Matemáticas 1º ESO

1. SESO DEL IES LAS CUMBRES. GRAZALEMA MATEMÁTICAS 1º ESO
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7.- MÁXIMO COMÚN DIVISOR Y MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO DE NÚMEROS
NATURALES
Máximo común divisor
El máximo común divisor (mcd), de varios números naturales, es el mayor de sus divisores
comunes.
Ejemplo → mcd 18, 30
18 2
2
9 3 18=2· 3
3 3
1 Nº div {18}=11 ·21=2 ·3=6
20 21
x 1 2
0
3 1 1 2
1
3 3 3 6
2
3 9 9 18
Div {18}={1, 2, 3, 6, 9, 18}
30 2
15 3 30=2 · 3· 5
5 5
1 Nº div {30}=11·11 ·11=2 · 2 · 2=8
20 21
x 1 2
0
3 1 1 2
1
3 3 3 6
x 1 2 3 6
0
5 1 1 2 3 6
1
5 5 5 10 15 30
Div {30 }={1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}
1

2. 1º
Div {18}={1 , 2, 3 , 6 , 9, 18}
Div {30 }={1 , 2, 3 , 5, 6 , 10, 15, 30}
2º
Divisores comunes a 18 y 30={1, 3, 6}
3º
Máximo común divisor mcd 18, 30=6
En la práctica
18=2 · 32
30=2 · 3· 5
mcd 6=2 · 3
Factores comunes con el menor exponente
Mínimo común múltiplo
El mínimo común múltiplo (mcm) de varios números naturales es el menor de sus múltiplos
comunes distinto de cero.
Ejemplo → mcm 18, 30
1º
˙
{18}={0 , 18, 36, 54, 72, 90 , 108, 126, 144, 162, 180 , 198, }
˙
{30}={0 , 30, 60, 90 , 120, 150, 180 , 210, 240, 270, 300, 330, }
2º
Múltiplos comunes a 18 y 30={0, 90 , 180, }
3º
Mínimo común múltiplo  mcm 18, 30=90
En la práctica
18=2 · 32
30=2 · 3 ·5
mcm 90=2· 3 2 · 5
Factores comunes y no comunes , con el mayor exponente
Calculadora: Qalculate!
Functions Number Theory Greatest Common Divisor
1 st value 18 2 nd value 30 Execute
··········································································································
Functions Number Theory Least Common Multiplier
1 st value 18 2 nd value 30 Execute
2

3. Ejemplo → mcd 90, 100, 168 → mcm 90, 100, 168
90 2 100 2 168 2
45 3 50 2 84 2 90=2 ·3 2 · 5
2 2
100=2 ·5
15 3 25 5 42 2 3
168=2 · 3 ·7
5 5 5 5 21 3 mcd =2
1 1 7 7 mcm=2 3 · 32 ·52 · 7=8 · 9· 25 · 7=12.600
1
Calculadora:
Qalculate!
Functions Number Theory Greatest Common Divisor
1 st value 90 2 nd value 100 Execute
Functions Greatest Common Divisor
2 nd value 168 Execute
··········································································································
Functions Number Theory Least Common Multiplier
1 st value 90 2 nd value 100 Execute
Functions Least Common Multiplier
2 nd value 168 Execute
Relación entre máximo común divisor y mínimo común múltiplo de dos números naturales
Para cualquier par de números naturales, a y b, se cumple que:
mcd a , b· mcm a , b=a · b
∀ a , b∈ N ; mcd a , b· mcm a , b=a · b
Ejemplo
mcd 18, 30· mcm18, 30=18 ·30
6 ·90=18· 30
540=540
Ejercicio propuesto: 20, 21, 22 → Ejercicio resuelto: 20, 21, 22
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