Explicación y presentación de ejemplos de la definición de la derivada. Curso Cálculo I. Dr. Juan R. Mejias Ortiz.

1. CURSO CÁLCULO I
Definición de la Derivada
Dr. Juan R. Mejías Ortiz
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2. SECANTE Y TANGENTE
Una secante es una línea que
interseca en dos o más puntos a
una curva. La pendiente de una
línea secante se encuentra
siguiendo la fórmula
∆𝒚 𝒚𝟐− 𝒚𝟏
𝒎 𝒔𝒆𝒄 = =
∆𝒙 𝒙𝟐− 𝒙𝟏

3. SECANTE Y TANGENTE
La pendiente de la recta secante pasa
por los puntos (a, f(a)) y (a+h, f(a+h)).
Observe la gráfica a la derecha. Al
aplicar la fórmula para encontrar la
pendiente de la secante obtenemos:
∆𝑦 𝑦2 − 𝑦1
𝑚 𝑠𝑒𝑐 = =
∆𝑥 𝑥2 − 𝑥1
∆𝑦 𝑓(𝑎 + ℎ) − 𝑓(𝑎)
𝑚 𝑠𝑒𝑐 = =
∆𝑥 𝑎+ℎ − 𝑎
∆𝒚 𝒇(𝒂 + 𝒉) − 𝒇(𝒂)
𝒎 𝒔𝒆𝒄 = =
∆𝒙 𝒉

4. •Encuentra la pendiente de la recta secante en 𝒇 𝒙 =
𝒙 𝟐 + 𝟑.
(𝑥 + ℎ)2 +3 − (𝑥 2 + 3) Se le suma h a
𝑚 𝑠𝑒𝑐 = toda x
ℎ
[(𝑥 2 + 2𝑥ℎ + ℎ2 ) + 3] − (𝑥 2 + 3)
𝑚 𝑠𝑒𝑐 =
ℎ
Simplificar
𝑥 2 + 2𝑥ℎ + ℎ2 + 3 − 𝑥 2 − 3 términos
𝑚 𝑠𝑒𝑐 =
ℎ semejantes
2𝑥ℎ + ℎ2 Dividir y
𝑚 𝑠𝑒𝑐 = simplificar h
ℎ
𝒎 𝒔𝒆𝒄 = 𝟐𝒙 + 𝒉

5. •SECANTE Y TANGENTE
En la medida que la distancia de los puntos de la
secante disminuyen h se va acercando a 0. Cuando
esto ocurre eventualmente la recta secante pasa a
convertirse en la recta tangente de la curva.

6. SECANTE Y TANGENTES
Definición Pendiente de la Recta Tangente
La pendiente 𝑚 𝑡𝑎𝑛 de la línea tangente a y = f(x) en x = a está
dada por:
𝒇 𝒂 + 𝒉 − 𝒇(𝒂)
𝒎 𝒕𝒂𝒏 = 𝐥𝐢𝐦
𝒉→𝟎 𝒉
siempre que el límite exista.

7. La recta tangente pasa por el punto (a, f(a)) y tiene pendiente
(mtan) determinada por:
𝒚 − 𝒇(𝒂)
𝒎 𝒕𝒂𝒏 =
𝒙− 𝒂
De manera que la ecuación de la recta tangente es:
𝒚 = 𝒎 𝒕𝒂𝒏 𝒙 − 𝒂 + 𝒇(𝒂)

8. Encuentre una ecuación de la recta tangente a 𝑦 = 3𝑥 2 − 5 en x = 2.
[𝟑 𝒙 + 𝒉) 𝟐 − 𝟓 − (𝟑𝒙 𝟐 − 𝟓) Se le suma h a
𝐥𝐢𝐦 toda x
𝒉→𝟎 𝒉
[𝟑 𝒙 𝟐 + 𝟐𝒙𝒉 + 𝒉 𝟐 ) − 𝟓 − (𝟑𝒙 𝟐 − 𝟓)
𝐥𝐢𝐦
𝒉→𝟎 𝒉
𝟑𝒙 𝟐 + 𝟔𝒙𝒉 + 𝟑𝒉 𝟐 − 𝟓 − 𝟑𝒙 𝟐 + 𝟓
𝐥𝐢𝐦
𝒉→𝟎 𝒉
𝟑𝒙 𝟐 + 𝟔𝒙𝒉 + 𝟑𝒉 𝟐 − 𝟓 − 𝟑𝒙 𝟐 + 𝟓 Simplificar
𝐥𝐢𝐦 términos
𝒉→𝟎 𝒉 semejantes

9. Encuentre una ecuación de la recta tangente a 𝑦 = 3𝑥 2 − 5 en x = 2.
Simplificar
𝟔𝒙𝒉 + 𝟑𝒉 𝟐
= 𝐥𝐢𝐦 términos
𝒉→𝟎 𝒉 semejantes
= 𝐥𝐢𝐦 𝟔𝒙 + 𝟑𝒉
𝒉→𝟎
= 𝐥𝐢𝐦 𝟔 𝟐 + 𝟑 𝟎 = 𝟏𝟐
𝒉→𝟎
Si x = 2, 𝑓 2 = 3(2)2 −5. Así que el punto correspondiente a x = 2 es (2, 7) y la recta
de la pendiente m = 12. Ya que 𝑦 = 𝑚 𝑥 − 𝑎 + 𝑓(𝑎). O sea, 𝑦 = 12 𝑥 − 2 + 7
𝒚 = 𝟏𝟐𝒙 − 𝟏𝟕

10. DERIVADA
Definición de la Derivada
La derivada de f(x) es la función es la función f’(x) dada por
𝒇 𝒙 + 𝒉 − 𝒇(𝒙)
𝒇′ 𝒙 = 𝐥𝐢𝐦
𝒉→𝟎 𝒉
siempre que el límite exista. Este proceso se conoce como
derivación.

11. •Calcule la derivada 𝒇 𝒙 = 𝟒𝒙 + 𝟏.
𝒇 𝒙 + 𝒉 − 𝒇(𝒙)
𝒇′ 𝒙 = 𝐥𝐢𝐦
𝒉→𝟎 𝒉
[𝟒 𝒙 + 𝒉 + 𝟏 − (𝟒𝒙 + 𝟏) Se le suma h a
𝒇′ 𝒙 = lim
𝒉→𝟎 𝒉 toda x
Simplificar
𝟒𝒙 + 𝟒𝒉 + 𝟏 − 𝟒𝒙 − 𝟏 términos
= semejantes
𝒉
𝟒𝒉 Dividir y
=
𝒉 simplificar h
𝒇′(𝒙) = 𝟒

12. •Calcule la derivada 𝒇 𝒙 = 𝟑𝒙 𝟐 − 𝟓𝒙 + 𝟕.
𝒇 𝒙 + 𝒉 − 𝒇(𝒙)
𝒇′ 𝒙 = 𝐥𝐢𝐦
𝒉→𝟎 𝒉
𝟐
𝟑 𝒙+ 𝒉 − 𝟓 𝒙 + 𝒉 + 𝟕 − (𝟑𝒙 𝟐 − 𝟓𝒙 + 𝟕)
𝒇′ 𝒙 = 𝐥𝐢𝐦
𝒉→𝟎 𝒉
𝟑(𝒙 𝟐 + 𝟐𝒙𝒉 + 𝒉 𝟐 ) − 𝟓 𝒙 + 𝒉 + 𝟕 − (𝟑𝒙 𝟐 − 𝟓𝒙 + 𝟕)
𝒇′ 𝒙 = 𝐥𝐢𝐦
𝒉→𝟎 𝒉
𝟑𝒙 𝟐 + 𝟔𝒙𝒉 + 𝟑𝒉 𝟐 − 𝟓𝒙 − 𝟓𝒉 + 𝟕 − 𝟑𝒙 𝟐 + 𝟓𝒙 − 𝟕
𝒇′ 𝒙 = 𝐥𝐢𝐦
𝒉→𝟎 𝒉
𝟔𝒙𝒉 + 𝟑𝒉 𝟐 − 𝟓𝒉
𝒇′ 𝒙 = 𝐥𝐢𝐦 𝒇′ 𝒙 = 𝟔𝒙 + 𝟑𝒉 − 𝟓
𝒉→𝟎 𝒉
𝒇′ 𝒙 = 𝟔𝒙 + 𝟑 𝟎 − 𝟓 𝒇′ 𝒙 = 𝟔𝒙 − 𝟓

13. 𝟐
•Calcule la derivada de 𝒇 𝒙 = .
𝒙+𝟑
𝟐 𝟐 −𝟐𝒉
− 𝒙+ 𝟑
𝒙+ 𝒉 + 𝟑 𝒉 + 𝒙 + 𝟑 (𝒙 + 𝟑)
𝒇′ 𝒙 = lim = lim
𝒉→𝟎 𝒉 𝒉→𝟎 𝒉
𝟐 𝒙 + 𝟑 − 𝟐(𝒙 + 𝒉 + 𝟑) −𝟐𝒉 𝟏
𝒙 + 𝒉 + 𝟑 (𝒙 + 𝟑) = lim ×
= lim 𝒉→𝟎 (𝒙 + 𝒉 + 𝟑)(𝒙 + 𝟑) 𝒉
𝒉→𝟎 𝒉
−𝟐
= lim
𝟐𝒙 + 𝟔 − 𝟐𝒙 − 𝟐𝒉 − 𝟔 𝒉→𝟎 (𝒙 + 𝟎 + 𝟑)(𝒙 + 𝟑)
(𝒙 + 𝒉 + 𝟑) (𝒙 + 𝟑)
= lim
𝒉→𝟎 𝒉 −𝟐
𝒇′(𝒙) =
(𝒙 + 𝟑) 𝟐

14. •Calcula la derivada de 𝒇 𝒙 = 𝒙 + 𝟓.
′
𝒙+ 𝒉+ 𝟓− 𝒙+ 𝟓
𝒇 𝒙 = lim Racionalizar el
𝒉→𝟎 𝒉 numerador
𝒙+ 𝒉+ 𝟓− 𝒙+ 𝟓 𝒙+ 𝒉+ 𝟓+ 𝒙+ 𝟓
𝒇′ 𝒙 = lim ×
𝒉→𝟎 𝒉 𝒙+ 𝒉+ 𝟓+ 𝒙+ 𝟓
(𝒙 + 𝒉 + 𝟓) − (𝒙 + 𝟓) Denominador
𝒇′ 𝒙 = lim común
𝒉→𝟎 𝒉( 𝒙 + 𝒉 + 𝟓)( 𝒙 + 𝟓)
𝒙+ 𝒉+ 𝟓− 𝒙− 𝟓
𝒇′ 𝒙 = lim
𝒉→𝟎 𝒉( 𝒙 + 𝒉 + 𝟓)( 𝒙 + 𝟓)

15. •Calcula la derivada de 𝒇 𝒙 = 𝒙 + 𝟓.
𝒙+ 𝒉+ 𝟓− 𝒙− 𝟓
𝒇′ 𝒙 = lim
𝒉→𝟎 𝒉( 𝒙 + 𝒉 + 𝟓)( 𝒙 + 𝟓)
𝒉
𝒇′ 𝒙 = lim
𝒉→𝟎 𝒉( 𝒙 + 𝒉 + 𝟓)( 𝒙 + 𝟓)
𝟏
𝒇′ 𝒙 = lim
𝒉→𝟎 ( 𝒙 + 𝒉 + 𝟓)( 𝒙 + 𝟓)
𝟏
𝒇′ 𝒙 = lim
𝒉→𝟎 ( 𝒙 + 𝟎 + 𝟓)( 𝒙 + 𝟓)
𝟏 𝟏
𝒇′ 𝒙 = lim =
𝒉→𝟎 ( 𝒙 + 𝟓)( 𝒙 + 𝟓) 𝟐 𝒙+ 𝟓