UNIDAD3

1. UNIDAD 3: PENSAMIENTO GEOMÉTRICO Y ANALÍTICO.
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD
LICENCIATURA EN MATEMÁTICAS
ZONA SUR CEAD FLORENCIA
NOVIEMBRE 2020

2. LAS CURVAS CÓNICAS
 Menaechmus fue el que descubrió las secciones
cónicas y que fue el primero en enseñar que las
parábolas, hipérbolas y elipses eran obtenidas al
cortar un cono en un plano no paralelo a su base.
https://alchetron.com/Menaechmus
 Apollonius: Describió las cónicas como las
curvas formadas cuando un plano intersecta la
superficie de un cono.
https://images.app.goo.gl/oZz6BnWSH71tzNDy5
Fueron estudiadas por matemáticos de la escuela Griega, entre estos los mas destacados:

3. Elipse
 Un elipse es, que el locus de los puntos por los cuales la suma de sus
distancias de dos puntos determinados, es constante. Entre más pequeña
sea la distancia de el foco, la excentricidad disminuirá y el elipse se
parecerá más a un círculo. El eje menor es perpendicular al eje mayor
por el centro en el punto en el que la distancia es igual de el foco.
El foco es simétrico a sus dos ejes, la curva formada cuando se rota el elipse
se llama elipsoide de revolución, o esferoide.
La ecuación de un elipse es x2/a2 +y2/b2=1
 La distancia de el diámetro mayor es 2a, la distancia de el diámetro
menor es 2b. Si c es tomada como la distancia desde el origen hasta el
foco, entonces c2= a2 - b y el foco de la curva podría ser localizado
cuando los diámetros menor y mayor se saben.
Ecuación de la Elipse:
(𝑥 − ℎ) 2 + (𝑦 − 𝑘) 2 = 1 𝐶𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 = (ℎ, 𝑘)
𝑎2 𝑏2
Vértices = (ℎ, 𝑘 + 𝑎) 𝑦 (ℎ + 𝑎, 𝑘)
Focos = (ℎ, 𝑘 + 𝑐)
https://images.app.goo.gl/8izNHQNNVvEi1eR97

4. Hipérbola
 Es una curva plana que es el camino de un punto al moverse,
para que el radio de la distancia desde algún punto fijo (foco),
hacia la distancia de otro punto fijo (directriz), es constante
mayor a uno. La hipérbola por su simetría, tiene dos focos.
Si una línea es dibujada por el foco y prolongada después de el eje
transversal de la hipérbola, perpendicular a ese eje, e intersectándolo
en el centro geométrico de la hipérbola, un punto a la mitad entre los
dos focos, ahí se encuentra el aje conjugado. La hipérbola es
simétrica con respecto a sus dos ejes.
Dos líneas simétricas, las asíntotas de la curva, pasa por el centro
geométrico. Ha hipérbola no toca las asíntotas, pero su distancia con
ellas se acorta, pero nunca llegan a intersectarse.
 Ecuación de la Hipérbola:
(𝑦 − 𝑘) 2 − (𝑥 − ℎ) 2 = 1 𝐶𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 = (ℎ, 𝑘)
𝑏2 𝑎2
Vértices = (ℎ, 𝑘 + 𝑏)
Focos = (h, k+c)
https://images.app.goo.gl/xtx8LyGaqTrw4rwP7

5. Diferencia entre una hipérbola y una elipse
La hipérbola es la distancia del conjunto de
los puntos (𝑥, 𝑦)
 La elipse es la suma de la distancia del
conjunto de los puntos (𝑥, 𝑦)
https://images.app.goo.gl/ACHJP2vacRyRhPXH9
https://images.app.goo.gl/XPdCKUGiiNspG6rJ6

6. Utilización de la elipse y la hipérbola en la vida
cotidiana
 Elipse: En el diseño de la estructura de los estadios
deportivos, al ser las tribunas de forma elíptica,
todo el público podrá apreciar el espectáculo de la
misma manera. También la elipse es usada en la
construcción de puentes y viaductos por dos
razones: en primer lugar por la estética que da
una forma ovalada y en segundo por que al se de
forma elíptica la carga del puente es trasfería
hacia los apoyos mediante la compresión del arco
haciendo mas efectiva la distribución de cargas.
 Hipérbola: Se puede utilizar en
construcciones con la forma hiperboloide, ya
que la resistencia a la torsión y a la compresión
es optimizada por esta forma.
https://images.app.goo.gl/44Djbb29iVpMt9Yd9
https://images.app.goo.gl/wAS1iWGL9j6eGa8V6

7. Parábola
 Es la sección resultante de cortar un cono
recto con un plano. Se define también como
el lugar geométrico de los puntos de un
plano que equidistan de una recta
llamada directriz y un punto exterior a ella
llamado foco.
 Ecuación:
 Utilización en la vida cotidiana
Se la utiliza en la construcción de puentes de alta
resistencia, ,el cable toma una forma parabólica por
dos razones: soporta su propio peso y el del puente en
sí. En el campo de la construcción y diseño la
parábola es utilizada para dar un mejor diseño a las
construcciones.
x=ay²+by+c;
y=ax²+bx+c;
y²=±4px;
x²=4py
https://images.app.goo.gl/SVnt39E8G6EKcN9N7

8. Circunferencia
 La circunferencia es una curva plana
y cerrada donde todos sus puntos están
a igual distancia del centro. Una
circunferencia es el lugar geométrico
de los puntos de un plano que
equidistan de otro punto fijo y
coplanario llamado centro en una
cantidad constante llamada radio.
 Ecuaciones de la circunferencia:
𝑥 − ℎ 2
+ 𝑦 − 𝑘 2
= 𝑟2
;
𝑥² + 𝑦² + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0
 El circulo se lo puede usar para muchas
construcciones arquitectónicas ya que una de
sus ventajas es, ahorro de superficies y
cerramientos, aumenta la eficiencia energética,
etc.
https://images.app.goo.gl/ZJmNzPMokyrNfsMLA

9. Geometría Analítica
 Dedicada al estudio en profundidad de las figuras
geométricas y sus respectivos datos, tales como
áreas, distancias, volúmenes, puntos de
intersección, ángulos de inclinación, etcétera. Para
ello emplea técnicas básicas de análisis
matemático y de álgebra.
 Utiliza un sistema de coordenadas conocido como
el Plano cartesiano, que es bidimensional y está
compuesto por dos ejes: uno de abscisas (eje x) y
otro de ordenadas (eje y). Allí se pueden estudiar
todas las figuras geométricas que sean de
nuestro interés, asignando a cada punto de la
misma un lugar puntual de coordenadas (x, y).
https://images.app.goo.gl/k9s2HjyyqTPwboE99

10. Importante
 Para comprender el comportamiento de las cónicas es Transcendental
reconocer la estructura algebraica de cada figura (Ecuación canónica y
general para cada cónica). Por eso es importante que en el estudio de la
geometría analítica los conceptos estudiados y aprendidos del álgebra se
mantengan (Productos notables, competición del cuadrado de un trinomio y
el despeje de variables).
https://images.app.goo.gl/JWtcmWgzHTAs4qn59

11. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
 https://joseisraeljb.wordpress.com/2014/10/17/aplicacion-de-las-conicas-y-
matrices/
 https://concepto.de/geometria-analitica/
 https://html.rincondelvago.com/elipse-e-
hiperbola_1.html#:~:text=La%20diferencia%20entre%20estas%20dos,punt
os%20(x%2Cy).&text=Es%20una%20cueva%20cerrada%2C%20la,alg%C3%BA
n%20elemento%20de%20el%20cono.