4. 2.Observa el triángulo luego señala
Sus elementos.
CATETO
CATETO 4.En la figura aplica el
teorema de Pitáras.
3. ¿ La suma de los ángulos agudos
es ?
90B C
2 2 2
hipotenusa cateto cateto
2 2 2
a b c
6. 1.RAZONES TRIGONOMÉTRICAS (R.T).
Se denomina así, cociente entre los números de las longitudes de dos lados
de un triángulo rectángulo.
Ejemplo: 5
.
13
RT
12
.
13
RT
5
.
12
RT
12
.
5
RT
13
.
12
RT
13
.
5
RT
7. Estas 6 R.T. se va a designar o simbolizar así:
1. Seno : sen
2. Coseno : cos
3. Tangente : tan
4. Cotangente : ctg
5. Secante : sec
6. Cosecante : csc
1.1. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS PARA ÁNGULOS AGUDOS.
Se tiene un triángulo rectángulo ABC, recto en A, con un ángulo referencial « «
en B.
10. 2.Halla las R.T. en la figura.
4
5
sen
3
cos
5
4
tan
3
3
4
ctg
5
sec
3
5
csc
4
11. 3.Si es un ángulo agudo, tal que: ; halla: " "ctg
2 2
13 4cotL sen
4.Sí es un ángulo agudo; tal que
halla:
Desarrollo:
2
3
sen
" "ctgPide:
5
2
ctg
13
sec
3
2
3
5
12. Desarrollo:
2
Pide:
4 9
13 4
13 4
L
2 2
2 3
13 4
213
L
4 9
13 4
13 4
L
L = 13
5.En un triángulo ABC, recto en B. Halla:
.sec cos cscL senA C A C
Desarrollo:
13. Pide:
.sec cos cscL senA C A C
a b c b
L
b a b c
L = 1 + 1
L = 2
6. En un triángulo rectángulo ABC
( c = 90° ) ; se sabe que:
4tan tanA B
Desarrollo:
De la condición:
4tan tanA B
4
a b
b a
2
2
1
4
a
b
Halla : sec A
a = 1
b = 2
18. PROPIEDADES DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
Recordemos:
I .R.T. inversas o recíprocas. ( ángulos iguales )
b
sen
a
cos
c
a
tan
b
c
recíproca
recíproca
recíproca
csc
a
b
sec
a
c
c
ctg
b
Multipliquemos sen, cos y tan por sus inversas para el mismo ángulo, tendremos:
tan . 1ctg
.csc 1sen
cos .sec 1
20. 3. Tan 3 . Ctg ( 80° - 5 ) = 1
3 = 80° - 5
8 = 80° = 10°
II. R.T. complementarias ( para dos ángulos que suman 90°).
De la figura :
90
1. Halla el complemento de :
Ejemplo:
C de 30° =
C de 50° =
C de =
C de
6
=
C de ( + 30° ) =
60°
40°
90° -
3
60° -
21. 2. De la figura , halla las R.T. para los ángulos y
b
sen
a
cos
c
a
tan
b
c
csc
a
b
sec
a
c
c
ctg
b
c
sen
a
cos
b
a
tan
c
b
t
b
c g
c
sec
a
b
csc
a
c
22. En conclusión :
Si: + = 90°
cos
tan
csc sec
sen
ctg
Recuerda:
R.T CO- RAZÓN
TRIGONOMÉTRICO
Seno coseno
tangente Cotangente
cosecante Secante.
Ejemplos:
Halla en cada caso «x»
1.Sen ( x + 2° ) = cos ( x – 2°)
Suman 90°
X + 2° + x – 2° = 90°
2x = 90° X = 45°
2. Tan 3x = ctg 3x
3x + 3x = 90°
6x = 90° X = 15°
3. Sec ( 4x – 20° ) = csc 7x
4x – 20° + 7x = 90°
11 x = 110°
x = 10°
a) Sen 30° = cos 60°
b) Tan 20° = ctg 70°
c) Sec 37° = csec53°
23.
24. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS NOTABLES.
Recordemos los ángulos notables:
I.Razones Trigonométricas de 30º y 60°
Partimos de un triángulo equilátero de lado ‘‘2’’ trazando una altura
formamos dos triángulos rectángulos.
3
25. Entonces las R.T. para 30° y 60°, es:
1
30
2
sen
3
cos30
2
3
tan30
3
30 3ctg
2 3
sec30
3
csc30 2
3
60
2
sen
1
cos60
2
tan 60 3
3
60
3
ctg
2 3
csc60
3
sec60 2
31. Practiquemos:
2
30 tan37E sen
1.Resuelve:
Desarrollo:
2
1 3
2 4
E
1 3
4 4
E
E = 1
2. Halla el valor numérico de:
2
30 60 0,75 cos30E sen sen
Desarrollo:
2
1 3 3 3
2 2 4 2
E
1 3 3 3
4 2 4 2
E
1 2 3 3 3
4 2
E
2
1 3 3
4 2
E
1 3 3
2 2
E
1
2
E
32. 3.Halla el valor de «x» en:
tan50 37 3
37 3
4
g
x sen
senx ctg
Desarrollo:
tan 45 37 3
45 37 3
x sen
x ctg sen
3
3
1 5
31 3
5
x
x
3 15
1 5
3 151
5
x
x
5 181
1 5 12
x
x
1 3
1 2
x
x
- 2x – 2 = 3x - 3
1
5
x