Teoría de falla, fatiga y solicitaciones combinadas

Teoría de Falla, Fatiga y
Solicitaciones Combinadas
Complemento Teórico de la Guía de Trabajos Prácticos
El presente trabajo es un sumario de conceptos teóricos de la materia Estabilidad IIb (64.12)
correspondiente a las carreras de Ingeniería Mecánica e Ingeniería Naval y Mecánica.
Ing. Gabriel Pujol
Año de edición 2016

Teoría de Falla, Fatiga y Solicitaciones Combinadas (Complemento Teórico)
Estabilidad IIB – 64.12 hoja 1 Curso: Ing. Gabriel Pujol
Tabla de contenido
TEORÍA DE FALLA 3
CONCEPTOS GENERALES 3
MATERIALES FRÁGILES: 3
MATERIALES DÚCTILES: 3
QUE DEBEMOS ENTENDER POR ROTURA 3
PRINCIPALES TEORÍAS DE ROTURA 4
TEORÍA DE COMPARACIÓN – TEORÍA DE FALLA 4
CRITERIO DE FALLA DE LA MÁXIMA TENSIÓN PRINCIPAL (O TEORÍA DE RANKINE) 4
CRITERIO DE FALLA DE LA MÁXIMA TENSIÓN DE CORTE (O TEORÍA DE GUEST O DE TRESCA) 6
TEORÍA DE LA FRICCIÓN INTERNA 8
CRITERIO DE FALLA DE LA MÁXIMA ENERGÍA DE DISTORSIÓN (O TEORÍA DE HUBERT – VON MISES – HENCHY) 10
TEORÍA DE LA ENERGÍA TOTAL DE DEFORMACIÓN (O TEORÍA DE BELTRAMI) 12
TEORÍA DE LA MÁXIMA DEFORMACIÓN ESPECÍFICA PRINCIPAL (O TEORÍA DE SAINT VENANT) 13
TABLA COMPARATIVA 14
SOLICITACIONES POR FATIGA 35
CONCEPTOS GENERALES 35
TIPOS DE TENSIÓN EN LA SOLICITACIÓN POR FATIGA. DEFINICIONES. 35
RESISTENCIA A LA FATIGA. CURVA DE WÖHLER 36
DIAGRAMA DE SMITH 37
DIMENSIONADO DE PIEZAS SUJETAS A SOLICITACIONES CÍCLICAS 40
FATIGA POR SOLICITACIÓN AXIL 40
FATIGA POR FLEXIÓN 41
BIBLIOGRAFÍA RECOMENDADA 46

Curso: Ing. Gabriel Pujol hoja 2 Estabilidad IIB – 64.12

Teoría de Falla
Conceptos Generales
Una de las primeras cuestiones que desvelaron desde un principio a técnicos e ingenieros fue conocer
cuales son las causas que condicionan el comienzo de la fluencia y la rotura de un material.
Los materiales pueden estar sujetos a cargas complejas de presión, tracción, compresión, torsión, flexión,
o una combinación de ellas, de forma tal que para un cierto punto del material se producen tensiones en
más de una dirección. Para una determinada relación de valores, tales tensiones combinadas pueden
causar la fluencia o fractura del material, aún cuando individualmente no alcancen los guarismos de falla.
Las teorías de rotura tratan de elaborar hipótesis tendientes a establecer las causas primordiales de la
producción de los mecanismos que llevan al colapso de los materiales. Estas teorías, con que se pretende
justificar la rotura de los cuerpos, se basa en distintos conceptos:
 Basadas en tensiones
 Basadas en deformaciones específicas
 Basadas en la energía de deformación
 Basadas en la estructura de la materia
 Basadas en teorías empíricas
No puede asegurarse que exista una única teoría que justifique como y porqué se rompen los materiales,
no obstante, y siempre refiriéndose a materiales isótopos, puede decirse que es posible reunirlos en dos
grandes grupos: los materiales frágiles y los dúctiles.
Materiales Frágiles:
Se considera frágil a un material que en el ensayo de tracción haya tenido menos de un 5% de
deformación antes de la falla. Se considera que la falla se presenta por fractura (separación física de sus
partes)
Materiales Dúctiles:
Se considera dúctil a un material que en el ensayo de tracción haya tenido más de un 5% de deformación
antes de la falla. Se considera que la falla se presenta por deformación (el material empieza a fluir)
Que debemos entender por rotura
En los países de habla anglosajona se utiliza el término de failure donde failure significa muchos
conceptos como ser:
 cambio inadmisible de la forma con respecto al destino supuesto
 falla
 valor límite de una tensión, de una deformación, de una expresión de energía interna o una
combinación de cualquiera de ellas
Si se considera para un material dado la curva tensión-deformación, algunos autores suponen que se
alcanza la rotura cuando se llega:

 al límite de proporcionalidad
 al límite de elasticidad
 al límite de fluencia
 al límite de rotura
Se puede decir que un material ha alcanzado la rotura cuando llega a un límite de solicitación tal que las
tensiones adquieren un valor para el cual el material ya no es utilizable para el fin para el cual fue
destinado. En el caso de un material frágil la rotura coincide, prácticamente con la rotura física, mientras
que en el caso de los materiales dúctiles la rotura está en correspondencia con su límite de fluencia,
donde las deformaciones son excesivas para la función que debe cumplir el material.
Algunos autores como V. Feodossiev, denomina a las teorías de rotura como “Teorías de estado límite”,
entendiendo por estado límite aquel estado de tensión para el cual existe un cambio o variación
cualitativos de características de un material, o sea pasaje de un estado mecánico a otro.
Principales teorías de rotura
Para un estado simple de tensión el problema del establecimiento de la seguridad a la rotura es sencillo,
basta determinar la tensión que produce la rotura. El problema se modifica si consideramos un elemento
estructural sujeto a un estado múltiple de tensiones.
Lo que se hace en el planteo de las distintas teorías de rotura es establecer como término de
comparación un estado simple de solicitación.
Lo más sencillo es tomar como término de comparación el ensayo de tracción simple por la sencillez de
su realización que permita establecer una tensión  que Feodossiev define como tensión de comparación
o equivalente y que corresponde a aquella tensión que origina en una probeta el mismo peligro de rotura
que para el caso considerado.
Desarrollaremos a continuación tres teorías de rotura, una que se ajusta mejor para materiales frágiles
(Teoría del máximo esfuerzo normal), una que se aplica a materiales dúctiles (Teoría del esfuerzo
cortante máximo) y una tercera de aplicación más general como es la Teoría de Mohr, utilizaremos la
representación gráfica debida a Westergaard para luego compararlas superponiendo estos diagramas.
Teoría de Comparación – Teoría de Falla
Existen gran cantidad de criterios de falla, algunos de los cuales son aptos para predecir la falla por
fractura en un caso, y en otros por fluencia.
Todos los criterios de falla que consideraremos a continuación están basados en valores de tensiones, de
modo que su aplicación involucra el cálculo de valores numérico de tensiones que caracterizan las
tensiones combinadas, y luego la comparación de este valor con la resistencia de fluencia o de fractura
del material.
Para estos ejemplos cuando se asume que el material es un metal dúctil, el comportamiento del mismo se
aproxima al lineal elástico, perfectamente plástico. El ensayo de tracción uniaxial proporciona el módulo
de elasticidad E, y la tensión de fluencia f.
Criterio de Falla de la Máxima Tensión Principal (o Teoría de Rankine)
Esta teoría fue enunciada por Rankine y establece que:

“La deformación anaelástica en un punto cualquiera de un sólido solicitado por un estado cualquiera de
tensión comienza sólo cuando la máxima tensión principal en el punto considerado alcanza un valor igual
al de la tensión en el límite de fluencia (en tracción o compresión simple) con total independencia de las
tensiones normales o tangenciales que puedan existir en otros planos”.
O sea que la falla ocurre cuando una de las tres tensiones principales alcanza o
supera la tensión de resistencia o rotura (en este caso la tensión de fluencia).
1. Rankine aplicada a materiales frágiles:
Si consideramos un estado triaxial de tensiones, el criterio de rotura de Rankine establece que:
fl
fl
fl






32313
23212
13121
serdebeypara
serdebeypara
serdebeypara
Si el estado elástico es plano, siendo 2 = 0, la condición de rotura de Rankine es la siguiente:
fl
fl




313
131
serdebepara
serdebepara
definiendo la rotura del material la mayor de las dos tensiones principales. La representación de
Westergaard para este caso será, adoptando un par de ejes coordenados donde en abscisas y ordenadas
llevamos respectivamente los valores de 1 y 3.
La falla se presentará cuando el punto determinado por los esfuerzos 1 y 3 se encuentren fuera del
área sombreada de la figura.
2. Rankine aplicada a materiales dúctiles:
Si consideramos un estado doble de tensión, particularmente el de resbalamiento simple, tendremos que:
21  
y de acuerdo con el enunciado de la teoría, la rotura ocurriría cuando:
fl  21
y como consecuencia sería:
compresióndefracturaSdonde
traccióndefracturaSdonde
3
1
uc
ut





flfl  
cuando la experiencia demuestra que:
flfl  
Por lo que esta teoría, en lo que respecta a materiales frágiles, conduce a resultados razonablemente
satisfactorios, mientras que para materiales dúctiles no es aplicable.
Quizás éste sea el más simple de los criterios, que, como ha tenido gran suceso en la predicción de la
fractura de materiales frágiles debería ser considerado como un criterio de fractura distinguiéndolo del
criterio de fluencia. Este criterio puede ser especificado como:
   fracturaen,,max 321  R
Criterio de Falla de la Máxima Tensión de Corte (o teoría de Guest o
de Tresca)
Esta teoría fue enunciada por Tresca y establece que:
“La rotura comienza cuando en un punto cualquiera de un material sujeto a un estado múltiple de tensión,
la máxima tensión de corte alcanza el valor de la máxima tensión de corte que ocurre en el ensayo de
tracción simple”.
O sea que una pieza sujeta a cualquier combinación de cargas sufrirá falla
cuando la tensión cortante máxima exceda un valor crítico.
El valor crítico se puede obtener a partir de los ensayos de tracción y compresión convencionales.
 fluenciaenmax F 
Si recordemos que la máxima tensión tangencial es la mayor de las tres tensiones principales de corte, la
cual actúa en planos orientados a 45° con respecto a los ejes de tensiones principales, podemos señalar:
2
;
2
;
2
21
3
31
2
32
1












Para un elemento bajo la acción de un estado triaxial donde, por ejemplo resulte 1 > 2 > 3 ,
podremos trazar el circulo de Mohr:
Donde el esfuerzo máximo absoluto resulta ser:

2
31
max




Mientras que el círculo de Mohr para el ensayo de tracción en el momento de la fluencia es:
y de acuerdo con el enunciado de la teoría, la rotura ocurriría cuando:
 321 ,,max  fl
y como en general se dispone de la resistencia de fluencia fl de ensayos de tracción, podemos
considerar:
 
   fluenciaen,,max
bieno,,max
22
133221
321






F
FF
F
Si el estado elástico es plano, siendo 2 = 0, la condición de rotura de Tresca es la siguiente:
fl
fl
fl






3
1
31
La expresión que define el comienzo de la rotura depende del signo de 1 y 3 . Si ambas son de signo
contrario, será determinante la primera, en cambio si el signo es igual para ambas, lo será la ecuación que
corresponda a la mayor tensión principal.
La representación de Westergaard para este caso será, adoptando un par de ejes coordenados donde en
abscisas y ordenadas llevamos respectivamente los valores de 1 y 3
traccióndefluenciaSdonde fly 
traccióndefluenciaSdonde fly 

área sombreada de la figura. Para materiales frágiles, donde el límite de rotura es cercano al de fluencia
esta teoría conduce a una cierta aproximación con la realidad.
Teoría de la fricción interna
Esta teoría fue enunciada por Coulomb-Mohr y supone que el mecanismo de rotura de los cuerpos
depende no sólo de las tensiones tangenciales sino que también influyen las tensiones normales.
Esta teoría es más general que las dos anteriores ya que es aplicable tanto a materiales frágiles como a
los dúctiles.
Consideremos un cuerpo sujeto a tensiones, un punto en estado límite (tanto de fluencia como de rotura),
si mantenemos las tensiones  constantes es evidente que deberemos aumentar las  para sobrepasar
el estado límite.
Si suponemos un punto
sujeto a un determinado
estado de tensión y
hacemos crecer las tres
tensiones principales 1,
2 y 3 ; y alcanzado el
estado de rotura dibujamos
las circunferencia de Mohr
y repetimos este concepto
para otros estados de
tensión obtendremos toda
una familia de
circunferencias límite que
corresponderán todos a
estados de rotura.
La curva envolvente de la
familia de circunferencias
que corresponden a la fluencia o rotura del material se designa como envolvente de Mohr o curva de
resistencia intrínseca del material.
Así, la teoría de ruptura de Mohr puede resumirse como sigue:
“Conocida la curva de resistencia intrínseca de un material un estado de tensión será determinante de la
fluencia o rotura si la correspondiente circunferencia de Mohr corta o es tangente a la misma”.
La dificultad que presenta esta teoría reside en el hecho que es necesario
conocer la curva de resistencia intrínseca y su conocimiento es sólo posible por
vía experimental.
No obstante existen tres ensayos de fácil realización: los de compresión y tracción pura y el de
resbalamiento simple.
En esta teoría, se puede proponer además, una primera aproximación que permite reemplazar la
envolvente por una recta tangente a las circunferencias definidas por los estados de compresión y
tracción pura.

La representación de Westergaard para este caso será, adoptando un par de ejes coordenados donde en
abscisas y ordenadas llevamos respectivamente los valores de 1 y 3 .
La ecuación de la línea de falla cuando 1 > 0 > 3 resulta ser:
1
S
-
S yc
3
yt
1


En otros casos la falla se dará cuando:
31yc3
31yt1
0cuando,S
0cuando,S




área sombreada de la figura.
Puede observarse que la teoría de Mohr tiene un área mayor en la cual no se presenta la falla que la
teoría de Tresca, por eso es que la Teoría del esfuerzo cortante máximo es la teoría escogida para hacer
cálculos conservadores de falla de un material dúctil y tener mayor certeza de que no se producirá la
misma.
compresióndefluenciaSdonde
traccióndefluenciaSdonde
flyc
flyt




compresióndefluenciaSdonde
traccióndefluenciaSdonde
flyc
flyt





Puede observarse que la teoría de Mohr tiene un área menor en la cual no se presenta la falla que la
teoría de Rankine, por eso y por es que la Teoría de la fricción interna es la teoría escogida para hacer
cálculos conservadores de falla de un material frágil y tener mayor certeza de que no se producirá la
misma.
Criterio de Falla de la Máxima Energía de Distorsión (o teoría de
Hubert – Von Mises – Henchy)
Esta teoría, que se ajusta bien al comportamiento de los materiales dúctiles, fue enunciada por Von Mises
al observar que los materiales bajo esfuerzos hidrostáticos soportan esfuerzos mucho mayores que sus
esfuerzos de fluencia bajo otros estados de carga y establece que:
“La falla se producirá cuando la energía de distorsión por unidad de volumen debida a los esfuerzos
máximos absolutos en el punto crítico sea igual o mayor a la energía de distorsión por unidad de volumen
de una probeta en el ensayo de tracción en el momento de producirse la fluencia”
Siendo los esfuerzos hidrostáticos:
 
3
321 


h
La energía de distorsión es la diferencia entre la energía total de deformación por unidad de volumen y la
energía de deformación por unidad de volumen debida a los esfuerzos hidrostáticos.

Como el material se encuentra en el rango elástico, la energía total de deformación por unidad de
volumen para el elemento es:
332211
2
1
2
1
2
1
 U
y siendo las deformaciones:



































3
2
1
3
2
1
1
1
1
1









E
la energía total de deformación será:
  313221
2
3
2
2
2
1 2
2
1
 
E
U
La energía de deformación debida a los esfuerzos hidrostáticos es:
  2
2
213
hh
E
U 


La energía de distorsión será entonces:
  313221
2
3
2
2
2
1
3
1





E
UUU hd
En el ensayo de tracción al producirse la fluencia, 1 = Sy, 2 = 3 = 0 y entonces la energía de
distorsión en la probeta es:
2
3
1
yd S
E
U


Igualando las ecuaciones como lo dice el enunciado de la teoría, se define despejando Sy, el esfuerzo de
Von Misses como:
 313221
2
3
2
2
2
1  yS

En el caso bidimensional, con 2 = 0, el esfuerzo de Von Misses es:
31
2
2
2
1  yS
Para la representación gráfica de Westergaard en el plano 1 - 3 será:
Puede observarse que la teoría de Von Misses tiene un mayor área en la cual no se presentará falla que
la teoría de Tresca, por eso la teoría del esfuerzo cortante máximo es la teoría escogida para hacer
cálculos conservadores de falla de un material y tener mayor certeza de que no se producirá falla.
Teoría de la Energía Total de Deformación (o teoría de Beltrami)
El enunciado de esta teoría, que se ajusta bien al comportamiento de los materiales dúctiles, establece
que:
“En un punto cualquiera de un sólido sujeto a un estado dado de tensión el comienzo de la plastificación
ocurre cuando la energía total de deformación por unidad de volumen correspondiente al estado de
tensión dado, es igual a la energía total de deformación unitaria que corresponde a la solicitación por
tracción simple para el límite de fluencia”.
Para el estado triple es:
  133221
2
3
2
2
2
1 2
2
1
 


E
u
y para el estado simple (solicitación por tracción) para el límite de fluencia:
2
2
1
F
E
u 

 ;igualando y operando resulta:
 133221
2
3
2
2
2
1 2  F
En el estado plano de tensiones (2 = 0) resulta:
   2
31
2
3
2
1 2
2
1
F
E
 


Teoría de la Máxima Deformación Específica Principal (o teoría de
Saint Venant)
El enunciado de esta teoría, que se ajusta bien al comportamiento de los materiales dúctiles, establece
que:
“La rotura de un cuerpo sujeto a un determinado estado de tensión ocurre cuando la deformación
específica en la dirección de la máxima tensión principal alcanza el valor de la máxima deformación
específica correspondiente a la rotura por tracción simple”.
Esta hipótesis debería usarse para materiales frágiles porque tiene en cuenta las deformaciones
normales. Esta hipótesis se aparta de los resultados experimentales.
La deformación específica para el estado triple es:
  
  
  











1233
3122
3211
1
1
1



E
E
E
y para el ensayo de tracción simple: F max y
E
F
 max por lo que resulta:
 
 
 
















F
F
F






123
312
321
max3
max2
max1
Como se ve, esta hipótesis está formulada para materiales que siguen la ley de Hooke, por lo tanto max
debe ser f. En el estado plano de tensiones (2 = 0) resulta:

 
 




F
F


123
321
Tabla Comparativa

Problemas de aplicación
Ejercicio I: Para el sistema que se muestra en la figura se pide:
a) Trazar los diagramas de características
b) Dimensionar la sección circular admitiendo un coeficiente de seguridad  = 2 con respecto a la
iniciación de la fluencia aplicando la teoría de la máxima energía de distorsión.
c) Comparar el diámetro obtenido con los que resultan de aplicar la teoría de la máxima tensión de corte,
la máxima tensión principal y la máxima deformación específica.
Datos: a = 28,2 cm; b = 14,1 cm; P = 9,1 t;  = 0,3;  = 2; adm = 4200 Kg/cm2;  = 30º; E = 2,1x106
Kg/cm2
Resolución:
a) Trazar los diagramas de características:
a.1)Diagrama de cargas:

a.2)Diagramas de Esfuerzos de Corte
a.3)Diagramas de Esfuerzos de Normales

a.4)Diagramas de Momentos Torsores
a.5)Diagramas de Momentos Flexores

b) Dimensionar la sección más comprometida:
b.1)Análisis de las solicitaciones:
Como surge de los diagramas de características la sección más comprometida resulta ser la
correspondiente al empotramiento. Dicha sección estará sometida a una solicitación combinada de
torsión, flexión y corte.

En el empotramiento actúan dos momentos flexores, uno horizontal y otro vertical que serán
componentes del momento flexor resultante MR. Así tendremos:
  mtonmtonMMM yzR  128,544,4566,2 2222
También actúan dos esfuerzos de corte, que compuestos nos dan:
  tontonQQQ yz 1,955,488,7 2222

y al mismo tiempo un momento torsor Mtx que vale:
mtonMtx  11,1
En consecuencia, nuestra sección estará sometida al siguiente estado tensional:
F
Q
d
Q
d
M
d
M
Q
tx
t
R
R 









3
4
3
16
;
16
;
32
233






Si OA es la línea de fuerzas (LF), o
sea la traza entre el plano de
solicitación y el plano de la
sección, y OB es el eje neutro (n),
las direcciones de las tensiones de
corte en la periferia tienen la
dirección tangente al borde de la
sección y su máximo valor se
encuentra en un punto tal como en
B.
A su vez las tensiones normales
producidas por la flexión, tienen su
valor máximo en correspondencia
en puntos tales como el A, es decir
los más alejados del eje neutro,
mientras que en puntos como el B
son nulas.
Por otra parte, los puntos de la
periferia, se encuentran solicitados
por una tensión tangencial por
torsión, igual para todos los puntos
y coincidente con el valor máximo.
Por ello, a los efectos del dimensionamiento, se deberán considerar aquellas fibras de la sección que
se encuentran más solicitadas, por lo que dimensionaremos la sección en base al estado tensional del
punto A y verificaremos luego el diámetro obtenido para el punto B.
b.2)Dimensionamiento de la sección circular admitiendo un coeficiente de seguridad  = 2 con
respecto a la iniciación de la fluencia aplicando la Teoría de la Máxima Energía de Distorsión:
Teoría de la Máxima Energía de Distorsión o Teoría de Von Mises-Hencky dice: “En un cuepo sujeto a
un estado tensional cualquiera, el inicio de la fluencia en un punto ocurre cuando la energía de
distorsión por unidad de volumen correspondiente a dicho estado de tensión, alcanza el valor de la
energía de distorsión de la solicitación por tracción simple cuando se alcanza el límite de fluencia”.
La energía de distorsión por unidad de volumen viene dada por:

21
2
2
2
1  yS
Considerando que en este caso se trata de un estado plano, donde 3 = 0, y se admitiendo un
coeficiente de seguridad  = 2 con respecto a la iniciación de la fluencia, resulta:
22
2
2
2,1
21
2
2
2
1
3
22
xyx
F
xy
xx
F

























para el punto A resulta:
0;
3
16
;
32
33






 Q
tx
txy
R
Rx
d
M
d
M





entonces será:
cmMMdMM
d
txR
F
txR
F
63,13
4
332
4
332
3
2222
3










Verificaremos ahora el diámetro obtenido para el punto B. En este caso será:
 dQM
dd
Q
d
M
tx
tx
Qtxyx 







 3
3
16
3
1616
;0 323


entonces será:
  2
2
3
72,5303
3
16
32100
cm
kg
dQM
d
tx
F











, verifica
c) Comparar el diámetro obtenido con:
c.1)La Teoría de la Máxima Tensión de Corte:
Teoría de la Máxima Tensión de Corte o Teoría de Guest o Tresca dice: “La rotura comienza cuando
en un punto cualquiera de un sólido sujeto a un estado múltiple de tensiones, la máxima tensión de
corte alcanza el valor de la máxima tensión de corte que ocurre en el ensayo de tracción simple”.
En este caso, admitiendo un coeficiente de seguridad  = 2 con respecto a la iniciación de la fluencia,
resulta:
 
22
2
2
2,1
21
2
22
2
1
2
1
xyx
F
xy
xx
F
Admisible


























0;
3
16
;
32
33






 Q
tx
txy
R
Rx
d
M
d
M





entonces será:

cmMMdMM
d
txR
F
txR
F
65,13
3232
3
2222
3










 dQM
dd
Q
d
M
tx
tx
Qtxyx 







 3
3
16
3
1616
;0 323


entonces será:
  2
2
3
38,6103
3
16
22100
cm
kg
dQM
d
tx
F











, verifica
c.2)La Teoría de la Máxima Tensión Principal:
Teoría de la Máxima Tensión Principal o Teoría de Rankine dice: “La deformación anaelástica en un
punto cualquiera de un sólido solicitado por un estado cualquiera de tensión comienza sólo cuando la
máxima tensión principal en el punto considerado alcanza un valor igual al de la tensión en el límite de
fluencia (en tracción o compresión) con total independencia de las tensiones normales o tangenciales
que puedan existir en otros planos”.
resulta:
2
2
2
2
1
1
22
22
xy
xxF
xy
xx
F
































0;
3
16
;
32
33






 Q
tx
txy
R
Rx
d
M
d
M





entonces será:
   
    cmMMMd
MMM
d
txRR
F
txRR
F
60,13
16
16
3
22
22
3




 







 







 dQM
dd
Q
d
M
tx
tx
Qtxyx 







 3
3
16
3
1616
;0 323


entonces será:
  2
2
32
26,3083
3
16
2100
cm
kg
dQM
dcm
kg
tx
F











, verifica
c.3)La Teoría de la Máxima Deformación Específica:

Teoría de la Máxima Deformación Específica dice: “La rotura de un cuerpo sujeto a un determinado
estado de tension, ocurre cuando la deformación específica en la dirección de la máxima tensión
principal alcanza el valor de la máxima deformación específica correspondiente a la rotura por tracción
simple”.
        123331223211
1
;
1
;
1
 
EEE
y para el ensayo de tracción simple:
E
F
      FFF   123312321 ;;
resulta:
      2
2
2
2
2,1
211
1
2
11
2
22
1
xy
xxF
xy
xx
F
E
E








































0;
3
16
;
32
33






 Q
tx
txy
R
Rx
d
M
d
M





entonces será:
    
     cmMMMd
MMM
d
txRR
F
txRR
F
61,1311
16
11
16
3
22
22
3













 dQM
dd
Q
d
M
tx
tx
Qtxyx 







 3
3
16
3
1616
;0 323


entonces será:
    2
2
3
75,3963
3
16
12100
cm
kg
dQM
d
tx
F













, verifica
c.4)Cuadro comparativo de valores:

Teoría d (cm) B (kg/cm-2)
Máxima Energía de Distorsión 13,63 530,72
Máxima Tensión de Corte 13,65 610,38
Máxima Tensión Principal 13,60 308,26
Máxima Deformación Específica 13,61 396,75
Ejercicio II: La figura representa un estado de tensión plana para un material con límite elástico F =
150 MPa. Halle el coeficiente de seguridad según los criterios de
Tresca y Von Mises, indicando cuál de los dos es el más
conservador.
Resolución:
En el estado plano de tensión de la figura tendremos:
 
 
 







MPa
MPa
MPa
y
z
x
100
0
100
3
2
1



El criterio de Falla de la Máxima Tensión de Corte (o teoría de Tresca) expresa que: “La rotura comienza
cuando en un punto cualquiera de un material sujeto a un estado múltiple de tensión, la máxima tensión
de corte alcanza el valor de la máxima tensión de corte que ocurre en el ensayo de tracción simple”. Por
lo tanto:
 
   fluenciaen,,max
bieno,,max
22
133221
321






F
FF
F
      MPaMPaMPaTrescaF 200100100)(31  
En este caso como F = 150 MPa en coeficiente de seguridad será:
 
 
75,0
200
150
)(
)(

MPa
MPa
n
n Tresca
Tresca
F
FF
F



El criterio de Falla de la Máxima Energía de Distorsión (o teoría de Von Mises) expresa que: “La falla se
producirá cuando la energía de distorsión por unidad de volumen debida a los esfuerzos máximos
absolutos en el punto crítico sea igual o mayor a la energía de distorsión por unidad de volumen de una
probeta en el ensayo de tracción en el momento de producirse la fluencia”. Por lo tanto:
 
             MPaMPaMPaMPaMPaMisesVon
MisesVon
F
F
173100100100100
22
313221
2
3
2
2
2
1
)(
)(




y como F = 150 MPa en coeficiente de seguridad será:

 
 
86,0
173
150
)(
)(

MPa
MPa
n
n MisesVon
MisesVon
F
FF
F



Aunque ambos criterios predicen regímenes plásticos (n < 1), es más conservador el criterio de Tresca
porque predice que el fallo se alcanza antes (menor coeficiente de seguridad o lo que es lo mismo,
predice una mayor F).
Ejercicio III: Un poste de señalización vial sujeta un panel informativo de 2 KN de peso. El panel
soporta una carga horizontal de viento de 650 N/m2 y
está soldado al poste, que es un tubo de 20 cm de
diámetro exterior y 8 mm de espesor, con un peso
propio de 0,3 KN/m.
Se pide, para las secciones del poste:
1. Tensiones normales máximas y tensión cortante
máxima, en MPa.
2. Definir para la sección más comprometida las
fibras más solicitadas y calcular para las mismas
las tensiones principales.
3. Aplicar los criterios de Tresca y Von Mises
considerando que el poste está construido con
un tubo de acero F-24. Indicar cuál de los dos es
más conservador. (Tomar como coeficiente de
seguridad:  = 2).
Resolución
1. Tensiones normales máximas y la tensión
cortante máxima, en MPa.
Se elige para el poste el sistema de referencia de la figura. Se consideran
positivos los esfuerzos si su sentido es el de los ejes, y la cara vista de la
sección es la de la figura.
Para el cálculo de esfuerzos sobre las secciones del poste por debajo del
cartel, todas las cargas distribuidas se pueden sustituir, en virtud del
principio de Saint Venant, por cargas puntuales situadas en el centro de
gravedad de su distribución.
1.1.Dimensiones y características geométricas de la sección del poste
La sección del poste es un anillo circular de 20 cm de diámetro exterior y 8
mm de espesor, por lo que:
 
 
 cme
cme
cm
EI
E
4,182
8,0
20








   222
25,48
4
cmA IE  


   333
54,147
12
1
cmS IEx  
   444
44,2227
64
cmJ IE  

   444
0 89,4545
32
cmJ IE  

1.2.Esfuerzos actuantes sobre las secciones del
poste
Los esfuerzos sobre el poste serán, en cualquier
sección del mismo, un esfuerzo normal (N), un cortante
(Ty), un momento torsor (MT) y dos momentos flectores
(My y Mz).
Todos ellos son constantes para x < 5 m, salvo Mz y N,
que son máximos en la sección del empotramiento (lo
que implica que en ella las tensiones normales serán).
Estos valores serán (si x < 5 m):
 NTy 3900
     mNmNMy  32006,12000
     mNmNMT  62406,13900
Para la sección del empotramiento:
     Nm
m
N
NN 410073002000 



 (compresión)
     mNmNMz  2340063900
1.3.Tensiones actuantes sobre la sección más comprometida del poste: Tensiones normales ().
La sección más comprometida del poste será la correspondiente al empotramiento del mismo con el
suelo. Las tensiones normales tendrán las siguientes componentes:
y
J
M
z
J
M
A
N zy
nx 
La tensión máxima (que será de compresión), se da en el punto de la sección del empotramiento en la
fibra más alejada del eje neutro. Dado que la sección circular tiene infinitos ejes de simetría, todos los ejes
diametrales son principales de inercia. Por ello pueden reducirse las dos flexiones (My y Mz) a una sola,
composición vectorial de ambas.
 mNMMM zyF  2361822
En tal caso, la tensión normal máxima será la suma de la producida por el esfuerzo normal y por el
momento flector resultante:

 MPa
cm
N
J
M
A
N EF
nxMax
10610644
2 2







Nota: Dado que el valor de MF es casi idéntico a Mz, y que N es pequeño, se puede prescindir con un error
escaso del efecto de My y de N. La tensión máxima será, aproximadamente. A esta misma conclusión se
llega trazando el eje neutro, cuya ecuación es, haciendo nx = 0:
y
J
M
z
J
M
A
N zy
0
por lo que:
 
 
 
 
 
 
yz
y
cm
cmN
z
cm
cmN
cm
N








105114397,840
5,2227
1023400
5,2227
103200
25,48
4100
0 4
2
4
2
2
El eje neutro pasa prácticamente por el origen y forma un ángulo de –88º con
el eje y (prácticamente coincide con el eje z).
Las tensiones normales producidas por la flexión, tienen su valor máximo en correspondencia en puntos
tales como el A, es decir los más alejados del eje neutro, mientras que en puntos como el B son nulas.
1.4.Tensiones actuantes sobre la sección más comprometida del poste: Tensiones tangenciales ().
La tensión cortante máxima debida al momento torsor vale:
 
 
 
 MPa
cm
N
cm
cm
cmN
J
M
MaxT
MaxT
M
ET
M
1467,1372
2
20
89,4545
106240
2
2
4
2
0













Estas tensiones actuarán en toda la periferia de la sección,
mientras que la tensión cortante máxima debida al corte será:
 
 
 
 
 MPa
cm
N
cm
cm
cm
NS
J
T
Max
Max
T
E
xy
T
13,092,12
20
54,147
44,2227
3900
2
3
4









las tensiones de corte están contenidas en el plano de la
sección y su máximo valor se encuentra en un punto tal
como el B. Por lo que la tensión cortante máxima será:
 MPaMaxTMaxMaxT MTMMax 14 
2. Definir para la sección más comprometida las fibras más solicitadas y calcular para las mismas las
tensiones principales
La sección más solicitada será la correspondiente al empotramiento y en ella, las fibras más comprometidas serán
las fibras A (máximas tensiones normales y tangenciales).

2.1. Tensiones Principales. Fibra A.
El estado tensional del punto A es el siguiente:
Las tensiones actuantes serán:
 MPaMaxnxx 106 (compresión)
 MPaMaxTMxyyx 14 
0 yzzyzxxzzy 
y el tensor de tensiones para dicho punto es:
   MPaT
zyzxz
zyyxy
zxyxx
T
000
0014
014106




Correspondiente a un estado plano de tensiones en el plano “xy” (todas las tensiones con subíndices “z” son nulas).
Calculamos las tensiones principales:
         
 
 
 
 
 























MPa
MPa
MPa
MPa
MPa
MPa
MPaMPa
xy
yxyx
82,107
0
82,1
82,107
82,1
14
4
0106
2
0106
42
3
2
1
min
max
2
2
2
2
minmax/








2.1.1. La tensión tangencial máxima y los planos donde se verifica:
El valor de max es independiente de 2 y ocurrirá en planos inclinados a 45º con respecto a los planos
principales. Para dichos planos resulta:
    
    MPaMPa
MPaMPa
82,54
2
82,10782,1
2
53
2
82,10782,1
2
max
31
max
31
max
















2.1.2. Trazamos ahora la circunferencia de Mohr.
2.1.2.1. Centros de las familias de circunferencias:
Los calculamos como sigue:
      
    MPaMPaCC
MPaMPaCC
53
2
82,10782,1
2
91,53
2
82,1070
2
2
31
2
1
32
1












      MPaMPaCC 91,0
2
082,1
2
3
21
3 





2.1.2.2. Radios de las familias de circunferencias:
Los calculamos como sigue:

      
    
    MPaMParr
MPaMParr
MPaMParr
91,0
2
082,1
2
82,54
2
82,10782,1
2
91,53
2
82,1070
2
3
21
3
2
31
2
1
32
1


















2.1.2.3. Graficamos las familias de circunferencias: (gráfico fuera de escala)
3. Aplicar los criterios de Tresca y Von Mises considerando que el poste está construido con un tubo de
acero F-24. Indicar cuál de los dos es más conservador. (Tomar como coeficiente de seguridad:  = 2).
1.1. Fibra A.
1.1.1. Criterio de Falla de la Máxima Energía de Distorsión (o teoría de Hubert – Von Mises – Hench)
Esta teoría, que se ajusta bien al comportamiento de los materiales dúctiles, fue enunciada por Von Mises al
observar que los materiales bajo esfuerzos hidrostáticos soportan esfuerzos mucho mayores que sus esfuerzos de
fluencia bajo otros estados de carga y establece que:
“La falla se producirá cuando la energía de distorsión por unidad de volumen debida a los esfuerzos máximos
absolutos en el punto crítico sea igual o mayor a la energía de distorsión por unidad de volumen de una probeta en
el ensayo de tracción en el momento de producirse la fluencia”
 
         MPaAdm
Fl
Adm
74,10882,10782,10082,107082,1
222
313221
2
3
2
2
2
1







Para el acero F-24 resulta:
   MPaMPa
cm
kg Fl
AdmFl 70,11740,2352400 2







 (verifica)

1.1.2. Criterio de Falla de la Máxima Tensión de Corte (o teoría de Guest o de Tresca)
Esta teoría fue enunciada por Tresca y establece que:
“La rotura comienza cuando en un punto cualquiera de un material sujeto a un estado múltiple de tensión, la
máxima tensión de corte alcanza el valor de la máxima tensión de corte que ocurre en el ensayo de tracción
simple”.
     fluenciaen64,109,,max 313221 MPaAdm  
   MPaMPa
cm
kg Fl
AdmFl 70,11740,2352400 2







 (verifica)
De donde se deduce que el criterio de Von Mises es más conservador que el de Tresca, dado que:
   MPaMPa MisesVonTresca AdmAdm 74,10864,109  
Ejercicio IV: La barra de sección anular de acero F-24 doblemente empotrada que se muestra en la
figura posee en la mitad de su luz un apéndice perpendicular sobre el que se ejerce una fuerza F = 2 T a
1 m del eje de la misma. Siendo la relación de diámetros: I/E = 0,9.
Se pide:
1. Tensiones normales máximas y
tensión cortante máxima.
2. Dimensionar la barra aplicando los
criterios de Rankine y de la Teoría
de la Máxima Deformación
Específica indicando cuál de los dos
es más conservador. (Tomar como
coeficiente de seguridad:  = 1,6).
Resolución
1. Tensiones normales máximas y la
tensión cortante máxima, en MPa.
1.1.Dimensiones y características geométricas de la sección de la barra
La sección de la barra es un anillo circular de relación de diámetros: I/E = 0,9, por lo que:
2
IE
I
E
e
d
D 

 






;    2
2
2
22
22
1
4
1
44
mA E
E
IE
IE 

















   3
3
3
33
33
1
12
1
1212
1
mS E
E
IE
IEx 












   4
4
4
44
44
1
64
1
6464
mJ E
E
IE
IE 


















   4
4
4
44
44
0 1
32
1
3232
mJ E
E
IE
IE 

















1.2.Esfuerzos actuantes sobre las secciones de la barra
Trasladando la carga vertical al eje de la barra el sistema equivalente estará compuesto por una carga
vertical de 2 T y un momento torsor de valor MT = 2 Tm. Los esfuerzos sobre la barra serán, en cualquier
sección de la misma, un esfuerzo cortante (T), un momento torsor (MT) y un momento flexor (MF).
Por tratarse de una barra con simetría geométrica y de cargas las reacciones de vínculo en A y C también
serán simétricas. Además, por tratarse de un hiperestático (barra doblemente empotrada) las reacciones
de vínculo podrán calcularse por alguno de los métodos oportunamente explicados (ej. Método de las
Fuerzas) u obtenerse de tablas:
A estos esfuerzos habrá que agregarle un par torsor que equilibre la acción de la fuerza actuando el
apéndice transversal. Por lo tanto:
     mTmTMT  212
 mT
M
MM
MM
MMMM T
BA
BA
BATT
TT
TT
TTi








 1
2
0
Estos esfuerzos, tendrán una distribución constante tanto para la semi-luz de la derecha como de la
izquierda, de igual valor absoluto y distinto signo.
Por su parte el corte también tendrá una distribución similar a la del momento torsor, mientras que el
momento flexor (flexión simple) tendrá una distribución simétrica respecto de la mitad de la luz, con un
máximo en la fibra más alejada del eje neutro (E / 2). Los valores en los puntos característicos serán:

   T
TF
VVT BA 1
2
2
2

     mT
mTLF
MMMM BCAF 



 1
8
42
8
1.3.Tensiones actuantes sobre la sección más comprometida de la barra: Tensiones normales ().
Por no haber esfuerzos en la dirección del eje de la barra, las tensiones estarán contenidas en el plano de
la sección (estado plano de tensiones). Las secciones más comprometidas de la barra serán las
correspondientes a los empotramientos y la sección ubicada a una distancia L/2 (mitad de la luz). Las
tensiones normales tendrán las siguientes componentes:
 43
1
32
2 m
M
J
M
E
FEF
MaxMaxMaxMax CBA






Las tensiones normales producidas por la flexión, tienen su valor máximo en correspondencia en puntos
tales como el A, es decir los más alejados del eje neutro, mientras que en puntos como el B son nulas.
1.4.Tensiones actuantes sobre la sección más comprometida de la barra: Tensiones tangenciales ().
La tensión cortante máxima debida al
momento torsor vale:
 43
0 1
16
2 m
M
J
M
E
AEA
M
TT
MaxT






Estas tensiones actuarán en toda la periferia
de la sección, mientras que la tensión
cortante máxima debida al corte será:
 
 42
3
13
116
m
mTS
J
T
EE
x
TMax





las direcciones de las tensiones de corte en
la periferia tienen la dirección tangente al
borde de la sección y su máximo valor se
encuentra en un punto tal como el B.
Por lo que la tensión cortante máxima será:
 
 









 3
42
1
3
1
1
16
mT
M
m E
A
E
TMMax
T
MaxMaxT


2. Dimensionar la barra aplicando los criterios de Rankine y de la Teoría de la Máxima
Deformación Específica e indicar cuál de los dos es más conservador.
2.1.La Teoría de la Máxima Tensión Principal:
Teoría de la Máxima Tensión Principal o Teoría de Rankine dice: “La deformación anaelástica en un punto
cualquiera de un sólido solicitado por un estado cualquiera de tensión comienza sólo cuando la máxima
tensión principal en el punto considerado alcanza un valor igual al de la tensión en el límite de fluencia (en

tracción o compresión) con total independencia de las tensiones normales o tangenciales que puedan
existir en otros planos”.
En este caso, admitiendo un coeficiente de seguridad  = 1,6 con respecto a la iniciación de la fluencia,
resulta:
2
2
2
2
1
1
22
22
xy
xxFl
xy
xx
Fl








































 2
3
2
10242400
m
T
cm
kg
Fl
2.1.1.Fibra A.
Para el punto A resulta:
   
9,0;
1
16
;
1
32
4343
E
I
E
A
Mxy
E
F
Maxx m
m
M
m
M T
MaxT





 






entonces será:
   
   cmm
m
MMM
m
MMM
E
Fl
AFF
E
E
AFF
Fl
TT
36,131336,0
1
16
1
16
3
4
22
43
22






















2.1.2.Fibra B.
 
 









 3
42
1
3
1
1
16
;0 mT
M
m E
A
E
TMMaxx
T
MaxMaxT


entonces será:
 
  






















 2
3
422
3
34,62851
3
1
1
16
1024
m
T
mT
M
mm
T
E
A
E
Fl T


(verifica)
2.2.La Teoría de la Máxima Deformación Específica:
Teoría de la Máxima Deformación Específica dice: “La rotura de un cuerpo sujeto a un determinado
estado de tension, ocurre cuando la deformación específica en la dirección de la máxima tensión principal
alcanza el valor de la máxima deformación específica correspondiente a la rotura por tracción simple”.
        123331223211
1
;
1
;
1
 
EEE

y para el ensayo de tracción simple:
E
Fl
      FlFlFl   123312321 ;;
En este caso, admitiendo un coeficiente de seguridad  = 1.6 con respecto a la iniciación de la fluencia,
resulta:
      2
2
2
2
2,1
211
1
2
11
2
22
1
xy
xxFl
xy
xx
Fl
E
E








































296.0;10242400 2
3
2








 
m
T
cm
kg
Fl
2.2.1.Fibra A.
Para el punto A resulta:
   
9,0;
1
16
;
1
32
4343
E
I
E
A
Mxy
E
F
Maxx m
m
M
m
M T
MaxT





 






entonces será:
 
   
         cmmMMM
m
MMM
m
T
T
AFF
Fl
E
AFF
E
Fl
58,131358,011
1
16
11
1
16
3
22
4
22
43


























2.2.2.Fibra B.
 
 









 3
42
1
3
1
1
16
;0 mT
M
m E
A
E
TMMaxx
T
MaxMaxT


entonces será:
 
  






















 2
3
422
3
96,59851
3
1
1
16
1024
m
T
mT
M
mm
T
E
A
E
Fl T


verifica
De donde se deduce que la Teoría de la Máxima Deformación Específica es más conservador que el
criterio de Rankine, dado que resulta:

RankineEspecíficanDeformacióMáxima EE  

Solicitaciones por Fatiga
Conceptos Generales
En ciertas estructuras, y en especial en elementos de
máquinas; las acciones que las solicitan no actúan
estáticamente corno hemos supuesto en los capítulos
precedentes, sino que lo hacen en forma dinámica,
variable con el tiempo.
Ejemplo clásico de esto último es el eje de un vagón de
ferrocarril el cual por su rotación produce la inversión del
signo de las tensiones internas.
Estas solicitaciones pueden significar tres problemas
fundamentales:
a) solicitaciones por fatiga,
b) solicitaciones de acción dinámica,
c) problemas originados por vibraciones.
Nos ocuparemos del primer problema.
Tipos de tensión en la solicitación por fatiga. Definiciones.
Distinguiremos dos tipos fundamentales de solicitaciones repetidas:
a) cargas pulsatorias,
b) cargas oscilantes.
En las primeras, la tensión varía
entre dos valores extremos sin
cambiar de signo. En cambio,
para las segundas los valores
extremos son de distinto signo.
Cada uno de ellos admite un
caso particular, lo que nos
conduce a los cuatro tipos de
cargas:
a) Carga pulsatoria (Tipo I).
b) Carga pulsatoria intermitente
(se caracteriza por ser nula
una de las tensiones
extremas) (Tipo II).
c) Carga oscilante (Tipo III).
d) Carga oscilante alternada (se caracteriza por ser las tensiones extremas opuestas). (Tipo IV).
En lo que sigue, llamáremos máx., o tensión superior, a la máxima tensión en valor absoluto, y 0 o
tensión inferior, a la mínima, también en valor absoluto, con independencia del signo. Llamaremos:

máx
mínmínmáx
a
mínmáx
m ry




 




2
;
2
Donde: m = tensión media; a = amplitud de tensión la tensión dinámica o también tensión variable y r =
coeficiente de ciclo.
ammínammáx y  
Para las cargas Tipo II resulta:
máxamáxmmín y 
2
1
2
1
;0 
mientras que para las cargas Tipo IV será:
mínmáxammínmáx y   0;
Resistencia a la fatiga. Curva de Wöhler
Definiremos como “resistencia a la fatiga” a la máxima amplitud de la tensión dinámica que superpuesta
en ambos sentidos a la tensión media puede actuar un número ilimitado de reiteraciones, sin provocar la
rotura del material ni una deformación plástica superior a la admisible.
Existen algunos casos particulares de resistencia a la fatiga:
a) Resistencia de oscilación. Corresponde al caso de m = 0 y máx. = mín., La designaremos A.
b) Resistencia de pulsación. En este caso una de las tensiones extremas es nula. La designaremos
con U.
La determinación de la resistencia a la fatiga se efectúa experimentalmente, y resulta ser siempre inferior
a la resistencia determinada en un ensayo estático.
Para obtener la resistencia a la fatiga se realiza el trazado del denominado Diagrama de Wöhler. Para ello
se somete una probeta del material a una carga variable de amplitud a y tensión m prefijadas,
determinándose el número N de ciclos para el cual se produce la rotura por fatiga. El ensayo se repite
para otros valores de a. Para cada caso se representa en un diagrama el valor de N que ha conducido a
la rotura (en escala logarítmica) y la tensión máxima correspondiente al mismo. Se obtiene así una curva
asintótica a un valor de máx que es precisamente la resistencia de fatiga.

Para N = 0 el valor de la resistencia a la fatiga coincide con el valor de la resistencia estática R. Debido
a que algunos materiales son capaces de resistir un número ilimitado de ciclos, se adopta una resistencia
de fatiga convencional, que corresponde a la tensión para la cual el material resiste una cantidad
determinada de ciclos, por ejemplo 108.
Hay numerosos factores que influyen en la resistencia a la fatiga. Ya hemos visto que la influencia de los
ciclos de carga es muy importante, otros factores significativos son la posibilidad de corrosión, la
temperatura de trabajo, el endurecimiento en frío, los tratamientos térmicos, la forma de las probetas que
se utilizan en los ensayos, etc. Un resultado importante a tener en cuenta es el siguiente: R ≥ U ≥A.
Diagrama de Smith
De entre todos los diagramas de fatiga propuestos por distintos investigadores y cuyo objeto es obtener
una representación gráfica que resuma los valores de las resistencias de fatiga que corresponden a las
distintas zonas de solicitación, el más difundido en Alemania es el denominado Diagrama de Smith.
Para su construcción se procede en la forma siguiente: sobre un par de ejes coordenados ortogonales se
llevan en abscisas los valores de las tensiones medias m y en ordenadas los de las tensiones superior
max e inferior min. Correspondientes a las respectivas tensiones medias.
En consecuencia, los extremos de las ordenadas (max y min) constituyen dos lugares geométricos que
son las curvas límites de las tensiones superiores e inferiores.
Las ordenadas definidas por una recta a 45° que pasa por el origen, corresponden, lo mismo que las
respectivas abscisas, a las tensiones medias m y dicha recta divide en partes iguales a la doble amplitud
a. Es decir, que la distancia de cada curva límite a la recta mencionada corresponde al valor de la
tensión variable o dinámica a, correspondientes a las distintas resistencias de fatiga.
Dado que la determinación de la resistencia de fatiga es un tanto compleja, se ha tratado de vincularla
mediante fórmulas empíricas con las características mecánicas determinadas por ensayos estáticos. Es
así que para aceros se admite como resistencia de oscilación:












ferrosos)no(metales
2
1
4
1
a)resistencialtamuyde(aceros
6
1
4000
(aceros)
2
1
TAT
TA
TA



Dónde: A = resistencia de fatiga para carga oscilante alternada; T = resistencia a la tracción estática.
Los tres valores A, U, R (resistencia de rotura estática) se encuentran en una cierta relación que
actualmente, sobre la base de un mayor número de experiencias, se ha establecido aproximadamente en:
En la figura hemos reproducido un diagrama de Smith que responde aproximadamente a las
características de un acero común de construcción tipo St 37 con 3700 kg/cm2 de límite de rotura estática,
2600 kg/cm2 de límite de fluencia, definido en este caso, y de una resistencia de fatiga, del Tipo IV. Carga
oscilante alternada, del orden de 1200 kg/cm2.

AmínmáxamAmínmáx y   0;
Para un material de estas características mecánicas, el diagrama es simétrico para el tercer cuadrante
con relación al primero, por lo que, en figura sólo hemos reproducido la parte correspondiente al primero
de ellos.
y su representación en el diagrama de Smith corresponde a los puntos A y A1. El caso de la rotura
estática (supongamos por tracción) es aquel para el cual se cumple que:
mRmínmáx  
y que, en el diagrama que estamos analizando, está representado por el punto M.
El caso Tipo II Carga puIsatoria intermitente (resistencia a pulsaciones) está representado por los puntos
B y B1, donde:
máxmmínumáx y 
2
1
0; 
La zona más desfavorable de trabajo del material es la comprendida entre O y B1, donde existe cambio de
signo de las tensiones.
Por otra parte, para el dimensionamiento de fatiga, tanto de elementos estructurales, como de piezas de
máquinas y mecanismos la experiencia indica que no conviene que la tensión superior supere el límite de
fluencia del material.

De modo que, en la práctica, el Diagrama de Smith
resulta modificado como muestra la siguiente figura, y
cuya zona útil aparece rayada.
Si bien este diagrama está constituido por dos
curvas, cuyo trazado exige la realización de toda una
serie de ensayos para distintos m y en los que se
varía a, la reducida curvatura de las mismas hace
que puedan ser reemplazadas por segmentos de
recta, sin mayor error.
Admitiendo que la tensión variable a
correspondiente a la resistencia pulsatoria
intermitente es del orden del 80% de la resistencia a
las oscilaciones A  A
u
a   80,0
Para materiales distintos del acero, en especial
aquellos cuyas características mecánicas en tracción
y compresión son distintas, como en el caso de la
fundición, el diagrama de Smith resulta asimétrico.
Otros investigadores han propuesto ciertas leyes que establecen la variación de la tensión variable a en
función de la tensión media m. Así tenemos:
Ley de Goodman: Ley de Gerber: Ley de Soderberg:
R
m
A
a




1
2
1 






R
m
A
a




R
m
A
a
K




1 con:
fl
R
K




Dimensionado de piezas sujetas a solicitaciones cíclicas
A los efectos de proceder al dimensionado de piezas sujetas a la acción de solicitaciones cíclicas,
utilizaremos el criterio de Soderberg cuya expresión en función de máx., es:
 
fl
A
R
A
fl
R
mAmáx qkq
k
dondeq








 











 1
Esta expresión vincula la tensión superior (max) con la resistencia a la fatiga para cargas oscilantes
alternadas (A) y la constante q del material.
Si dimensionáramos la pieza o elemento estructural partiendo del valor max dado por dicha expresión,
como en su expresión aparece A, que es una tensión de rotura, estaríamos calculando para un estado
límite, que, por razones de seguridad, no es admisible. En consecuencia, debemos afectar al valor A de
un coeficiente de seguridad, que dependerá del tipo de solicitación, destino de la estructura y de todos
aquellos factores que influyen en su determinación. Así, tendremos:
   
   
adm
m
adm
m
fl
A
adm
máx
fladm
adm
m
adm
A
adm
máx
m
A
máx
qqq
conqq























11
11
que es la fórmula para el dimensionamiento según el criterio de Soderberg.
Fatiga por solicitación axil
Supongamos una pieza sometida a la acción de una solicitación axil P, variable entre los límites Pmáx y
Pmín. En consecuencia será:
2
mínmáx
m
PP
P


Si F es el área de la sección trasversal, resulta:
F
P
F
P mín
mín
máx
máx   ;
y reemplazando resulta:
 
adm
m
adm
máx
F
P
qq
F
P
 


1
Despejando el área F, llegamos a la siguiente fórmula de dimensionamiento:
   













 1
11
1
1
qP
P
q
P
FoqPP
q
F
máx
m
adm
máx
mmáx
adm 

suponiendo un acero dúctil, tipo St 37, donde podemos admitir:







máx
m
adm
máx
fl
A
P
PP
Fq 25,0
2400
1200


Consideremos en primer término la solicitación corresponde a la carga oscilante alternada, para la cual:
adm
máx
m
mínmáx P
F
P
PP







 2
0
1
Si ahora consideramos el caso más favorable, que es la solicitación estática, donde:
adm
máx
mmínmáx
P
FPPP

 2
Supongamos ahora una solicitación pulsatoria intermitente. Para ella tendremos:
adm
máx
máx
m
mín
P
FP
P
P









5,1
2
0
3
Si consideramos una solicitación oscilante, para la cual:
adm
máx
máxm
mínmáx P
F
PP
PP







75,1
25,0
2
4
Finalmente para una carga pulsatoria donde:
adm
máx
máxm
mínmáx P
F
PP
PP







25,1
75,0
2
5
Como puede observarse, las solicitaciones más desfavorables son las que corresponden a inversiones de
signos de .la solicitación y entre ellas la más peligrosa, y que en consecuencia exige una mayor sección,
es la oscilante alternada.
Fatiga por Flexión
Supongamos una pieza de momento de inercia constante y una sección de ella solicitada por un par flexor
variable entre dos valores límites Mmáx y Mmin. A estos valores corresponderá, aplicando el mismo criterio
que en esfuerzo axil:
 
 































1
11
1
2
1
qM
M
q
M
W
W
M
qq
W
M
W
M
W
M
MMM
máx
m
adm
máx
adm
m
adm
máx
m
m
máx
máx
mínmáxm





El criterio de aplicación de esta fórmula es el mismo que para solicitación axil. La única diferencia reside
en que, para un mismo material, el valor de q difiere según la forma de solicitación. Así, para un acero St
42, el valor de q para flexión es de 0,63 y se reduce a 0,54 para solicitación axil.
A título de ejemplo, aplicaremos ésta expresión a un eje de sección circular solicitado en un caso por
carga oscilante alternada, luego por carga pulsatoria intermitente y finalmente por carga estática.
Admitiendo 0,63 como valor de q.
a. Consideremos en primer término la solicitación corresponde a la carga oscilante alternada, para la
cual:
adm
máx
m
mínmáx M
W
M
MM







6,1
0
y teniendo en cuenta que para la sección circular es:
31
3
52,2
32 adm
máxM
d
d
W





b. Supongamos ahora una carga pulsatoria intermitente. Para ella tendremos:
32 46,23,1
2
1
0
adm
máx
adm
máx
máxm
mín
M
d
M
W
MM
M








c. Finalmente para una carga estática donde:
33 16,2
adm
máx
adm
máx
mmínmáx
M
d
M
WMMM


Los tres diámetros calculados están en la relación:
17,1:14,1:1:: 123 ddd
y las correspondientes áreas en:
39,1:30,1:1:: 123 FFF
de modo que, entre la solicitación más desfavorable (oscilante alternada) y la más favorable (estática)
existe para el caso analizado una diferencia de sección del 39%.
Problemas de aplicación
Ejercicio V: Por medio de ensayos de laboratorio se ha determinado que el acero que compone el perfil
de la figura posee las siguientes características: fl = 4000 Kg/cm2; R = 6000 Kg/cm2 y A ≈ ½ R =
3000 Kg/cm2. Para las condiciones de vínculo y carga indicadas se pide:
a) Construir el Diagrama de Smith modificado.
b) Hallar las ecuaciones de los esfuerzos máximos, esfuerzos medios y esfuerzos mínimos.

c) Hallar los esfuerzos admisibles para carga estática, carga
intermitente y carga alternante.
d) Para la carga dada determinar en cada caso (carga
actuando estáticamente, carga actuando en forma
intermitente y carga actuando en forma alternante) si hay
o no falla del material. Considerar fl =adm.
Resolución:
a) Construir el Diagrama de Smith modificado:
b) Hallar las ecuaciones de los esfuerzos máximos, esfuerzos medios y esfuerzos mínimos:
La ecuación de la recta conocidos dos puntos es:
 
 
 
 12
12
1
1
xx
yy
xx
yy





Para la recta A-B (para máx. ≤ fl = 4000 Kg/cm2) será:
 
 
 
 
3000
2
1
3000
2
1
06000
30006000
0
3000






mmáxxy
x
y

Las curvas de esfuerzos mínimos van de B a E (para min < 0) es:
 
 
 
 
3000
2
3
3000
2
3
06000
30006000
0
3000






mmínxy
x
y

por lo que el punto D será (para min = 0):
 0;2000200003000
2
3
Dxyconxy 
y la curva de C a D (para min > 0), resulta:

 
 
 
 
2000
2
1
2000
2
1
40000
40002000
4000
4000






mmínxy
x
y

c) Hallar los esfuerzos admisibles para carga estática, carga intermitente y carga alternante:
c.1) Carga estática:
2
4000
cm
kg
flmáx 
c.2) Carga intermitente:
3000
2
1
0;  mmáxmínumáx y 
calculamos la tensión media (m) (para min = 0):
2
2000
3
2
30003000
2
3
03000
2
3
cm
kg
mmmmín  
calculamos la tensión máxima (máx. = u) (para m = 2000 kg/cm2):
22
40004000200022
2
1
cm
kg
cm
kg
umáxmuum  
o bien:
2
400030002000
2
1
3000
2
1
cm
kg
mmáx  
c.3) Carga alternante:
AmínmáxamAmínmáx y   0;
calculamos la tensión máxima (máx.) (para m = 0):
2
3000
cm
kg
Amáx 

d) Para la carga dada determinar en cada caso (carga actuando estáticamente, carga actuando en
forma intermitente y carga actuando en forma alternante) si hay o no falla del material.
De la tabla de perfiles I300 DIN 1025 obtenemos: W = 653 cm3. La sección más solicitada será el
empotramiento que soporta un momento flexor que podemos calcular como:
cmkgcmkgLFMmáx  000.000.24005000
Para un par flexor variable entre dos valores límites Mmáx. y Mmin. y dimensionamiento según el criterio de
Soderberg se tiene:
 
 































1
11
1
2
1
qM
M
q
M
W
W
M
qq
W
M
W
M
W
M
MMM
máx
m
adm
máx
adm
m
adm
máx
m
m
máx
máx
mínmáxm




mientras que el valor de q por su parte será:
75,0
4000
3000
2
2



 

cmkg
cmkg
q
fl
A


d.1) Carga estática:
adm
máx
máx cmkg
cm
cmkg
W
M
 

 
40003063
653
000.000.2 2
3
No hay falla del material.
d.2) Carga intermitente:
En este caso tendremos que:
2
2
3
4000
3573
653
000.000.2
...1666,1...1666,1
...1666,1
2
1
0













cmkg
cmkg
cm
cmkg
W
M
M
W
MM
M
admmáx
máx
máx
máx
máx
máxm
mín



No hay falla del material.
d.3) Carga alternante:
En este caso tendremos que:

2
2
3
4000
4084
653
000.000.2
...333,1...333,1
...333,1
0












cmkg
cmkg
cm
cmkg
W
M
M
W
M
MM
admmáx
máx
máx
máx
máx
m
mínmáx



Hay falla del material.
Bibliografía Recomendada
 Estabilidad II - E. Fliess
 Resistencia de materiales - R. Abril / C. Benítez
 Problemas de resistencia de materiales - M. Ferrer Ballester y otros
 Curso superior de resistencia de materiales - F. Seely / J. Smith(Título original de la obra: "Advanced
Mechanics of Materials")
 El acero en la construcción (Título original de la obra: "Stahl im hochbau")
 Introducción a la estática y resistencia de materiales - C. Raffo
 Mecánica de materiales - F. Beer y otros
 Mecánica de materiales - R. C. Hibbeler
 Problemas de resistencia de materiales - I. Miroliubov y otros
 Problemas de resistencia de materiales - A. Volmir
 Resistencia de materiales - Luis Delgado Lallemad / José M. Quintana Santana
 Resistencia de materiales - V. Feodosiev
 Resistencia de materiales - A. Pytel / F. Singer
 Resistencia de materiales - S. Timoshenko

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