trabajo grupal

1. “AÑO DEL FORTALECIMIENTO DE LA SOBERANÍA NACIONAL: 2001 AÑOS DE
INDEPENDENCIA”
FACULTAD DE NEGOCIOS INTERNACIONALES Y TURISMO
INTEGRANTES
Segundo Alan Tello Salas
Javier Chuquipiondo Calampa
Julio Simón Fonseca Tapullima
Cristian Pilco Sanchez
Kelly Arirama Panduro
Parisa Valentina Armas Caballero
DOCENTE:
DECIDERIO FRANCISCO MORI APUELA
GRUPO:
Grupo N°4
CURSO:
Matemática II
TEMA:
Concavidad y prueba de la segunda derivada
UNIVERSIDAD NACIONAL AUTONOMA DE ALTO ALMAZONAS

2. CONCAVIDAD
Definición
La concavidad es la propiedad con la que cuenta una superficie o una figura geométrica,
de manera que su parte central está más hundida que los extremos Podemos relacionar
la concavidad con el interior de una esfera que ha sido cortada en dos, o con la imagen
de un pozo, pues este es un hundimiento y, por ende, es cóncavo.
La concavidad es lo opuesto a la convexidad, que es cuando una superficie u objeto
presenta una prominencia, como en el caso de una montaña, o cuando nos damos un
golpe y nos produce una inflamación. La concavidad es un concepto que nos ayudará a
describir el comportamiento de la primera derivada de una función. Dado que la
derivada nos da información sobre la función, la segunda derivada nos debe dar
información sobre la primera derivada. Esto nos sugiere que la segunda derivada es útil
para conocer la concavidad de una curva.
Se dice que una función tiene concavidad haciaarriba en el intervalo si
una recta tangente dibujada a la gráfica de la función en un punto de ese
intervalo queda por debajo de la función. Si la tangente dibujada queda
por arriba de la función decimos que la función presenta concavidad hacia abajo en ese
intervalo.
Determinando la concavidad:
Para determinar la concavidad de la gráfica de una función, debemos determinar los
intervalos en los que f''(x)<0 (concavidad hacia abajo) y en los que f''(x)>0 (concavidad
hacia arriba). Se sugiere el siguiente procedimiento:
1. Determinar los valores en los
que f''(x)=0 o f''(x) no está definida.
2. Determinar con esos valores unos
intervalos de prueba.
3. Determinar el signo de f''(x) en cada
uno de esos intervalo de prueba.

3. PUNTO DE INFLEXIÓN
El punto de inflexión, en otras palabras, es ese momento en el que la función cambia
de tendencia.
Cabe destacar que una función puede tener más de un punto de inflexión, o no
tenerlos del todo. Por ejemplo, una recta no tiene ningún punto de inflexión.
Asimismo, en términos matemáticos, el punto de inflexión se calcula igualando la
segunda derivada de la función a cero. Así, despejamos la raíz (o raíces) de esa
ecuación y la(s)
PRUEVA DE LA SEGUNDA DERIVADA
La segunda derivada de una función f, también nos permite determinar extremos en un
punto crítico.
Teorema. Criterio de la segunda derivada para la concavidad de f
Sea ƒ una función cuya segunda derivada existe en un intervalo abierto I.
1. Si ƒ’’(x) > 0 para todo x en I, entonces la gráfica de ƒ es cóncava hacia arriba en I.
2. Si ƒ’’(x) < 0 para todo x en I, entonces la gráfica de ƒ es cóncava hacia abajo en I.
Problema 13.3 (23, 25,26)
Determine la concavidad de f y los valores de x en los que se presentan los puntos de
inflexión
EJERCICIO: 23
𝒚 =
x + 1
x − 1
Primera derivada f′(x) =
−𝟐
(𝐱−𝟏)𝟐
Segunda derivada f′(x) =
𝟒
(𝐱−𝟏)𝟑
Igualar a cero f(x) =
𝟒
(𝐱−𝟏)𝟑=
4 = 0

4. Dominio de 𝑓(𝑥) =
x+1
x−1
𝑥 − 1 = 0
𝑥 = 1
Dominio son todos los valores de x
Notación de intervalos (−∞,1)(1,∞)
Sustituir número de intervalo (−∞,1)
Reemplazamos la variable x con 0
𝑓′′(0) =
4
((0)−1)3
𝑓′′(0) =
4
−1
= -4
Sustituir número de intervalo (1, ∞)
Reemplazamos la variable x con 4
𝑓′′(4) =
4
((4) − 1)3
𝑓′′(4) =
4
43
𝑓′′(4) =
4
27
es cóncava en (−∞,𝟏) dado que f’’(x) es negativo
es convexo en (1,∞) dado que f’’(x) es positivo
sacar puntos de inflexión
establecer la segunda derivada a 0
4
(𝑥−)3 = 0
4=0
Como 4 ≠ 0, no hay valores que puedan hacer que la segunda derivada sea 0 entonces
no hay puntos de inflexión

5. EJERCICIO: 25
y =
x2
x2+1
primera derivada f′(x) =
2x
(x2+1)2
segunda derivada f′′(x) =
2(2x2−1)
(x2+1)2
igualar a (0) f(x) =
2(3x2−1)
2x2+1)
=0
2(3x2
− 1) = 0
Resolver la ecuación en x
3𝑥2
− 1 = 0
3𝑥2
= 1
𝑥2
=
1
3
𝑥 = ±√
1
3
𝑥 = ±√
3
3
Entonces usamos parte positiva para tener la primera solución
𝒙 =
√3
3
Y parte negativa para tener la segunda solución
𝒙 = −
√3
3
Solución completa 𝒙 =
√3
3
, −
√3
3
Dominio 𝑓(𝑥) =
𝑥2
𝑥2+1
Obtener lugar no definida
𝑥2
+1=0
𝑥2
= 1

6. 𝑥 = ±√−1
𝑥 = ±𝑖
Entonces usamos parte positiva para tener la primera solución
𝑥 = 𝑖
Y parte negativa para tener la segunda solución
𝑥 = −𝑖
Solución completa 𝑥 = 𝑖, −𝑖
El dominio son todos reales (−∞,∞)
Entonces evaluamos para determinar la concavidad, reemplazamos x con -3
𝑓′′(−3) = −
2(3(−3)2
− 1)
((−3)2 + 1)3
𝑓′′(−3) = −
2(3.9 − 1)
((−3)2 + 1)3
𝑓′′(−3) = −
2(27− 1)
((−3)2 + 1)3
𝑓′′(−3) = −
2(26− 1)
((−3)2 + 1)3
𝑓′′(−3) = −
2.26
103
𝑓′′(−3) = −
2.26
100
𝑓′′(−3) = −
52
100
Factorizamos 𝑓′′
(𝑥) = −4(13)
100
= −
13
250
Ahora reemplazamos x con 0
𝑓′′(0) = −
2(3(0)2
− 1)
((0)2 + 1)3
𝑓′′(0) = −
2. −1)
(02 + 1)3
𝑓′′(0) = −
2. −1)
1

7. 𝑓′′(0) = 2
Entonces teniendo los resultados decimos
cóncavo en (−∞, −√
𝟑
𝟑
) dado que f’’(x) es negativo
convexo en (−√
𝟑
𝟑
, √
𝟑
𝟑
)dado que f’’(x) es positivo
sacamos Puntos de inflexión:
sustituimos
√3
3
en f(x)=
𝑥2
𝑥2+1
𝑓 (√
3
3
)=
(√
3
3
)
2
(√
3
3
)
2
+1
𝑓 (√
3
3
)=
1
3
(√
3
3
)
2
+1
𝑓 (√
3
3
)=
1
3
4
3
𝑓 (√
3
3
)=
1
3
∙
3
4
(√
3
3
)=
1
4
Entonces mediante la sustitución decimos que (
√𝟑
𝟑
,
𝟏
𝟒
), (−
√𝟑
𝟑
,
𝟏
𝟒
) son puntos de
inflexión

8. EJERCICIO: 26
𝐘 =
𝟒𝐗𝟐
𝐗+𝟑
Primera derivada 𝑓′(𝑥) =
4x(x+6
(x+3)
Segunda derivada 𝑓′′(𝑥) =
72
(x+3)3
Igualar a (0) =
72
(x+3)
3 = 0
72=0
72 ≠ 0, no hay solución
Obtener dominio de 𝑓(𝑥) =
4𝑥2
𝑥+3
𝑥 + 3 = 0
𝑥 = −3
Notación de intervalo (−∞,3),(−3,∞)
Sustituimos cualquier intervalo en la segunda derivada para evaluar concavidad
Reemplazamos x con -6
𝑓′′(−6) =
72
((−6)+3)3
𝑓′′(−6) =
72
((−3)3
𝑓′′(−6) =
72
−27
𝑓′′(−6) =
8
−3
𝑓′′(−6) = −
8
3
Ahora reemplazamos x con 0

9. 𝑓
′′
(0) =
72
((0)+3)3
𝑓′′(0) =
72
33
𝑓′′(0) =
72
27
𝑓′′(0) =
9(8)
27
𝑓′′(0) =
8
3
Entonces teniendo en cuenta los resultados decimos que es cóncavo en (−∞,−𝟑) dado
que f’’(X) es negativo
Es convexo en (−𝟑,∞) dado que f’’(X) es positivo
No hay puntosde inflexión dadoque no se encontraronvalores que haganque la derivadase
igual a 0
Problema 13.4 (5,13)
Realice la prueba para máximos y mínimos si es posible use la prueba de la segunda
derivada
EJERCICIO: 5
𝑦 =
1
3
x3
+ 2x2
− 5x + 1
primera derivada f’(X) = 𝑥2
+ 4 − 5
f’’(X) = 2𝑥 + 4
igualar a 0 primera derivada = 𝑥2
+ 4 − 5 = 0
factorizamos método AC:
= (𝑥 − 1)(𝑥 + 5) = 0
𝑥 − 1 = 0
𝑥 + 5 = 0
Establecemos 𝑥 − 1 igual a 0
𝑥 = 1 = 0

10. 𝑥 = 1
Establecemos 𝑥 + 5 igual a 0
𝑥 + 5 = 0
𝑥 = −5
Solución final (𝑥 − 1)(𝑥 + 5) = 0
𝑥 = 1,−5
Punto críticoa evaluar:
𝑥 = 1,−5
Evaluamos y hacemos uso de la segunda derivada en x=1
2(1) + 4
2 + 4 = 6
Reemplazamos x con 1 𝑓(1) =
1
3
(1)
3
+ 2(1)
2
− 5.1 + 1
= −
5
3
Reemplazamos x con -5 𝑓(−5) =
1
3
(−5)3
+ 2(−5)2
− 5. −5 + 1
=
103
3
Entonces es máximo en (−5,
103
3
) y mínimo en (1. −
5
3
)
Ejercicio:6
𝒚 = 𝐱𝟑
− 𝟏𝟐𝐱 = 𝟏
𝑓′(𝑥) = 3𝑥2
− 12
𝑓′′(𝑥) = 6𝑥
Para sacar valores máximos y mínimos se establece la derivada igual a 0
3𝑥2
− 12 = 0
3𝑥2
= 12
Dividimos 12.3

11. 3𝑥2
3
=
12
3
x2
=
12
3
x2
= 4
x = ±√4
x = ±2
Usamos primero valor positivo
𝑥 = 2
Luego negativo
𝑥 = −2
Solución 𝑥 = 2, −2
Entonces reemplazamos x con 2
f(2) = (2)3
− 12.2 + 1
f(2) = 8 − 24 + 1
f(2) = −16 + 1
f(2) = −15
Ahora reemplazamos en x = -2
f(−2) = (−2)3
− 12. −2 + 1
f(−2) = −8 + 24 + 1
f(−2) = −17
Se sabe que si es positivo es mínimo y si es negativo es máximo entonces los
extremos locales de 𝑓(𝑥) = 𝑥3
− 12𝑥 = 1 son:
(2,15)mínimo local
(−2,17)máximo local

12. Ejercicio 13
𝐲 = (𝐱𝟐
+ 𝟕𝐱 + 𝟏𝟎)𝟐
Primera derivada 𝑓(𝑥) = (2𝑥 + 7)(2𝑥2 + 14𝑥 + 20)
Segunda derivada 𝑓′′(𝑥) = 12𝑥2
+ 84𝑥 + 138
Igualamos a 0 la primera derivada = (2𝑥 + 7)(2𝑥2
+ 14𝑥 + 20) = 0
Resolvemos primero 2𝑥 + 7 = 0
Establecemos 2x +7 igual a 0
2𝑥 + 7 = 0
2𝑥 = −7
𝑥 = −
7
2
Luego establecemos 2𝑥2
+ 14𝑥 + 20 = 0
𝑥 = −2, −5
Solución final (2𝑥 + 7)(2𝑥2
+ 14𝑥 + 20) = 0
Puntos críticos 𝑥 = −
7
2
, −2,−5
Evaluamos segunda derivada = 12(−7
2
)
2
+ 84(−7
2
) + 138
=147 − 294 + 138
=−9
Obtener valor de 𝑥 = −
𝟕
𝟐
= ((−
7
2
)2
+ 7 (−
7
2
) + 10)2
=
81
16
Entonces es máximo local en (−
7
2
,
81
16
) y mínimos en (−2,0)(−5,0)