2. ´Indice
1. Introducci´on 3
2. Un paseo por la historia de las ecuaciones algebraicas 3
3. Revolucionario y Matem´atico: Evariste Galois 5
4. La teor´ıa de Galois 9
4.1. Ecuaci´on general de segundo grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
4.2. Ecuaci´on general de tercer grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
4.3. Ecuaci´on general de cuarto grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
5. Ecuaci´on general de quinto grado: la gran inc´ognita. 13
2
3. ”El ´algebra es generosa: a menudo da m´as de lo que se le pide.”
D’alambert
1. Introducci´on
Evariste Galois se nos presenta como un juvenil Quijote luchando en un combate im-
posible, perdido de antemano, contra los molinos de la ciencia oficial, representada por la
todopoderosa Academia de las Ciencias de Par´ıs (formada por una importante constelaci´on
de grandes matem´aticos, pero pagados de s´ı mismos, que no le entienden y que tampoco
hacen ning´un esfuerzo por tratar de hacerlo), contra la que arremete con todas las armas
a su alcance.
2. Un paseo por la historia de las ecuaciones alge-
braicas
Desde la antig¨uedad uno de los enigmas m´as tenazmente perseguido por los matem´aticos
es la resoluci´on de las ecuaciones algebraicas.
Dada una ecuaci´on algebraica de segundo grado de la forma ax2
+ bx + c, es bien
conocido que sus soluciones pueden encontrarse mediante una expresi´on (ya conocida por
los babilonios) que involucra los coeficientes a, b y c y operaciones con radicales, a saber,
x =
−b ±
√
b2 − 4ac
2a
.
Durante la Edad Media se trat´o de encontrar f´ormulas semejantes a la anterior que
sirvieran para resolver ecuaciones algebraicas de grado 3 y superior. El primer resultado
positivo se atribuye a N. Fontana (m´as conocido como Tartaglia) y a G.Cardano, que
utilizaron la f´ormula
x =
3 q
2
+
p3
27
+
q2
4
+
3 q
2
−
p3
27
+
q2
4
para calcular las soluciones de x3
+px+q = 0 (puesto que la ecuaci´on y3
+by2
+cy+d = 0
puede reducirse a una del tipo x3
+ px + q = 0 mediante el cambio de variable y = x − b
3
,
la ecuaci´on general de tercer grado queda resuelta).
3
4. Evariste Galois Historia de las matem´aticas
Diez a˜nos despu´es Ludovico Ferrari public´o una f´ormula para resolver las ecuaciones
algebraicas de grado 4. La cosa marchaba, y los matem´aticos no tardaron en emprender
intentonas para resolver la ”ecuaci´on general”anxn
+ an−1xn−1
+ . . . + a1x + a0 = 0, y
aqu´ı se estrellaron todos. Algunos, m´as modestos, retrocedieron y se limitaron a la de
quinto grado, pero tampoco hubo forma. ¿Ser´ıa la ecuaci´on irresoluble? Esta pregunta
plane´o mucho tiempo sobre la matem´atica.
Como consecuencia de esta b´usqueda infructuosa el matem´atico Paolo Ruffini anunci´o,
a comienzos del siglo XIX, la imposibilidad de encontrar una f´ormula para resolver estas
ecuaciones; su art´ıculo, publicado en 1813, conten´ıa afirmaciones imprecisas. Hubo que
esperar al advenimiento de un genio como el noruego Niels Henrik Abel quien en 1823
public´o la demostraci´on de que las ecuaciones de quinto grado no pod´ıan resolverse medi-
ante radicales, dicha demostraci´on conten´ıa afirmaciones precisas pero con demostraciones
vagas.
La forma en que Abel ’resolvi´o’ el problema de la resoluci´on de la ecuaci´on general de
quinto grado demostrando su imposibilidad es la primera vez en la historia que un problema
ten´ıa este final, y ser´ıa el inicio de una larga lista de imposibilidades (con la destacada de la
indecibilidad del lenguaje aritm´etico, establecido por G¨odel en 1931). Hasta ese momento
cuando un problema no se sab´ıa resolver se consideraba que es que no se segu´ıa el camino
apropiado o que no se ten´ıan los instrumentos necesarios para resolverlo, pero se ten´ıa el
convencimiento de que antes o despu´es se lograr´ıa resolver.
La contribuci´on genial de Galois a la teor´ıa de resoluci´on de ecuaciones fue la deter-
minaci´on de las condiciones en las que una ecuaci´on es resoluble por radicales, lo que da
como consecuencia que para todo n > 4 haya ecuaciones polin´omicas que no son resol-
ubles por radicales. En esencia el resultado de Galois sobre resolubilidad por radicales de
una ecuaci´on tiene que ver con una serie de subgrupos (de un tipo especial llamados nor-
males) del grupo de permutaciones, cada uno subgrupo del anterior, asociados a lo que
llama Galois resolventes de la ecuaci´on. Y este resultado es que una ecuaci´on es resoluble
por radicales si y solo si los ´ındices de todas las etapas de esa sucesi´on de subgrupos son
n´umeros primos. Eso es lo que pasa en todas las ecuaciones de grado 4, puesto que el orden
de S4 es 24, y nos lleva a una serie de subgrupos de ´ındices 3,2,2 y 2, todos primos. En el
caso de la ecuaci´on general de grado n > 4, Sn tiene n! elementos y nos lleva a una serie de
dos subgrupos de ´ındices 2 y n!/2, y este ´ultimo n´umero nunca es primo, luego la ecuaci´on
general de grado n > 4 no es resoluble por radicales. Basten las pocas l´ıneas anteriores
para mostrar la aportaci´on de Galois a la teor´ıa de resoluci´on de ecuaciones, que fue de
tal calibre que acab´o con el propio objeto del ´algebra, pasando a partir de sus resultados
a poner el acento en el estudio de las estructuras algebraicas. As´ı comienza lo que a´un hoy
se conoce como ’matem´aticas modernas’, de las que la ’Teor´ıa de Galois’ sigue siendo una
parte plenamente vigente.
Fue tan avanzado que sus resultados, que redacta la noche anterior al duelo y encarga
a su amigo A. Chevalier que publique, nadie los entiende durante un tiempo. Tendr´ıan
que pasar doce a˜nos para que vuelvan a ver la luz, cuando Liouville en 1843 anuncia
4
5. Evariste Galois Historia de las matem´aticas
en la Academia, que tan poco caso le hizo unos a˜nos antes, que hab´ıa encontrado entre
los papeles de Galois una soluci´on concisa, pero tan exacta como profunda de este bello
problema: ’Dada una ecuaci´on de grado primo, decidir si es o no es resoluble por radicales’.
Y tres a˜nos m´as tarde, el mismo Liouville publica en la revista que dirige (’Journal de
math´ematiques pures et appliqu´ees’) una reedici´on de los art´ıculos de Galois junto con sus
dos memorias in´editas. Aunque tard´ıa, su repercusi´on y su influencia fueron inmensas en
las matem´aticas desde la segunda mitad del siglo XIX hasta nuestros d´ıas
3. Revolucionario y Matem´atico: Evariste Galois
´Evariste Galois, joven prodigio y matem´atico franc´es, contaba tan s´olo 20 a˜nos de edad
cuando en la madrugada del 30 de mayo de 1832 escrib´ıa a sus amigos Napole´on Lebon y
V. Delauney:
”He sido provocado por dos patriotas... Me es imposible rehusar. Os ruego vuestro
perd´on por no hab´eroslo dicho. Pero mis adversarios me han exigido palabras de honor de
no informar a ning´un patriota. Vuestra tarea es sencilla: demostrad que he de combatir
contra mi voluntad, tras haber agotado todos los medios de reconciliaci´on posibles; decid si
soy capaz de mentir ni siquiera en lo m´as balad´ı. Por favor, recordadme, ya que el destino
no me ha dado vida bastante para ser recordado por mi patria. Muero amigo vuestro, ´E.
Galois”
Esa misma noche, Galois escrib´ıa tambi´en a su amigo Auguste Chevalier:
”He hecho algunos descubrimientos nuevos en an´alisis. El primero concierne a la teor´ıa
de ecuaciones; los otros, a las funciones enteras. En teor´ıa de ecuaciones he investigado
las condiciones de solubilidad de ecuaciones por medio de radicales; con ello he tenido
ocasi´on de profundizar en esta teor´ıa y describir todas las transformaciones posibles en
una ecuaci´on, aun cuando no sea posible resolverla por radicales. Todo ello puede verse
aqu´ı, en tres memorias... Haz petici´on p´ublica a Jacobi o a Gauss para que den su opini´on,
no acerca de la veracidad, sino sobre la importancia de estos teoremas. Conf´ıo en que
despu´es algunos hombres encuentren de provecho organizar todo este embrollo.”
El desesperado estado de ´animo en que se encontraba Galois al escribir estas cartas
estaba plenamente justificado, como tristemente habr´ıan de probar los acontecimientos
inmediatos. Poco despu´es del amanecer de esa misma noche, Galois abandon´o su habitaci´on
de la pensi´on Sieur Faultrier, en Par´ıs, y se enfrent´o en duelo de honor a un activista pol´ıtico
llamado d’Herbinville, a las orillas de un estanque cercano. All´ı Galois recibi´o un balazo en
el abdomen quedando abandonado. M´as tarde un transe´unte lo encontr´o y llev´o al Hˆopital
5
6. Evariste Galois Historia de las matem´aticas
Cochin, donde muri´o al d´ıa siguiente. Catorce a˜nos despu´es, los manuscritos que dej´o para
Chevalier fueron publicados por el matem´atico franc´es Joseph Liouville, naciendo de esta
forma la rama, excepcionalmente fecunda, de la matem´atica conocida hoy por teor´ıa de
grupos.
Galois naci´o el 25 de octubre de 1811, en Bourg-la-Reine, cerca de Par´ıs. Su padre,
Nicholas-Gabriel Galois, era partidario de Napole´on y cabeza del partido liberal en la lo-
calidad, llegando a ser elegido alcalde de la villa. Durante los primeros doce a˜nos de su
vida, ´Evariste fue educado por su madre, Adela¨ıde-Marie Demande Galois, quien propor-
cion´o a su hijo una s´olida formaci´on b´asica en lat´ın y griego. No obstante, es poco veros´ımil
que el joven Galois tuviera mucho contacto con las matem´aticas aparte de las habituales
lecciones de aritm´etica, pues en aquel entonces no se consideraba importante la formaci´on
matem´atica. Tampoco se tiene noticia de que se hayan dado casos de talento matem´atico
especial en su familia.
La educaci´on regular de Galois comenz´o en 1823, cuando ingres´o en el Coll`ege Royal de
Louis-le-Grand, de Par´ıs, escuela preparatoria donde estudiaron entre otros, Robespierre
y Victor Hugo. En el Louis-le-Grand, Galois comenz´o inmediatamente a sensibilizarse
pol´ıticamente; sus simpat´ıas liberales y democr´aticas adquiridas de sus padres estaban en
consonancia con las simpat´ıas de la mayor´ıa de los alumnos. No obstante, durante el primer
a˜no de Galois en el Louis-de-Grand, las relaciones entre el alumnado y el profesor reci´en
nombrado fueron ´asperas y tirantes. Los alumnos sospechaban que el nuevo profesor se
propon´ıa devolver el colegio a los jesuitas. Los alumnos hicieron un plante sin excesiva
trascendencia: se negaron a cantar en la capilla, a recitar en clase y a brindar por Luis
XVIII en un banquete colegial. En represalia, el profesor expuls´o a 40 alumnos sospechosos
de haber encabezado la rebeli´on. Aunque Galois no fue expulsado, la arbitraria acci´on del
profesor contribuy´o sin duda a fomentar los recelos que Galois pudiera sentir hacia la
autoridad.
En sus primeros a˜nos de liceo, Galois gan´o varios premios de griego y lat´ın. Aunque,
durante el tercer a˜no, su trabajo en ret´orica fue considerado insuficiente y tuvo que repetir
curso. Fue despu´es de ese tropez´on cuando Galois recibi´o su primer curso de matem´aticas.
Ten´ıa entonces 15 a˜nos. El curso, impartido por Hippolyte Jean Vernier, despert´o el genio
matem´atico de Galois. Tras engullir a toda velocidad los manuales al uso, fue derecho
hacia las obras maestras de la ´epoca, devorando los ¨El´ements de G´eom´etrie de Adrien
Marie Legendre, emprendi´endola inmediatamente con las memorias originales de Joseph
Louis Lagrange: La resoluci´on de ecuaciones algebraicas, La teor´ıa de funciones anal´ıticas
y Lecciones sobre el c´alculo de funciones. Fue sin duda de Lagrange de qui´en aprendi´o por
vez primera la teor´ıa de ecuaciones, teor´ıa a la que ´el mismo habr´ıa de realizar contribu-
ciones fundamentales a lo largo de los cuatro a˜nos siguientes. El descubrimiento de las
matem´aticas provoc´o un sorprendente cambio en la personalidad de Galois. Empez´o a des-
cuidar las otras materias, atrayendo hacia s´ı la hostilidad de los profesores de humanidades.
Incluso Vernier, aunque sin pretender enfriar la pasi´on matem´atica de Galois, le insisti´o en
la necesidad de trabajar m´as sistem´aticamente. Galois decidi´o en cambio presentarse al
examen de ingreso en la ´Ecole Polytechnique con un a˜no de anticipaci´on y sin el curso de
6
7. Evariste Galois Historia de las matem´aticas
preparaci´on matem´atica habitual. Careciendo de formaci´on fundamental, fue rechazado.
Galois consider´o su fracaso como una injusticia, y ello endureci´o su rechazo a la autori-
dad. No obstante, continu´o progresando r´apidamente en matem´aticas, matricul´andose en el
curso superior de esta ciencia en el Louis-de-Grand, impartido por el profesor Louis-Paul-
´Emile Richard, quien se percat´o inmediatamente de las dotes de Galois, solicitando que
fuera admitido sin examen previo en la ´Ecole Polytechnique. Aunque su recomendaci´on no
fue atendida, el est´ımulo de Richard produjo en Galois resultados espectaculares.
En 1829, siendo todav´ıa estudiante, Galois logr´o publicar su primer trabajo. Se titulaba
Demostraci´on de un teorema sobre fracciones continuas peri´odicas, y apareci´o en Annales
de math´ematiques pures et appliqu´ees, de Joseph Diaz Gergonne. Este art´ıculo, sin em-
bargo, s´olo fue un peque˜no aporte. Galois hab´ıa ya dirigido su atenci´on hacia la teor´ıa de
ecuaciones, tema que hab´ıa explorado por primera vez en las obras de Lagrange. A sus 17
a˜nos estaba atacando uno de los m´as dif´ıciles problemas de las matem´aticas; un problema
que hab´ıa mantenido en jaque a los matem´aticos durante m´as de un siglo. Lo que Galois
consigui´o fue dar criterios definitivos para determinar si las soluciones de una ecuaci´on
polin´omica podr´an o no calcularse por radicales. Sin embargo, m´as notables quiz´a que los
descubrimientos de Galois en teor´ıa de ecuaciones fuesen los m´etodos que ide´o para estu-
diar el problema. Sus investigaciones abrieron las puertas de una teor´ıa cuyas aplicaciones
desbordan con mucho los l´ımites de la teor´ıa de ecuaciones: la teor´ıa de grupos. Galois
present´o a la Academia de Ciencias Francesa sus primeros art´ıculos sobre lo que llegar´ıa a
ser teor´ıa de grupos. Le faltaban menos de dos meses para examinarse por segunda vez de
las pruebas de acceso a ´Ecole Polytechnique, pero los acontecimientos de su vida habr´ıan
de tomar un desdichado giro.
Apenas unas semanas antes del examen, el padre de ´Evariste puso fin a su vida, as-
fixi´andose en su apartamento de Par´ıs. Las circunstancias en las que se planteaba el examen
de ingreso eran las peores posibles. Adem´as, al parecer, ´Evariste declin´o seguir en su exposi-
ci´on las indicaciones del examinador y fue suspendido por segunda y definitiva vez. Estos
dos desastres hicieron cristalizar su odio por la jerarqu´ıa conservadora, entonces gober-
nante en Francia. Vi´endose obligado a tomar en consideraci´on la menos prestigiosa ´Ecole
Normale, Galois se present´o a los ex´amenes de bachillerato necesario para ser admitido,
en noviembre de 1829. Esta vez fue aprobado en raz´on de una excepcional calificaci´on en
matem´aticas, recibiendo la categor´ıa de universitario aproximadamente al mismo tiempo
que sus trabajos sobre teor´ıa de grupos iban a ser presentados a la Academia de Ciencias.
Sus art´ıculos, sin embargo, nunca llegar´ıan a ver la luz del d´ıa. Cuando sus trabajos fueron
recibidos por la Academia, fueron enviados a Jean Baptiste Joseph Fourier, matem´atico
inventor del hoy llamado an´alisis arm´onico o an´alisis de Fourier, en su calidad de secre-
tario perpetuo de la Academia. Desgraciadamente Fourier muri´o en mayo, y el art´ıculo de
Galois no pudo hallarse entre los efectos de Fourier. M´as tarde, Galois atribuir´ıa su mala
suerte a un malvado intento de la Academia, acusando al jurado de rechazar su trabajo de
antemano, por ser su autor de nombre Galois, y adem´as, tan s´olo un estudiante.
Pocas dudas caben hoy de que la actitud de Galois hacia las autoridades empezaba a
mostrar rasgos paranoides. A pesar de estos retrasos y desenga˜nos, Galois continu´o siendo
7
8. Evariste Galois Historia de las matem´aticas
matem´atico productivo y empez´o a publicar en el Bulletin des sciences math´ematiques,
astronomiques, physiques et chimiques del Bar´on de F´erussac. Sus art´ıculos prueban clara-
mente que en 1830 hab´ıa ido m´as all´a que ning´un otro matem´atico en la b´usqueda de las
condiciones que determinan la solubilidad de las ecuaciones, si bien no dispon´ıa todav´ıa de
un an´alisis completo. En enero de 1831, hab´ıa llegado a una conclusi´on, que someti´o a la
Academia en una nueva memoria, escrita a petici´on del matem´atico Sime´on Denis Poisson.
Esta memoria es la m´as importante de las obras de Galois. Poisson hizo cuanto pudo para
comprender el manuscrito, pero acab´o recomendando a la Academia que lo rechazase y
animando a Galois a desarrollar y explicitar su exposici´on.
Por la ´epoca en que Galois hab´ıa terminado casi su trabajo en teor´ıa de grupos, los
acontecimientos de su vida hab´ıan cobrado fuerte tinte pol´ıtico.En julio de 1830 la oposici´on
republicana tom´o las calles y oblig´o a exiliarse al rey Carlos X. Mientras los estudiantes
izquierdistas de la ´Ecole Polytechnique tuvieron en la lucha un papel activo, Galois y sus
compa˜neros de la ´Ecole Normale fueron encerrados en la escuela por su director. Indignado,
Galois intent´o sin ´exito escalar los muros: al no conseguirlo no tom´o parte en la breve rev-
oluci´on. Aunque los republicanos consideraron que la abdicaci´on del Borb´on fue una gran
victoria, su triunfo fue ef´ımero. Para frustraci´on de Galois y de otros liberales de ideolog´ıa
af´ın, el trono fue nuevamente ocupado, esta vez por Luis Felipe de Orl´eans. En los meses
inmediatos a la revoluci´on, Galois entr´o en contacto con l´ıderes republicanos, ingres´o en
sociedades republicanas y, veros´ımilmente, intervino en las algaradas y manifestaciones
que por entonces atormentaban Par´ıs. En diciembre de 1830, la ruptura de Galois con la
´Ecole Normale era ya oficial. Galois hab´ıa escrito una carta a su director, donde le llamaba
traidor por su actitud durante la revoluci´on de julio. No sorprende, pues, que lo expulsaran.
Tras su expulsi´on de la ´Ecole Normale se mud´o al piso de su madre en Par´ıs; tan dif´ıcil
resultaba convivir con ´el, que su propia madre le abandon´o. El suceso culminante de la
turbulenta primavera de 1831 ocurri´o durante un banquete republicano done se celebraba
la absoluci´on de 19 oficiales de artiller´ıa que hab´ıan sido acusados de conspirar contra el
gobierno. Galois se puso en pie para proponer un brindis: ”¡Por Luis Felipe!”, dijo, alzando
al mismo tiempo su copa y un pu˜nal. A causa de esta acci´on desafiante fue detenido al d´ıa
siguiente y encarcelado durante m´as de un mes en la prisi´on de Sainte-P´elagie. En el juicio,
la defensa de Galois sostuvo que el brindis hab´ıa sido: ”¡Por Luis Felipe, si traiciona!”pero
la frase ”si traiciona”hab´ıa quedado ahogada por el clamor de los comensales. No se sabe
si los jurados creyeron este alegato o si se conmovieron por la juventud de Galois, que
contaba entonces con 19 a˜nos; lo cierto es que le absolvieron en pocos minutos. Sin em-
bargo, en el d´ıa de la Bastilla, el 14 de julio de 1831, menos de un mes despu´es de su
absoluci´on, Galois fue nuevamente detenido, esta vez por vestir ilegalmente el uniforme
de la Guardia de Artiller´ıa. Considerado amenaza para el trono, este cuerpo hab´ıa sido
disuelto; el gesto de Galois fue, por consiguiente, un acto de desaf´ıo. Esta vez durmi´o ocho
meses en Sainte-P´elagie. La permanencia en prisi´on tuvo sobre Galois efectos devastadores,
quien pasaba del m´as profundo desaliento a la ira ciega. Con ocasi´on de la muerte de un
tiro de un compa˜nero de prisi´on, parece que Galois acus´o al superintendente de la c´arcel
de haber ama˜nado el incidente. Galois fue entonces encerrado en la celda de castigo, quiz´as
8
9. Evariste Galois Historia de las matem´aticas
a consecuencia de la acusaci´on. Pese a todas estas calamidades, quiz´as el peor golpe para
Galois fuera ver su trabajo de 1831 rechazado por la Academia. A mediados de marzo
de 1832 se le traslad´o de Sainte-P´elagie a la casa de salud Sieur Faultrier, a causa de la
epidemia de c´olera que sufri´o Par´ıs. Al parecer fue all´ı donde conoci´o a una mujer con la
que mantuvo una relaci´on que tuvo que ser de poca duraci´on. Dos cartas fragmentarias le
fueron escritas a Galois en las semanas anteriores al duelo, cartas que hacen pensar en una
disputa de car´acter personal. La primera carta comienza:
”Por favor, rompamos nuestras relaciones. No tengo ´animo para proseguir una corre-
spondencia de esta naturaleza, aunque me esforzar´e en reunir el suficiente para conversar
contigo como lo hac´ıa antes de que nada sucediera...”
La segunda carta es de contenido semejante, y la primera de ellas lleva la firma
”St´ephanie D.”. Al parecer, era hija de un m´edico residente en Sieur Faultrier. Por tanto,
la ”infame coqueta.a quien Galois culpa de sus desgracias en una carta escrita la noche
anterior al duelo era seguramente esta mujer, cuyo nombre aparece con frecuencia en los
m´argenes de los papeles de Galois: ”Muero v´ıctima de una coqueta infame y de sus dos en-
candilados.” Si embargo, en el duelo en el que Galois perdi´o la vida, el adversario era como
´el, un ardiente republicano. M´as a´un, al parecer, era uno de los 19 oficiales de la Guardia
de Artiller´ıa cuya absoluci´on fue ocasi´on del desafiante brindis que Galois ofreci´o al rey.
El duelo fue entre amigos y se desarroll´o como una especie de ruleta rusa estando cargada
solamente una de las pistolas.
4. La teor´ıa de Galois
La idea genial bajo la teor´ıa de Galois es que se pueden representar ciertos conjuntos
asociados a la soluci´on de ecuaciones algebraicas mediante grupos de simet´ıas.
4.1. Ecuaci´on general de segundo grado
Partimos de la expresi´on x2
+ bx + c = 0.
Considerando sus ra´ıces r1 y r2 como variables arbitrarias, los coeficientes b y c vienen
dados por funciones polin´omicas sim´etricas de ellas:
x2
+ bx + c = (x − r1)(x − r2) ⇒b = b(r1, r2) = −r1 − r2
c = c(r1, r2) = r1 · r2
La f´ormula para resolver la ecuaci´on (hallar r1 y r2 a partir de b y c) es −b±
√
b2−4c
2
9
10. Evariste Galois Historia de las matem´aticas
donde el radical obra el milagro de pasar una funci´on sim´etrica en r1 y r2, concretamente
b2
− 4c = (r1 + r2)2
− 4r1r2 a dos funciones no sim´etricas
√
b2 − 4c = ± (r1 − r2)
consideremos el conjunto K0 de todas las expresiones que se pueden obtener a partir
de b y c haciendo sumas, restas, multiplicaciones y divisiones, por ejemplo b
(c2−b)
+ b2
∈ K0
y K1 = K0
√
b2 − 4c definido de igual manera que K0 pero permitiendo tambi´en operar
con
√
b2 − 4c.
Se tiene b, c ∈ K0 y r1, r2 ∈ K1, de forma que el paso de K0 a K1 representa resolver
la ecuaci´on. Como las funciones de K0 son invariantes al permutar sus dos variables (r1 y
r2), diremos que su grupo de simetr´ıas es S2, mientras que las funciones de K1 no son en
general sim´etricas de ning´un modo y por tanto le asignaremos el grupo trivial de simetr´ıas
{id}.
K0
√
K1 = K0
√
b2 − 4c
S2 = G0 G1 = {id}
No hay duda de la normalidad porque G1 tiene ´ındice 2 respecto de G0, es decir
|S2|
|{id}|
= 2.
4.2. Ecuaci´on general de tercer grado
Sea x3
+ bx2
+ cx + d = 0, de nuevo b, c y d se pueden considerar como funciones
sim´etricas en las variables r1, r2 y r3 que representan las ra´ıces:
x3
+ bx2
+ cx + d = (x − r1) (x − r2) (x − r3) =⇒ b = b (r1, r2, r3) = −r1 − r2 − r3
c = c (r1, r2, r3) = r1r2 + r1r3 + r2r3
d = d (r1, r2, r3) = −r1r2r3
La f´ormula (ver ”Calculus”, M. Spivak, ed. Reverte 1990, p´ag. 642) para resolver la
ecuaci´on es en este caso bastante m´as complicada y se puede escribir como
−
b
3
+
t
3
+
b2
− 3c
3t
, con t =
3
√
E
10
11. Evariste Galois Historia de las matem´aticas
donde
E =
9bc − 2b3
− 27d +
√
D
2
y D = 9bc − 2b3
− 27d
2
+ 4 3c − b2 3
.
En conclusi´on, la resoluci´on de la ecuaci´on pasa por hallar primero una ra´ız de D y
despu´es otra c´ubica (trivaluada) de E. Sustituyendo b, c y d en t´erminos de las ra´ıces
vemos que:
D = −27 (r1 − r2)2
(r1 − r3)2
(r2 − r3)2
y E = r1 + ζr2 + ζ2
r3
3
donde ζ es una ra´ız c´ubica no trivial de la unidad, esto es,
ζ =
−1 ± i
√
3
2
De nuevo se observa la p´erdida de simetr´ıas por medio de los radicales: D es una funci´on
sim´etrica en r1, r2 y r3, mientras que
√
D no lo es, aunque perduran algunas simetr´ıas por
ejemplo
√
D es invariante al cambiar (r1, r2, r3) −→ (r2, r3, r1). Tambi´en E goza de las
mismas simetr´ıas que
√
D pero al extraer la ra´ız c´ubica se pierden todas ellas.
Utilizando la misma notaci´on que para la ecuaci´on de segundo grado, el esquema re-
sultante es
K0
√
K1 = K0
√
D 3
√
K2 = K1
3
√
E
S3 = G0 G1 = A3 G2 = {id}
donde:
A3 son las permutaciones pares, generadas por (r1, r2, r3) −→ (r2, r3, r1). Si llamamos
a esta permutaci´on α entonces se tiene A3 = α = {id, α, α2
}.
S3 es el grupo sim´etrico de tres elementos, esto es,S3 = {id, α, α2
, β, αβ, α2
β},donde
α es la permutaci´on anterior y β es una transposici´on.
La normalidad de A3 en S3 se justifica f´acilmente porque el ´ındice es |S3|
|A3|
= 2. Es evi-
dente que {id} tambi´en es un subgrupo normal de A3 por la propia definici´on de normalidad
(H G ⇔ xHx−1
⊂ H, ∀x ∈ G).
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12. Evariste Galois Historia de las matem´aticas
4.3. Ecuaci´on general de cuarto grado
Para resolver la ecuaci´on de cuarto grado la f´ormula es much´ısimo m´as compleja. En
una de las maneras de escribirla hay que hacer:
F −
√
F − 3
√
G −
√
H −
√
I
al expresar todo en t´erminos de las variables r1, r2, r3 y r4, que representan las ra´ıces,
el fen´omeno de p´erdida de simetr´ıas se repite, desde F que las tiene todas, hasta
√
I que
no tiene ninguna.
En este caso se tiene
K0
√
K1 = K0
√
F 3
√
K2 = K1
3
√
G
√
K3 = K2
√
H
√
K4 = K3
√
I
G0 G1 G2 G3 G4 = {id}
siendo:
G0 = S4 el grupo sim´etrico de 4 elementos.
G1 = A4 el subgrupo de las permutaciones pares, es decir, el generado por σ =
(r1, r2) (r3, r4) , τ = (r1, r3) (r2, r4) y λ = (r1, r2, r3).
G2 = σ, τ = {id, σ, τ, στ} donde σ y τ son las permutaciones descritas anterior-
mente. En particular G2
∼= Z2 ×Z2, puesto que tienen el mismo n´umero de elementos,
todos ellos de orden 2 salvo la identidad (y por tanto existe un isomorfismo).
G3 = σ = {id, σ} ∼= Z2.
A4 es subgrupo normal de S4 porque tiene ´ındice |S4|
|A4|
= 24
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= 2.
Para comprobar que G2 es subgrupo normal de A4 basta aplicar la definici´on a λ,
porque que los otros elementos ya est´an en G2:
λ−1
σλ = τ ⊂ G2
λ−1
τλ = στ ⊂ G2
⇒ A4 G2
El resto de los subgrupos tambi´en son normales porque tienen ´ındice 2.
De esta forma reflejamos el m´etodo para resolver las ecuaciones de grado n = 2, 3, 4 en
una ”cadena ” de subgrupos que empiezan en Sn (grupo de Galois) y acaba en {id}. Adem´as
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-y aqu´ı est´a la clave de las aportaciones de Galois- siempre que empleemos radicales para
romper simetr´ıas cada subgrupo debe ser normal en el anterior (Gi Gi+1), para cualquier
ecuaci´on algebraica particular, la estructura interna de K0 est´a fielmente reflejada en la
estructura del grupo de Galois, lo cu´al es realmente destacable porque permite pasar de
estudiar un conjunto infinito y de alguna forma continuo a otro finito discreto ( ).
5. Ecuaci´on general de quinto grado: la gran inc´ogni-
ta.
Aplicando el m´etodo anterior nos damos cuenta de que no existe ninguna cadena de sub-
grupos desde S5 a {id} siendo cada uno subgrupo normal del anterior. As´ı, no ser´a posible
escribir una expresi´on del tipo
S5
√
A5 . . . {id}
porque A5 no tiene subgrupos normales propios (de hecho no los tiene ning´un An, n ≥
5). La cadena se corta y nos faltan por hacer los radicales 5
√
, 3
√
,
√
,
√
.
Por tanto no existe una f´ormula para resolver la ecuaci´on de quinto grado usando s´olo
sumas, restas, multiplicaciones, divisiones y radicales (teorema de Abel). Lo mismo se
aplica a la ecuaci´on general de grado n > 5. Evidentemente hay casos particulares, como
por ejemplo x6
− 7 = 0 que s´ı puede resolverse por radicales.
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Referencias
[1] J.R. Dorronsoro, E. Hern´andez N´umeros, grupos y anillos, 1996 Addison-Wesley
Iberoamericana-UAM
[2] H.M. Edwards Galois theory, 1998 Ed. Springer
[3] F. Corbal´an Galois. Revoluci´on y matem´aticas, 2000 Ed. Nivola
[4] Boyer, Carl B. Historia de la matem´atica, Alianza Editorial
[5] http://www.uam.es/personal_pdi/ciencias/fchamizo/algebraIIn.html
[6] http://www.mat.usach.cl/histmat/html/galo.html
[7] http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd97/Biografias/05-2-b-galois.html
[8] http://www.divulgamat.net/weborriak/Historia/MateOspetsuak/Galois3.asp
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