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2. C ´ALCULO VECTORIAL
Daniel Garz´on
Departamento de Matem´aticas, f´ısica y Estad´ıstica
Universidad de La Sabana

3. SUPERFICIES PARAM ´ETRICAS.
De vital importancia en la f´ısica moderna, es el estudio de la geometr´ıa di-
ferencial de curvas y superficies. En el curso de c´alculo vectorial damos una
introducci´on hablando sobre superficies param´etricas, plano tangente a una su-
perficie en un punto, y la deducci´on del importante vector normal, concepto
primordial a la hora de definir la primera forma diferencial. Las superficies
ϕ(u, v) que queremos trabajar, son superficies donde las derivadas ∂ϕ(u,v)
∂u ,
∂ϕ(u,v)
∂v son linealmente independientes.

4. SUPERFICIES PARAM ´ETRICAS
SUPERFICIES PARAM ´ETRICAS
Consideremos
ϕ(u, v) = x(u, v)i + y(u, v)j + z(u, v)k = (x(u, v), y(u, v), z(u, v))
Es unn funci´on de valor vectorial definida sobre una regi´on D en el plano uv.
As´ı que x, y, z son las componentes de r. Al conjunto de puntos
(x, y, z) ∈ R3 tales que
x = x(u, v), y = y(u, v), z = z(u, v)
y (u, v) variando a trav´es de D lo llamaremos una superficie param´etrica S
y a la expresi´on x = x(u, v), y = y(u, v), z = z(u, v) la
llamaremos la ecuaci´on param´etrica de S.

5. ´AREA DE UNA SUPERFICIE
VECTOR FUNDAMENTAL
Los vectores ∂ϕ(u,v)
∂u , ∂ϕ(u,v)
∂v , definen vectores tangentes a la superficie
definida por ϕ, si estos vectores son linealmente independientes, entonces
podemos encontrar un vector ortogonal al mismo tiempo, tanto a ∂ϕ(u,v)
∂u ,
como a ∂ϕ(u,v)
∂v , este vector se calcula efectuando un producto vectorial.
∂ϕ(u, v)
∂u
×
∂ϕ(u, v)
∂v
.
El anterior producto vectorial nos define el producto fundamental de la
superficie. Adem´as si multiplicamos ∂ϕ(u,v)
∂u × ∂ϕ(u,v)
∂v por u, v,
obtenemos el ´area de una peque˜na porci´on rectangular aproximando
localmente a la superficie, esta aproximaci´on local es mejor entre mas
peque˜nos sean u y v. por ende si sumamos estas ´areas y hacemos tender
u, v hacia cero, tendremos una formula para el ´area de la superficie.
D
∂ϕ(u, v)
∂u
×
∂ϕ(u, v)
∂v
dudv

6. ´AREA DE UNA SUPERFICIE
EJEMPLOS

7. ´AREA DE UNA SUPERFICIE EJEMPLOS DE ´AREA DE SUPERFICIE
EJEMPLO
Hallar el ´area de la parte de la mitad superior del cono z = x2 + y2 de altura 1.
La parametrizaci´on de esta porci´on de cono est´a dada por
ϕ(u, v) = (u cos v, u sin v, u) u ∈ [0, 1], v ∈ [0, 2π]
Al calcular el producto fundamental obtenemos
∂ϕ(u, v)
∂u
×
∂ϕ(u, v)
∂v
= (−u cos v, −u sin v, u)
De donde tenemos que
∂ϕ(u, v)
∂u
×
∂ϕ(u, v)
∂v
=
√
2 u
Aplicando la formula para calcular el ´area obtenemos
A =
2π
0
1
0
∂ϕ(u, v)
∂u
×
∂ϕ(u, v)
∂v
dudv =
2π
0
1
0
√
2u dudv = π
√
2

8. BIBLIOGRAF´IA
BIBLIOGRAF´IA
Stewart, J.,Multivariable Calculus. Cengage learning (2012).
Marsden, J. & Tromba, A., C´alculo Vectorial Addison Wesley (1998).