aletas

1. aletas y disipadores
para aumentar el calor disipado por convección
q = hAc(T − T∞)
aumentar h (mayor velocidad o
densidad del flujo)
reducir T∞, (enfriando el fluido
entrante)
aumentar el área convectiva Ac
(a través de aletas)
algunas geometrías
características ideales:
buen conductor de calor (si k = ∞ → T = Tbase)
maximizar Ac, sin afectar el flujo
Transferencia de Calor – p. 1/1

2. perfil de temperatura
balance térmico en elemento de aleta
qx = qx+δx + δqc
con qx = −kA(x)dT
dx ,
qx+δx qx + δx
dqx
dx
resulta en
1
A
d
dx
A
dT
dx
−
hP
kA
(T−T∞) = 0
con condiciones de borde resulta en el perfil
T = T(x) y la disipación
q0 = −kA0
dT
dx
˛
˛
˛
˛
x=0
sección rectangular:
A = zt, P = 2(z + t)
Transferencia de Calor – p. 2/1

3. aleta recta
con A = cte y definiendo θ ≡ T − T∞
d2θ
dx2
−
hP
kA
θ = 0 −→ θ(x) ∼ e±mx
m ≡
hP
kA
condiciones de borde:
1. base: θ(0) = θb = Tb − T∞
2. extremo x = L:
cuatro casos:
A) disipación convectiva
B) extremo aislado
C) mantenido a temperatura cte.
D) aleta infinita (L → ∞)
sección rectangular:
A = zt, P = 2(z + t)
Transferencia de Calor – p. 3/1

4. A: disipación convectiva en x = L
en la base θ(0) = θb y en el ex-
tremo
−kA
dθ
dx x=L
= hAθ(L)
tomando θ(x) = C1emx + C2e−mx
con m = (hP/kA)1/2 resulta en
T(x)
x L0
Tb
2 parámetros adimensionados:
ξ1 = (hL/k)1/2 1
ξ2 = (PL/A)1/2 1
θ(x) = θb
cosh(m(L − x)) + (h/mk) sinh(m(L − x))
cosh(mL) + (h/mk) sinh(mL)
Transferencia de Calor – p. 4/1

5. A: calor disipado
el calor disipado por la aleta es el que llega de la base
q = −kA
dθ
dx x=0
= M
sinh mL + (h/mk) cosh mL
cosh mL + (h/mL) sinh mL
parámetro: M ≡ θb
√
hPkA
Obs.
un balance de calor también da el calor disipado
q = hP
L
0
θ(x) dx + hAθ(x = L)
Transferencia de Calor – p. 5/1

6. B: extremo aislado
en la base θ(0) = θb y en
el extremo
dθ
dx x=L
= 0
por tanto θ(x) = C1emx + C2e−mx
resulta en
θ(x) = θb
cosh(m(L − x))
cosh(mL)
T(x)
x L0
Tb
aproximación válida a caso A:
h/mk = (hA/kP)1/2
1
en la práctica t z
A/P t/2 → ht/k 1
solución simple: se puede usar como aproximación al caso (A)
con error despreciable si ht/k 1.
Transferencia de Calor – p. 6/1

7. B: calor disipado
el calor disipado por la aleta es el que llega de la base
q = −kA
dθ
dx x=0
= M tanh(mL)
parámetro: M ≡ θb
√
hPkA
(esta expresión aproxima la de QA con error despreciable si ht/k 1).
Obs.
un balance de calor también da el calor disipado
q = hP
L
0
θ(x) dx
Transferencia de Calor – p. 7/1

8. longitud corregida
al usar expresiones de (B) extremo aislado
para el caso (A) extremo convectivo,
se puede tener en cuenta el efecto de la convección en el
extremo sustitutyendo
L → Lc = L + t/2
usando esta corrección,
θA(x) θb
cosh(m(Lc − x))
cosh(mLc)
, qA M tanh(mLc)
con error despreciable si
ht/k 0.06
Transferencia de Calor – p. 8/1

9. C: extremo a T fija
en la base θ(0) = θb y en el extremo
θ(x = L) = θL = TL − T∞
por tanto θ(x) = C1emx + C2e−mx resulta en
θ(x) =
θL sinh(mx) + θB sinh(m(L − x))
sinh(mL)
calor disipado:
q = −kA
dθ
dx x=0
= M
cosh(mL) − θL/θb
sinh(mL)
balance
q = hP
L
0
θ(x) dx + hAθL
Transferencia de Calor – p. 9/1

10. D: aleta muy larga
en la base θ(0) = θb y en el extremo
θ(x → ∞) = 0 (TL = T∞)
por tanto
θ(x) = θbe−mx
calor disipado:
q = −kA
dθ
dx x=0
= hP
L
0
θ(x) dx = M = θb
√
hPkA
es un caso límite de (C) con L → ∞ y θL = 0.
tanh(mL) → 1 si mL → ∞
Transferencia de Calor – p. 10/1

11. aletas rectas (en suma)
Transferencia de Calor – p. 11/1

12. efectividad de una aleta
f =
calor disipado por la aleta
calor disipado sin aleta
=
q
hAθb
1
solo si f 2 puede justifiar agregar aletas...
por ejemplo, para el caso D
f =
M
hAθb
=
kP
hA
mejora si
k
hL
PL
A
2L
t
(aleta fina)
Transferencia de Calor – p. 12/1

13. resistencia térmica de aleta
Rf ≡
θb
q
(debe ser lo más pequeña posible)
para el caso D, por ejemplo
Rf =
1
√
hPkA
la resistencia de la base es Rb = θb/qb de modo que
f =
Rb
Rf
el calor disipado por la base (sin aleta) es qb = hAθb
Transferencia de Calor – p. 13/1

14. eficiencia de aleta
el máximo calor se disiparía si θ = θb en toda la aleta...
ηf ≡
calor disipado
calor disipado si θ = θb
=
q
qmax
1
calor máximo
qmax = hPLθb + hAθb
por ejemplo, caso (B), extremo aislado: (M =
√
hPkAθb)
ηf =
M tanh(mL)
hPLθb
=
tanh(mL)
mL
que es approximadamente 1 si mL = L (hP /kA)1/2 1...
→ la eficiencia mejora para buenos conductores hL/k 1
Transferencia de Calor – p. 14/1

15. otras geometrías
el parámetro
mLc =
r
hP
kA
Lc ≈
r
2h
kt
Lc
introduciendo Am = tLc
mLc
s
2h
kAm
L
3/2
c
la eficiencia ηf esta graficada
para diversas geometrías....
el calor disipado se obtiene de
q = ηf h(PL + A)θb
Transferencia de Calor – p. 15/1

16. eficiencia conjunta
para caracterizar un disipador (array de aletas) se define
η0 =
calor total disipado
calor total disipado si θ = θb
=
qt
qt,b
1
calor total disipado a θ = θb
qt,b = hAtθb
con At = area total (incluyendo Ab, el área
expuesta sin aletas)
At = Ab + Af qt = hAbθb + ηf hAf θb
entonces (Af = área total de aletas)
η0 = 1 −
Af
At
(1 − ηf )
Transferencia de Calor – p. 16/1

17. ejemplo: transistor encamisado
transistor con disipador de alumino
(k = 200 w/mK) opera a T1 = 80oC.
en ambiente a T∞ = 20oC.
* 12 aletas, sección rectangular
* dimensiones
r1 = 2 mm, r2 = 3 mm, r3 = 13 mm
L = r3 − r2 = 10 mm
H = 6 mm t = 0, 7 mm
* resistencia de contacto
(transistor-encamisado de Aluminio)
˜R = 10−3 m2K/w por unidad de área
* disipación convectiva (h = 20 w/m2K)
a) ¿potencia disipada?
b) ¿eficiencia conjunta del disipador?
c) ¿eficiencia de las aletas?
Transferencia de Calor – p. 17/1