Este documento presenta un resumen de las variables aleatorias unidimensionales. Introduce el concepto de variable aleatoria y explica que pueden ser discretas o continuas. Detalla las distribuciones de probabilidad para variables aleatorias discretas, incluyendo la función de probabilidad y la función de distribución. Finalmente, proporciona ejemplos para ilustrar estas nociones fundamentales de las variables aleatorias.

1. TEMA 5
Variables aleatorias unidimensionales
Probabilidades y Estadística I

2. Esquema inicial
1. Variable aleatoria. Concepto
2. Tipos de variables aleatorias
3. Distribuciones de probabilidad de variables aleatorias.
4. Medidas características de una variable aleatoria.
5. Desigualdad de Tchebychev.
Probabilidades y Estadística I

3. Esquema inicial
1. Variable aleatoria. Concepto
2. Tipos de variables aleatorias
3. Distribuciones de probabilidad de variables aleatorias.
4. Medidas características de una variable aleatoria.
5. Desigualdad de Tchebychev.
Probabilidades y Estadística I

4. 1. Variable aleatoria. Concepto (1/6)
OBJETIVOS
• Describir los resultados de un experimento aleatorio en forma
de una variable real
X ∈R
• Describir la incertidumbre asociada mediante una función real
que describa las probabilidades subyacentes (modelos de
probabilidad)
Probabilidades y Estadística I

5. 1. Variable aleatoria. Concepto (2/6)
EJEMPLO
Experimento aleatorio: lanzar dos dados
Espacio muestral
S={(1,1), (1,2), (2,1), (2,2), (3,1), (1,3), (2,2), (4,1), (1,4), (2,3),
(3,2), (1,5), (5,1), (4,2), (2,4), (3,3), (1,6), (6,1), (2,5), (5,2), (4,3),
(3,4), (2,6), (6,2), (3,5), (5,3), (4,4), (3,6), (6,3),
(4,5), (5,4), (4,6), (6,4), (5,5), (5,6), (6,5), (6,6)}
Variable aleatoria: suma de las puntuaciones (X)
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6. 1. Variable aleatoria. Concepto (3/6)
DEFINICIÓN
X : Ω  R
→
si  xi
→
(Ω, ℘(Ω), P)
RELACIÓN ENTRE NOTACIÓN CONJUNTISTA Y DE VARIABLE ALEATORIA
P[X-1(xi)] vendrá representado por P[X=xi]
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7. 1. Variable aleatoria. Concepto (4/6)
DEFINICIÓN
X : Ω  R
→
(1,1)  2
→
(1, 2)  3
→
(2,1)  3
→
P[X=3]= P[X-1(3)]=P[{(1,2),(2,1)}]
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8. 1. Variable aleatoria. Concepto (5/6)
(Ω, ℘(Ω), P) Notación conjuntista
(X, p)
(X, f) Notación de Análisis
Matemático
(X, F)
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9. 1. Variable aleatoria. Concepto (6/6)
EJEMPLO
Resultados del experimento aleatorio Valor de la variable Valor de la función de
(elementos de ℘(S)) aleatoria X probabilidad, p(x)
(1,1) 2 p(2)=1/36
(1,2), (2,1) 3 p(3)=2/36
(3,1), (1,3), (2,2) 4 p(4)=3/36
(4,1), (1,4), (2,3), (3,2) 5 p(5)=4/36
(1,5), (5,1), (4,2), (2,4), (3,3) 6 p(6)=5/36
(1,6), (6,1), (2,5), (5,2), (4,3), (3,4) 7 p(7)=6/36
(2,6), (6,2), (3,5), (5,3), (4,4) 8 p(8)=5/36
(3,6), (6,3), (4,5), (5,4) 9 p(9)=4/36
(4,6), (6,4), (5,5) 10 p(10)=3/36
(5,6), (6,5) 11 p(11)=2/36
(6,6) 12 p(12)=1/36
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10. Esquema inicial
1. Variable aleatoria. Concepto
2. Tipos de variables aleatorias
3. Distribuciones de probabilidad de variables aleatorias.
4. Medidas características de una variable aleatoria.
5. Desigualdad de Tchebychev.
Probabilidades y Estadística I

11. 2. Tipos de variables aleatorias (1/2)
Variable aleatoria discreta
Se denomina variable aleatoria discreta a aquella cuyo
rango se puede poner en biyección con un subconjunto de
los enteros, Z; es decir, se puede hablar de un valor de la
variable y su siguiente.
Variable aleatoria continua
Se denomina variable aleatoria continua a aquella cuyo
rango se puede poner en biyección con un subconjunto de
Z; es decir, no se puede hablar de un valor de la variable
y su siguiente.
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12. 2. Tipos de variables aleatorias (2/2)
Variable aleatoria discreta
x1 , x2 ,...., xk
Variable aleatoria continua
[ xi , x j ],....,[ xk , xt ]
Probabilidades y Estadística I

13. Esquema inicial
1. Variable aleatoria. Concepto
2. Tipos de variables aleatorias
3. Distribuciones de probabilidad de variables aleatorias.
4. Medidas características de una variable aleatoria.
5. Desigualdad de Tchebychev.
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14. 3. Distribuciones de variables aleatorias (1/)
Variable aleatoria discreta
a) Representación diferencial: función de probabilidad, p(x)
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15. 3. Distribuciones de variables aleatorias (2/13)
Variable aleatoria discreta
a) Representación diferencial: función de probabilidad, p(x) EJEMPLO
Resultados del experimento Valor de la variable Valor de la función de
aleatorio (elementos de ℘(S)) aleatoria X probabilidad, p(x)
(1,1) 2 p(2)=1/36
(1,2), (2,1) 3 p(3)=2/36
(3,1), (1,3), (2,2) 4 p(4)=3/36
(4,1), (1,4), (2,3), (3,2) 5 p(5)=4/36
(1,5), (5,1), (4,2), (2,4), (3,3) 6 p(6)=5/36
(1,6), (6,1), (2,5), (5,2), (4,3), (3,4) 7 p(7)=6/36
(2,6), (6,2), (3,5), (5,3), (4,4) 8 p(8)=5/36
(3,6), (6,3), (4,5), (5,4) 9 p(9)=4/36
(4,6), (6,4), (5,5) 10 p(10)=3/36
(5,6), (6,5) 11 p(11)=2/36
(6,6) 12 p(12)=1/36
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16. 3. Distribuciones de variables aleatorias (3/13)
Variable aleatoria discreta
a) Representación diferencial: función de probabilidad, p(x) EJEMPLO
p(x)
6/36
5/36 6 -7- x
x = 2,...,12
4/36 36
3/36
p(x) =
2/36 0 en el resto
1/36
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 X
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17. 3. Distribuciones de variables aleatorias (4/13)
Variable aleatoria discreta
b) Representación integral: función de distribución, F(x) (escalonada)
Probabilidades y Estadística I

18. 3. Distribuciones de variables aleatorias (5/13)
Variable aleatoria discreta
b) Representación integral: función de distribución, F(x) PROPIEDADES
CÁLCULO DE PROBABILIDADES CON LA FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN
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19. Probabilidades y Estadística I

20. 3. Distribuciones de variables aleatorias (6/13)
Variable aleatoria discreta
b) Representación integral: función de distribución, F(x) GRÁFICA
0 si x < 0
0.25 si 0 ≤ x < 1

F ( x) = 
0.75 si 1 ≤ x < 2
1
 si x ≥ 2
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21. p(x)
6/36
5/36 6 -7- x
x = 2,...,12
4/36 36
3/36
p(x) =
2/36 0 en el resto
1/36
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 X
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22. 3. Distribuciones de variables aleatorias (7/13)
Variable aleatoria discreta
b) Representación integral: función de distribución, F(x) EJEMPLO
F(x) 1
35/36
33/36
30/36
26/36
21/36
15/36
10/36
6/36
3/36
1/36
X
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
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23. 3. Distribuciones de variables aleatorias (8/13)
Variable aleatoria continua
a) Representación diferencial: función de densidad, f(x)
CÁLCULO DE PROBABILIDADES CON LA FUNCIÓN DE DENSIDAD
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24. 3. Distribuciones de variables aleatorias (9/13)
Variable aleatoria continua
a) Representación diferencial: origen de f(x)
Histograma para 20 clases Histograma para 50 clases
400 200
160
300
120
200
80
100 40
0 0
-5 -3 -1 1 3 5 7 -5 -3 -1 1 3 5 7
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25. 3. Distribuciones de variables aleatorias (10/13)
Variable aleatoria continua
a) Representación diferencial: función de densidad, f(x) EJEMPLO
X ≡ “proporción de accidentes automovilísticos mortales” Rg X ≡ [0,1]
3
2,5
42 x (1-x) 5 0< x ≤ 1 2
f(x) = 1,5
0 en otro caso 1
0,5
0
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
x
0.3
P(0.2 < X < 0.3) = ∫ 42 x (1 - x) 5 dx
0.2
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26. 3. Distribuciones de variables aleatorias (11/13)
Variable aleatoria continua
b) Representación integral: función de distribución, F(x) (continua)
PROPIEDADES
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27. 3. Distribuciones de variables aleatorias (12/13)
Variable aleatoria continua
b) Representación integral: función de distribución, F(x) PROPIEDADES
CÁLCULO DE PROBABILIDADES CON LA FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN
RELACIÓN ESPECIAL ENTRE F(x) Y f(x)
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28. 3. Distribuciones de variables aleatorias (13/13)
Variable aleatoria continua
b) Representación integral: función de distribución, F(x) EJEMPLO
1
0.2
P(X < 0.2) = ∫ 42 x (1 - x) 5 dx 0,8
−∞
0,6
=
0,4
P(X ≤ 0.2) = F(2) 0,2
0
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
x
0 x <0
F(x) = x2(21-70x+105x2-84x3+35x4-6x5) 0< x ≤ 1
1 x ≥1
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29. Esquema inicial
1. Variable aleatoria. Concepto
2. Tipos de variables aleatorias
3. Distribuciones de probabilidad de variables aleatorias
4. Medidas características de una variable aleatoria
5. Desigualdad de Tchebychev
Probabilidades y Estadística I

30. 4. Medidas características de una v.a. (1/4)
Esperanza matemática (definición)
(caso discreto) E[X ]
= ∑ xp( x)
= µ
x
(caso discreto) E[X ]
= ∫=
xf ( x)dx µ
RELACIÓN CON LA ESTRUCTURA DE LA MEDIA ARITMÉTICA
k
X = ∑ fi x 'i
i =1
PROPIEDAD E [ aX + b ] aE [ X ] + b
=
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31. 4. Medidas características de una v.a. (2/4)
Varianza (definición)
(caso discreto) Var [ X ] = ( x − µ ) 2 p ( x) =
∑ σ2
x
(caso discreto) Var [ X ] = ) 2 f ( x)dx =
∫ (x − µ σ2
PROPIEDAD Var [ aX + b ] =Var [ X ]
a2
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32. 4. Medidas características de una v.a. (3/4)
Mediana F(x) = ½
Moda Max f (x)
Percentiles F(x) = i/100
Cuartiles F(x) = i/4
GENERALIZACIONES DESDE ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
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33. 4. Medidas características de una v.a. (4/4)
Momento centrado en el origen
Caso especial
αr = E  X r 
  = E[X ] µ
α1 =
Momento centrado en la media
Caso especial
= E ( X − µ ) 
µr
r
  µ2 = E ( X − µ ) 2  = Var [ X ] = σ 2
 
µ2 α 2 − α12
=
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34. Esquema inicial
1. Variable aleatoria. Concepto
2. Tipos de variables aleatorias
3. Distribuciones de probabilidad de variables aleatorias
4. Medidas características de una variable aleatoria
5. Desigualdad de Tchebychev
Probabilidades y Estadística I

35. 5. Relaciones entre media y varianza
Desigualdad de Tchebychev
P ( X − µ > kσ ) ≤ 2 ⇔ P ( X − µ ≤ kσ ) > 1 − 2
1 1
k k
1
P ( µ − kσ ≤ X ≤ µ + kσ ) > 1 − 2
k
Normalización de una v.a
X −µ
σ
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