Este documento presenta un esquema inicial sobre distribuciones de probabilidad bidimensionales que incluye: 1) distribuciones conjuntas y marginales, 2) distribuciones condicionadas, 3) independencia, 4) momentos, 5) teorema de Bayes y 6) reproductividad bajo independencia.

1. Esquema inicial
1. Variables aleatorias bidimensionales. Distribución conjunta
2. Distribuciones marginales
3. Distribuciones condicionadas
4. Independencia
5. Momentos
6. Teorema de Bayes
7. Reproductividad de v. aleatorias
Probabilidades y Estadística I

2. 3. Distribuciones condicionadas (1/6)
EJEMPLO
La variable X representa la proporción de errores tipo A que existen en un documento,
mientras que la variable Y representa la proporción de errores tipo B. En ese documento
existen otros tipos de errores como el C, el D etc...La falta de información sobre el estudio nos
lleva a que la distribución conjunta del vector (X, Y) sigue una distribución uniforme.
El 75% de los errores son de tipo B Y=0.75
X | Y=0.75
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3. 3. Distribuciones condicionadas (2/6)
Variable aleatoria bidimensional discreta
Sea y0 un número real tal que p2 ( y0 ) > 0 . Se denomina función de probabilidad de X
condicionada al Y = y0 , y se denota por p ( x | y0 ) , a la siguiente función real de variable real.
p ( x, y0 )
p ( x | y0 ) =
p2 ( y0 )
p ( x0 , y )
p ( y | x0 ) =
p1 ( x0 )
FAMILIAS { p( x | y0 )} y ∈Rg Y
0
{ p( y | x0 )}x ∈Rg X
0
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4. 3. Distribuciones condicionadas (3/6)
Variable aleatoria bidimensional continua
Sea y0 un número real tal que f 2 ( y0 ) > 0 . Se denomina función de densidad de X
condicionada al Y = y0 , y se denota por f ( x | y0 ) , a la siguiente función real de variable real.
f ( x, y0 )
f ( x | y0 ) =
f 2 ( y0 )
f ( x0 , y )
f ( y | x0 ) =
f1 ( x0 )
FAMILIAS { f ( x | y0 )} y ∈Rg Y
0
{ f ( y | x0 )}x ∈Rg X
0
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5. 3. Distribuciones condicionadas (4/6)
EJEMPLO
 0 ≤ x, y ≤ 1 1− y
2 si   2(1 − y ) 0 ≤ y ≤ 1
f ( x, y ) =   x + y ≤1  =
f2 ( y) ∫ 2dx 0
=
 resto
0 o
 en el resto
 1
f ( x, y0 ) 2  si 0 ≤ x ≤ 1 − y0
f=
( x | y0 ) = = 1 − y0
f 2 ( y0 ) 2(1 − y0 ) 
0 resto
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6. 3. Distribuciones condicionadas (5/6)
Relaciones entre los tres tipos de distribuciones asociadas a un vector aleatorio
bidimensional
CONJUNTA = MARGINAL × CONDICIONADA
Esta clase de relación se obtiene en los tres escenarios en donde se desarrolla el contenido de
esta asignatura:
• Estadística Descriptiva: fij = fi • × f ji = f • j × f i j
• Probabilidades con Álgebra de Boole: P ( A ∩ B )= P( A) × P( B | A)= P ( B ) × P ( A | B )
• Variables aleatorias: = f= f 2 ( y ) f ( x | y )
f ( x, y ) 1 ( x ) f ( y | x )
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7. 3. Distribuciones condicionadas (6/6)
Variable aleatoria bidimensional mixta
( X ,Y ) ∈ R2
X es discreta y Y es continua
DISTRIBUCUÓN CONJUNTA
p1 ( x) × f ( y | x) f 2 ( y) × p( x | y)
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8. Esquema inicial
1. Variables aleatorias bidimensionales. Distribución conjunta
2. Distribuciones marginales
3. Distribuciones condicionadas
4. Independencia
5. Momentos
6. Teorema de Bayes
7. Reproductividad de v. aleatorias
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9. 4. V. aleatorias independientes (1/2)
DEFINICIÓN 1
f ( x | y ) = f1 ( x) ∀y ⇔ f ( y | x) = f 2 ( y ) ∀x
DEFINICIÓN 2
f ( x, y ) f1 ( x) × f 2 ( y )
= F ( x, y ) F1 ( x) × F2 ( y )
=
• Estadística Descriptiva: f= fi • × f • j
ij
• Probabilidades con Álgebra de Boole: P ( A ∩ B )= P( A) × P( B)
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10. 4. V. aleatorias independientes (2/2)
P [ a ≤ X ≤ b, c ≤ Y ≤ d ] P [ a ≤ X ≤ b ] × P [ c ≤ Y ≤ d ]
=
EJEMPLO
4 xy si 0 ≤ x, y ≤ 1
f ( x, y ) = 
0 resto
2 x si 0 ≤ x ≤ 1 2 y si 0 ≤ y ≤ 1
f1 ( x) =  f2 ( y) = 
0 resto 0 resto
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11. Esquema inicial
1. Variables aleatorias bidimensionales. Distribución conjunta
2. Distribuciones marginales
3. Distribuciones condicionadas
4. Independencia
5. Momentos
6. Teorema de Bayes
7. Reproductividad de v. aleatorias
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12. 5. Momentos (1/3)
Caso discreto E [ g ( x, y ) ] = ∑∑ g ( x, y ) p ( x, y )
x y
+∞ +∞
Caso continuo E [ g ( x, y ) ] = ∫ ∫ g ( x, y) f ( x, y) dx dy
−∞ −∞
Momentos centrados en el origen α k , l = E[ x k y l ]
Momentos centrados en la media µ k ,l =
E  ( x − α ) k ( y − α )l 
0, 1 
 1, 0

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13. 5. Momentos (2/3)
Momentos destacados
= E[ X ] µ X
α1,0 = = E[Y ] µY
α 0,1 =
= Var [ X ] σ X
µ2, 0 = 2 = Var [Y ] σ Y
µ0, 2 = 2
cov( X , Y )
µ1,1 = Cov( X , Y ) ρ=
σ Xσ y
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14. 5. Momentos (3/3)
Propiedades
a) E [ aX + bY= aE [ X ] + bE [Y ]
]
b) Var (aX + = a 2Var ( X ) + b 2Var (Y ) + 2ab cov( X , Y )
bY )
c) cov( X , Y ) E [ XY ] − E [ X ] E [Y ]
=
BAJO INDEPENDENCIA
d) E [ XY ] = E [ X ] E [Y ]
cov( X , Y ) = 0 Var (aX + = a 2Var ( X ) + b 2Var (Y )
bY )
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15. Esquema inicial
1. Variables aleatorias bidimensionales. Distribución conjunta
2. Distribuciones marginales
3. Distribuciones condicionadas
4. Independencia
5. Momentos
6. Teorema de Bayes
7. Reproductividad de v. aleatorias
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16. 6. Teorema de Bayes
p ( y x) p1 ( x)
p( x y ) =
a) Caso 1: X e Y discretas
∑ p( y x) p1 ( x)
x
f ( y x) f1 ( x)
b) Caso 2: X e Y continuas f ( x y) =
∫ f ( y x) f ( x) dx
1
f ( y x) p1 ( x)
p( x y ) =
c) Caso 3: X discreta e Y continua
∑ f ( y x) p1 ( x)
x
p ( y x) f1 ( x)
d) Caso 4: X continua e Y discreta f ( x y) =
∫ p( y x) f ( x) dx
1
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17. Esquema inicial
1. Variables aleatorias bidimensionales. Distribución conjunta
2. Distribuciones marginales
3. Distribuciones condicionadas
4. Independencia
5. Momentos
6. Teorema de Bayes
7. Reproductividad de v. aleatorias
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18. 7. Reproductividad (1/3)
BAJO INDEPENDENCIA
Caso 1: Binomial X ∼ β (n1 , p ) Y ∼ β (n2 , p )
X + Y ∼ β (n1 + n2 , p )
Caso 2: Binomial negativa X ∼ β N (n1 , p ) Y ∼ β N (n2 , p )
X + Y ∼ β N (n1 + n2 , p )
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19. 7. Reproductividad (2/3)
BAJO INDEPENDENCIA
Caso 3: Poisson X ∼ P (λ1 ) Y ∼ P (λ2 )
X + Y ∼ P (λ1 + λ2 )
Caso 4: Normal X ∼ N ( µ1 , σ 1 ) Y ∼ N ( µ2 , σ 2 )
X + Y ∼ N ( µ1 + µ2 , σ 12 + σ 2 )
2
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20. 7. Reproductividad (3/3)
BAJO INDEPENDENCIA
Caso 5: Erlang X ∼ Erlang (k1 , λ ) Y ∼ Erlang (k2 , λ )
X + Y ∼ Erlang (k1 + k2 , λ )
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