Este documento trata sobre los campos escalares. Explica que un campo escalar es una función cuyo dominio es un subconjunto de Rn y su imagen es un subconjunto de R. Define el dominio de un campo escalar como el conjunto más grande en el cual tiene sentido el campo escalar. También introduce los conjuntos de nivel como el subconjunto de puntos en Rn que satisfacen que el campo escalar es igual a una constante c.
3. Campos
escalares
C´alculo
vectorial
Campos
escalares
Dominio
de un
campo
escalar
conjuntos
de nivel
Campos escalares
Dominio de un campo escalar
conjuntos de nivel
En esta lecci´on estudiaremos las propiedades mas b´asicas de los campos
escalares, aprenderemos a encontrar una una representaci´on gr´afica en el
espacio euclidiano cuando es posible, por ultimo estudiaremos el dominio
de un campo escalar.
Figura: f(x, y) = 4e−x2
−y2
C´alculo vectorial Campos escalares
4. Campos
escalares
C´alculo
vectorial
Campos
escalares
Dominio
de un
campo
escalar
conjuntos
de nivel
Campos escalares
Dominio de un campo escalar
conjuntos de nivel
¿Qu´e es un campo escalar?
Definici´on
Un campo escalar es una funci´on cuyo dominio es un
subconjunto A de Rn
con 1 ≤ n y cuya imagen es un
subconjunto B de R. A menos que se diga lo contrario, el
dominio de un campo escalar se define como el conjunto de
Rn
mas grande en el cual tiene sentido el campo escalar.
f(x) = x2
+
√
x + y
Ejemplo
f(x, y, z) = x2 + y2 + z2 la funci´on distancia euclidiana en R3
, el
dominio de f es R3
ya que la expresi´on x2 + y2 + z2 tiene sentido para
cualquier terna (x, y, z) ∈ R3
.
Observaci´on
Los campos escalares que usaremos en el curso. en su mayoria, tendran
dominios en R3
. o R2
.
C´alculo vectorial Campos escalares
5. Campos
escalares
C´alculo
vectorial
Campos
escalares
Dominio
de un
campo
escalar
conjuntos
de nivel
Campos escalares
Dominio de un campo escalar
conjuntos de nivel
Definici´on
Dado un campo escalar xn+1 = f(x1, x2, x3, ..., xn) definiremos como el
conjunto Nc al subjunto de Rn
de puntos (x1, x2, ..., xn) que satisfacen
f(x1, x2, ..., xn) = c donde c ∈ R.
Nc = {(x1, x2, ..., xn) ∈ Rn
; f(x1, x2, ...xn = c)}
Ejemplo
El conjunto de nivel para c = 1 del campo escalar
f(x, y) = tan(x + y) son las rectas x + y =
(2n + 1)π
4
con n ∈ Z
Figura: x + y =
(2n + 1)π
4
C´alculo vectorial Campos escalares
