3. Introducción
Preliminares
Funciones Continuas
Introducción
El siguiente material sirve como apoyo a el video y al audio de la clase de las
funciones continuas.
En el video se ejemplifica una clase tradicional en un aula y en ella se utilizan
diversos recursos para el aprendizaje, como los son: pizarron, libro, laminas,
marcador, diccionario y materiales audiovisuales. Además se presenta la
elaboración de un juego didáctico el cual permite divertirse un poco mientras se
aprende.
Todos esos medios usados por un docente permiten abordar la información a
transmitir de diversas maneras y ello permite al estudiante tener diversas
opciones para aprender.
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4. Introducción
Preliminares
Funciones Continuas
Preliminares
Antes de definir el concepto de función continua veamos algunas definiciones
importantes.
Definición
Una función es una triada de objetos (X, Y, f), donde X e Y son dos
conjuntos y f es una regla que hace corresponder a cada elemento de X un
único elemento de Y . Al conjunto X se le llama dominio de la función y al
conjunto Y, conjunto de llegada de la función.
A la variable que usamos para denotar los elementos del dominio se le llama
variable independiente y a la variable que denota las imágenes, variable
dependiente.
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5. Introducción
Preliminares
Funciones Continuas
Definición
Dadas las funciones f : X −→ Y y g : X −→ Y . Diremos que:
f = g ⇐⇒ f(x) = g(x), ∀x ∈ X
Definición
El rango de la función f : X −→ Y es el conjunto formado por todas las
imágenes. Esto es,
Rango de f = {f(x) ∈ Y/x ∈ X}
Al dominio y al rango de una función f : X −→ Y , los abreviamos con
Dom(f) y Rang(f), respectivamente.
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6. Introducción
Preliminares
Funciones Continuas
Ejemplo
Sea la función f : X −→ Y , donde X = {a, b, c, d}, Y = {1, 2, 3, 4, 5} y cuya
regla f esta dada por el gráfico adjunto. Se tiene que:
Dominio = Dom(f) = X = {a, b, c, d}
Conjunto de llegada = Y = {1, 2, 3, 4, 5}
Rango = Rang(f) = {3, 4, 5}
La regle f establece que: f(a) = 3, f(b) = 5, f(c) = 3, f(d) = 4
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7. Introducción
Preliminares
Funciones Continuas
Las funciones que nos interesan son las funciones reales de variable real. Una
función real de variable real es una función cuyo dominio y cuyo conjunto de
llegada son subconjuntos de R.
Ejemplo
g(x) =
√
x − 3, es una función real de variable real, cuyo Dom(g) = [3, +∞) y
Rang(g) = [0, +∞)
Definición
Se llama gráfico o gráfica de la función f : X ⊂ R −→ R, al conjunto :
G = {(x, f(x)) ∈ R2
/x ∈ X}
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8. Introducción
Preliminares
Funciones Continuas
Ejemplo
Sea f la función definida por f(x) = x2
+ 3x − 4, calcular f(0), f(2), f(−1).
f(0) = (0)2
+ 3(0) − 4 = 0 + 0 − 4 = −4
f(2) = (2)2
+ 3(2) − 4 = 4 + 6 − 4 = 6
f(−1) = (−1)2
+ 3(−1) − 4 = 1 − 3 − 4 = −6
También se debe conocer la definición del limite de una función real, así como
el calculo de ellos.
Definición
Sea f una función definida en un intervalo abierto que contiene al punto a,
excepto posiblemente en el punto a. lim
x→a
f(x) = L si para cada > 0 existe un
δ > 0, tal que : 0 < |x − a| < δ ⇒ |f(x) − L| < .
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9. Introducción
Preliminares
Funciones Continuas
Funciones Continuas
Definición
Una función f es continua en un punto a si lim
x→a
f(x) = f(a)
Esta definición es equivalente al cumplimiento de las tres condiciones
siguientes:
1 f esta definida en a.
2 Existe lim
x→a
f(x).
3 lim
x→a
f(x) = f(a).
Definición
Diremos que f es discontinua en el punto a o que a es un punto de
discontinuidad de f, si f no es continua en a. Esto equivale a decir que al
menos una de las tres condiciones exigidas en la definición no se cumple.
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10. Introducción
Preliminares
Funciones Continuas
Geométricamente, la continuidad es fácil de explicar. Una función es continua
si su gráfico no tiene saltos o interrupciones. En otras palabras, si su gráfico
puede ser trazado sin levantar el lápiz del papel.
Tipos de discontinuidad :
Si f es discontinua en a y existe lim
x→a
f(x), diremos que la discontinuidad
en a es removible. Se llama así debido a que se puede redefinir a f en a
de modo que la discontinuidad sea eliminada. La redefinicion debe ser del
modo siguiente : f(a) = lim
x→a
f(x).
La discontinuidad es esencial si no existe lim
x→a
f(x). En este caso no hay
modo de salvar la discontinuidad.
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12. Introducción
Preliminares
Funciones Continuas
lim
x→4
f(x) = lim
x→4
√
x − 2
x − 4
= lim
x→4
(
√
x − 2)(
√
x + 2)
(x − 4)(
√
x + 2)
= lim
x→4
x − 4
(x − 4)(
√
x + 2)
= lim
x→4
1
√
x + 2
=
1
√
4 + 2
=
1
4
= f(4)
Así vemos que la función es continua en x = 4.
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13. Introducción
Preliminares
Funciones Continuas
Ejemplo
Dada f(x) =
2x + 3 si x = 1
2 si x = 1
; decidir si la función es continua o no en
x = 1
lim
x→1
f(x) = lim
x→1
(2x + 3)
= 2(1) + 3
= 5
= f(1)
Por lo tanto la función es discontinua en el punto x = 1 y esta discontinuidad
es removible. Podemos redefinir la función para que sea continua en el punto
x = 1, haciendo f(1) = 5. Así nos quedaría la siguiente función :
f(x) =
2x + 3 si x = 1
5 si x = 1
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14. Introducción
Preliminares
Funciones Continuas
Ejemplo
Dada f(x) =
3 + x si x ≤ 1
3 − x si x > 1
; decidir si la función es continua o no en
x = 1
lim
x→1+
f(x) = lim
x→1+
(3 − x)
= 3 − 1
= 2
lim
x→1−
f(x) = lim
x→1−
(3 + x)
= 3 + 1
= 4
Como los limites laterales son distintos se puede concluir que no existe el
lim
x→1
f(x) y por lo tanto la discontinuidad en x = 1 es esencial.
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