Este documento trata sobre integrales dobles. Explica qué son las integrales dobles, cómo se pueden interpretar geométricamente y calcular sobre regiones planas arbitrarias. Además, clasifica las regiones de integración en dos tipos: cuando la región depende de las propiedades de la función o cuando depende de las propiedades intrínsecas de la región. Finalmente, provee ejemplos para ilustrar estos conceptos.

2. C ´ALCULO VECTORIAL
Daniel Garz´on
Departamento de Matem´aticas, f´ısica y Estad´ıstica
Universidad de La Sabana

3. INTEGRALES DOBLES
En esta lecci´on estudiaremos el sentido e interpretaci´on geom´etrica de una
integral doble, aprenderemos a calcular integrales dobles sobre regiones planas
arbitrarias, y clasificaremos estas regiones en dos tipos, cuando la regi´on de
integraci´on es definida por las propiedades de la funci´on, o cuando la regi´on
de integraci´on es definida por la propiedades intr´ınsecas de la misma regi´on.
FIGURA:
5
0
5
0
xy − 1
5
dxdy

4. INTEGRALES DOBLES INTEGRALES DOBLES
¿QU ´E ES UNA INTEGRAL DOBLE?
DEFINICI ´ON
La integral doble de una funci´on f(x, y) en dos variables
positiva, se puede interpretar como el volumen acotado por el
gr´afico de la funci´on y el plano xy, en la practica una integral
doble, es una integral unidimensional reiterada.
EJEMPLO
Calcular la integral doble de la funcion
f(x, y) = 1 − x2 − y2, sobre la region definida por
x2 + y2 ≤ 1.
El grafico de la funcion f(x, y) = 1 − x2 − y2 en la regi´on definida por,
x2 + y2 ≤ 1, es claramente media esfera centrada en el origen de radio 1, por
tanto tenemos que
x2+y2≤1
1 − x2 − y2dxdy =
2π
3

5. INTEGRALES DOBLES REGIONES DE INTEGRACI ´ON
DEFINICI ´ON
Normalmente las regiones donde debemos calcular una integral vienen
definidas por la propiedades geom´etricas de la funci´on, o por las propiedades
geom´etricas de la regi´on. Nosotros las dividiremos en dos tipos.
FIGURA: Regi´on de integraci´on

6. INTEGRALES DOBLES REGIONES DE INTEGRACI ´ON
TIPO 1
La regi´on de integraci´on no depende de la funci´on y la integral queda definida
por las propiedades geom´etricas intr´ınsecas de la regi´on de integraci´on en si.
En este caso, la regi´on se subdivide en tantas subregiones como sean
necesarias, cumpliendo que la primera variaci´on en x o y tenga una ´unica
expresi´on en el limite inferior y una ´unica expresi´on en el limite superior.
En este ejemplo, es necesario dividir la regi´on en dos, aunque la regi´on de
integraci´on esta definida por una expresi´on ´unica. Esto ya que la variaci´on
inferior de y tiene dos expresiones y = x e y = −x

7. INTEGRALES DOBLES REGIONES DE INTEGRACI ´ON
TIPO 2
La regi´on de integraci´on esta definida por las propiedades geom´etricas de la
funci´on, en este caso la funci´on se puede ver como definida a trozos, sobre
subregiones de la regi´on original, y se integra cada funci´on sobre la subregion
correspondiente. Veamos un ejemplo:
EJEMPLO
D
y − x2 dxdy D = {(x, y); −2 ≤ x ≤ 2, x2
≤ y ≤ 4}
En este caso la funci´on f(x, y) = y − x2 queda definida como una
funcion a trozos de la siguiente manera
y − x2 =



0 si 0 ≥ y − x2 < 1
1 si 1 ≥ y − x2 < 2
√
2 si 2 ≥ y − x2 < 3
√
3 si 3 ≥ y − x2 < 4

8. INTEGRALES DOBLES REGIONES DE INTEGRACI ´ON
As´ı, al hacer la integral de la funci´on definida a trozos, esta se subdivide en
cuatro integrales en las regiones definidas por la funci´on general, en este caso,
de funciones constantes.
D
y − x2 dxdy =
D3
1dxdy +
D2
√
2dxdy +
D1
√
3dxdy

9. BIBLIOGRAF´IA
BIBLIOGRAF´IA
Stewart, J.,Multivariable Calculus. Cengage learning (2012).
Marsden, J. & Tromba, A., C´alculo Vectorial Addison Wesley (1998).