e)
6
 55. Si :     60º , el valor de la expresión:
A B
A  (Cos  Cos)2  (Sen  Sen)2
a) 2 3
d) 5 3
b) 3 3
e) 6 3
c) 4 3
3
a) 2 b)
4
1
d) 0 e)
2
c) 1

13. 10
3
10
3
10
3
10
3
Trigonometría TRILCE
56. Si:
Tan(x + 3y) = 5 y Tan(2y + x) = 4
59. Del gráfico, calcular: Tanx
C
Entonces el valor de Ctgy es :
a) 20 b) 21 c) 18
d) 14 e) 15
57. Si:
Tan(2a + b) = 8 y Tan(a + 2b) = 2
Entonces: Tan(a  b) es:
1
F
45º
x 4
A D 2 B
12
a)
17
6
d)
17
4
b)
17
e) 10
c) 6
17
a)
241
17
d)
195
21
b)
241
21
e)
195
23
c)
241
58. Del gráfico calcular el valor mínimo de: Cot
AE

ED


60. Siendo:
Cos  Cos  m
2
Si:
2 3
DC
C
D
Sen  Sen  m
¿Cuál es la variación de "m" para que se cumplan las 2
relaciones anteriores?
  5 1
;
5 1
a) 
E  2

2 
  5 1
;
5 1

b) 
A B  2

2 
  5 1
;
5 1
a)
10
b)
6
3 10
5
c)
2 10
3
c) 
 2

2 
  5 1
;
5 1
d)
2 10
e)
3 10 d) 
 2

2 
9 10   5

 5 2
; 
e)
2 2

14. 10
4
10
4
10
4
10
4
Trigonometría TRILCE
CCClllaaavvveeesss
01. b
02. c
03. b
04. b
05. b
06. d
07. a
08. c
09. d
10. c
11. a
12. e
13. c
14. b
15. a
16. a
17. e
18. c
19. a
20. c
21. c
22. b
23. e
24. e
25. b
26. a
27. d
28. c
29. d
30. b

15. 10
5
10
5
10
5
10
5
Trigonometría TRILCE
31. e
32. d
33. e
34. d
35. b
36. a
37. a
38. e
39. a
40. b
41. c
42. d
43. a
44. c
45. a
46. a
47. a
48. b
49. e
50. e
51. b
52. b
53. d
54. a
55. c
56. b
57. d
58. d
59. b
60. d