El documento describe diferentes sistemas de representación para proyectar objetos 3D en 2D. Explica los elementos básicos como el centro y plano de proyección, y clasifica los sistemas según estos elementos. También describe las proyecciones axonométricas, cónicas y perspectivas, incluyendo las transformaciones matemáticas necesarias.

1. Sistemas de representación

3. Proyección de un cuerpo sobre un plano Resultado obtenido

12. Transformaciones aplicables a modelos de coordenadas 3D Matriz 3x3 para escalas, reflexiones y rotaciones Traslación 1 Esta parte de la matriz genera transformación de la perspectiva

13. Escala E 0 0 0 0 E 0 0 0 0 E 0 0 0 0 1 ( x, y, z, 1 ) x T = (ex, ey, ez, 1) T =

14. Rotaciones (Eje x, angulo A) 1 0 0 0 0 cos A -sen A 0 0 sen A cos A 0 0 0 0 1 ( x, y, z, 1 ) x T = (x, (ycosA + z senA), (-ysenA + zcosA), 1) T =

15. Traslaciones 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 h j k 1 ( x, y, z, 1 ) x T = (x + h, y + j, z + k, 1) T =

19. Proyección Axonométrica cos A1 -sen A1 0 0 sen A1 cos A1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 G1 = cos A2 0 -sen A2 0 0 1 0 0 sen A 2 0 cos A2 0 0 0 0 1 G2 =

20. Proyección Axonométrica cos A2cosA1 -sen A1 -senA2cosA1 0 cos A2senA1 cos A1 -senA2senA1 0 senA2 0 cosA2 0 0 0 0 1 Por ello la matriz de transformación compuesta sera T = G1 x G2 o lo que es lo mismo T =

21. Proyección Axonométrica Una vez se aplica dicha transformación a las coordenadas de nuestro modelo, obtenemos unas nuevas coordenadas X´ = T x X = (x´, y´, z´, 1) La proyección Axonométrica (2D) buscada serán las coordenadas (y´, z´) de los puntos transformados.

22. Proyección Axonométrica La perspectiva Isométrica se obtendrá cuando Vx = Vy = Vz Aplicando las ecuaciones anteriores se obtiene que los ángulos que hay que girar el modelo son: A1 = 45 º A2 = 35,264 º Por lo tanto la matriz de transformación a aplicar será: 0,57735 -0,70711 -0,40825 0 0,57735 0,70711 -0,40825 0 0,57735 0 0,81650 0 0 0 0 1 T =

23. Proyección Axonométrica La perspectiva Dimétrica se obtendrá cuando dos de los vectores sean iguales Vx, Vy=Vz Aplicando las ecuaciones anteriores se obtiene que los ángulos que hay que girar el modelo son: A1 = 20,705 º A2 = 19,471 º Calcular la matriz de transformación T = a b c 0 d e f 0 g h i 0 0 0 0 1

24. Proyección Axonométrica La vistas normalizadas son por lo tanto casos particulares de puntos de vista axonométricos Alzado Vx= 1 Vy = 0 Vz = 0 A1 = 0 º A2 = 0 º T = 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 (x,y,z,1) x T = (x, y, z, 1) El alzado son las coordenadas (y,z) del modelo

25. Proyección Axonométrica La vistas normalizadas son por lo tanto casos particulares de puntos de vista axonométricos Perfil Izq Vx= 0 Vy = -1 Vz = 0 A1 = -90 º A2 = 0 º T = 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 (x,y,z,1) x T = (y, x, z, 1) El alzado son las coordenadas (x,z) del modelo

27. Perspectiva Cónica La primera transformación que hay que llevar a cabo es llevar el origen del nuevo sistema de coordenadas al punto donde se encuentra el observador. Es decir una translación (-Ox, -Oy, -Oz) T1 = 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 -Ox -Oy -Oz 1 Eso implica que el vector que define ahora el plano de proyección es (Px-Ox, Py-Oy, Pz-Oz)

28. Perspectiva Cónica La segunda es situar el sistema de coordenadas con el eje x coincidiendo con la nueva dirección de proyección del plano (punto de vista) cos A2cosA1 -sen A1 -senA2cosA1 0 cos A2senA1 cos A1 -senA2senA1 0 senA2 0 cosA2 0 0 0 0 1 T2 =

29. Perspectiva Cónica Por último se realizará una proyección cónica desde el punto p (distancia al plano del cuadro) Esta distancia funciona como la distancia focal de las cámaras fotográficas. Para un objeto dado, cuanto menor es esta distancia, mayor es el campo de visión, manteniéndose la forma proyectada del objeto. T3 = 1 0 0 -1/p 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1