Cinco ejercicios resueltos sobre distribución de probabilidades discretas

1. INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITÉCNICO SANTIAGO MARIÑO
EXTENSIÓN MÉRIDA
ING. INDUSTRIAL (45)
DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDADES
DISCRETAS
1. Se toma una muestra de 10 sin reemplazo de un cuerpo estudiantil de 100
estudiantes de cierta universidad, se descubre que hay 3 estudiantes extranjeros en
la muestra. ¿Cuál sería la probabilidad aproximada si hay 5 estudiantes extranjeros
en la universidad?
Se trata de una distribución Hipergeométrica cuya fórmula es:
( )
( )( )
( )
Fórmula 1
Dónde:
N= 100 estudiantes
n= 10 (muestra)
k= 5 estudiantes extranjeros
x= 3 estudiantes extranjeros
De manera que al sustituir los valores en la fórmula
( )
( ) ( )
( )
La probabilidad de escoger 3 estudiantes extranjeros en una muestra de 10 es de
0.638%

2. 2. La producción de cierto proceso de manufacturero es defectuosa en 1%. En una
muestra aleatoria de 200 productos tomada con reemplazo; Cuál es la probabilidad
de: a) ninguna sea defectuosa, b) de que a lo sumo 1 sea defectuosa.
Ejercicio de tipo Binomial y su respectiva fórmula es:
( ) ( ) Fórmula 2
Dónde:
p = 0.01 éxito
q = 1-p = 0.99 fracaso
a) P (X = 0)
b) P(X ≥ 1)
La parte a) se calcula de la siguiente manera:
( ) ( )
De manera que la parte b) se calcula con el complemento ( ) ( )
( )
3. Para evitar que lo descubran en la aduana, un viajero ha colocado 6 tabletas de
narcóticos en una botella que contiene 9 píldoras de vitaminas que son similares en
apariencia. Si el oficial de la aduana selecciona 3 tabletas aleatoriamente para
analizarlas. ¿Cuál es la probabilidad de que el viajero sea arrestado por posesión
ilegal de narcóticos?
Distribución Hipergeométrica, utilizando la fórmula 1 y siendo:
N= 15 píldoras
n= 3 píldoras
k= 6 narcóticos
( )
( ) ( )
( )
Aplicando luego el complemento se tiene que:

3. ( )
81.5% es la probabilidad de que el viajero sea arrestado por posesión de narcóticos.
4. Una cooperativa agrícola sostiene que 25% de las lechosas embarcadas están
maduras. Obtenga la probabilidad de que entre ocho lechosas embarcadas: a) como
mínimo seis estén maduras, b) como máximo cuatro estén maduras.
Distribución Binomial
Siendo:
n= 8 lechosas
p = 0.25
q = 0.75
a) P (X ≥ 6)
b) P (X≤ 4)
Aplicando la fórmula 2
Para a):
( ) ( )
Existe una probabilidad del 0.38% de que como mínimo seis lechosas estén
maduras
Para b):
( ) ( )
Existe una probabilidad del 86.52% de que como máximo cuatro lechosas estén
maduras
5. Supongamos que el número de imperfecciones de un alambre delgado de cobre
sigue una distribución Poisson con una medida de 2.3 imperfecciones por
milímetro. a) Determine la probabilidad de 2 imperfecciones en un milímetro de
alambre, b) Determine la probabilidad de al menos una imperfección en 2mm de
alambre.
Distribución de Poisson, ( )
( )
Fórmula 3

4. Dónde:
λt = n.p
a) λt = 2.3
b) λt = 2*2.3= 4.6mm
Sustituyendo los valores en la fórmula 3 para:
a) ( )
( )
La probabilidad de que haya 2 imperfecciones en un milímetro de alambre es
del 26.52%
b) P (X ≥ 1)
( )
( )
Entonces: P (X ≥ 1) =
La probabilidad de que haya al menos una imperfección en dos milímetros de
alambre es del 98.99%