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Integrales dobles
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- 2. C´alculo vectorial Integrales dobles Integrales dobles Dominio de un campo escalar Regiones de inte- graci´on Integrales dobles C´alculo vectorial Daniel Garz´on Departamento de Matem´aticas F´ısica y Estad´ıstica Universidad de La Sabana Integrales dobles Integrales dobles C´alculo vectorial
- 3. C´alculo vectorial Integrales dobles Integrales dobles Dominio de un campo escalar Regiones de inte- graci´on Integrales dobles Dominio de un campo escalar Regiones de integraci´on En esta lecci´on estudiaremos el sentido e interpretaci´on geom´etrica de una integral doble, aprenderemos a calcular integrales dobles sobre regiones planas arbitrarias, y clasificaremos estas regiones en dos tipos, cuando la regi´on de integraci´on es definida por las propiedades de la funci´on, o cuando la regi´on de integraci´on es definida por la propiedades intr´ınsecas de la misma regi´on. Figura: 5 0 5 0 xy − 1 5 dxdy Integrales dobles C´alculo vectorial
- 4. C´alculo vectorial Integrales dobles Integrales dobles Dominio de un campo escalar Regiones de inte- graci´on Integrales dobles Dominio de un campo escalar Regiones de integraci´on ¿Qu´e es una integral doble? Definici´on La integral doble de una funci´on f(x, y) en dos variables positiva, se puede interpretar como el volumen acotado por el gr´afico de la funci´on y el plano xy, en la practica una integral doble, es una integral unidimensional reiterada. Ejemplo Calcular la integral doble de la funcion f(x, y) = 1 − x2 − y2, sobre la region definida por x2 + y2 ≤ 1. El grafico de la funcion f(x, y) = 1 − x2 − y2 en la regi´on definida por, x2 + y2 ≤ 1, es claramente media esfera centrada en el origen de radio 1, por tanto tenemos que x2+y2≤1 1 − x2 − y2dxdy = 2π 3 Integrales dobles C´alculo vectorial
- 5. C´alculo vectorial Integrales dobles Integrales dobles Dominio de un campo escalar Regiones de inte- graci´on Integrales dobles Dominio de un campo escalar Regiones de integraci´on Definici´on Normalmente las regiones donde debemos calcular una integral vienen definidas por la propiedades geom´etricas de la funci´on, o por las propiedades geom´etricas de la regi´on. Nosotros las dividiremos en dos tipos. Figura: Regi´on de integraci´on Integrales dobles C´alculo vectorial
- 6. C´alculo vectorial Integrales dobles Integrales dobles Dominio de un campo escalar Regiones de inte- graci´on Integrales dobles Dominio de un campo escalar Regiones de integraci´on Tipo 1 La regi´on de integraci´on no depende de la funci´on y la integral queda definida por las propiedades geom´etricas intr´ınsecas de la regi´on de integraci´on en si. En este caso, la regi´on se subdivide en tantas subregiones como sean necesarias, cumpliendo que la primera variaci´on en x o y tenga una ´unica expresi´on en el limite inferior y una ´unica expresi´on en el limite superior. En este ejemplo, es necesario dividir la regi´on en dos, aunque la regi´on de integraci´on esta definida por una expresi´on ´unica. Esto ya que la variaci´on inferior de y tiene dos expresiones y = x e y = −x Integrales dobles C´alculo vectorial
- 7. C´alculo vectorial Integrales dobles Integrales dobles Dominio de un campo escalar Regiones de inte- graci´on Integrales dobles Dominio de un campo escalar Regiones de integraci´on Tipo 2 La regi´on de integraci´on esta definida por las propiedades geom´etricas de la funci´on, en este caso la funci´on se puede ver como definida a trozos, sobre subregiones de la regi´on original, y se integra cada funci´on sobre la subregion correspondiente. Veamos un ejemplo: Ejemplo D y − x2 dxdy D = {(x, y); −2 ≤ x ≤ 2, x2 ≤ y ≤ 4} En este caso la funci´on f(x, y) = y − x2 queda definida como una funcion a trozos de la siguiente manera y − x2 = 0 si 0 ≥ y − x2 < 1 1 si 1 ≥ y − x2 < 2 √ 2 si 2 ≥ y − x2 < 3 √ 3 si 3 ≥ y − x2 < 4 Integrales dobles C´alculo vectorial
- 8. C´alculo vectorial Integrales dobles Integrales dobles Dominio de un campo escalar Regiones de inte- graci´on Integrales dobles Dominio de un campo escalar Regiones de integraci´on As´ı, al hacer la integral de la funci´on definida a trozos, esta se subdivide en cuatro integrales en las regiones definidas por la funci´on general, en este caso, de funciones constantes. D y − x2 dxdy = D3 1dxdy + D2 √ 2dxdy + D1 √ 3dxdy Integrales dobles C´alculo vectorial