1. El documento habla sobre la amortización de deudas, que implica pagar una deuda y sus intereses a través de pagos periódicos de igual valor.
2. Cada pago se divide entre intereses y capital, reduciendo el saldo insoluto y los intereses futuros.
3. Se proveen varios ejemplos numéricos que ilustran cómo calcular los pagos de amortización y elaborar tablas de amortización.
Los costos estimados representan una anticipación de los costos reales basada en estadísticas y experiencias anteriores. Consisten en predeterminar los costos unitarios de producción y compararlos posteriormente con los costos reales para ajustar variaciones. Sus objetivos incluyen determinar costos unitarios, valuar producción y calcular costos de ventas para fijar precios considerando oferta y demanda.
Este documento explica los conceptos de tasa nominal, tasa efectiva y tasa equivalente. La tasa nominal es la tasa pactada anualmente, mientras que la tasa efectiva considera la capitalización periódica y refleja la tasa de interés real. Dos tasas son equivalentes si producen el mismo interés compuesto al cabo de un año a pesar de tener periodos de capitalización diferentes. También introduce el concepto de tasa real, que es la tasa efectiva menos la inflación.
Este documento explica el concepto de interés compuesto, donde los intereses generados por un capital inicial se reinvierten periódicamente, haciendo crecer más rápido el monto total. Define elementos como el capital, tasa de interés, periodo y frecuencia, y presenta fórmulas para calcular el monto futuro considerando estos factores. Incluye ejemplos numéricos para ilustrar cómo se aplica el interés compuesto en diferentes escenarios de inversión y préstamos a plazos.
Este documento trata sobre amortización y fondos de amortización. Explica qué es la amortización y cómo se calculan las cuotas de pago. Incluye fórmulas para calcular intereses, capital insoluto, valor actual y más. También contiene ejemplos numéricos y una tabla de amortización.
El documento resume los conceptos clave de tasas de interés, incluyendo que la tasa de interés es la cantidad que se paga por el uso del dinero, y clasifica las tasas de interés activas, pasivas y preferenciales. También explica la diferencia entre interés simple y compuesto, y define tasas de rendimiento como la tasa interna de rendimiento.
El documento describe los diferentes tipos de costo de capital de una empresa, incluyendo el costo de capital de los accionistas, el costo de deuda, y el costo de acciones preferenciales. También explica cómo calcular el costo promedio ponderado de capital de una empresa.
El documento describe el cálculo del ciclo operativo y ciclo de conversión de efectivo de una empresa. Luego, calcula los recursos necesarios para apoyar el ciclo de conversión de efectivo y explica cómo la administración podría reducir este ciclo mediante el aumento de los plazos de pago a proveedores y acortando los plazos de cobro a clientes.
El documento trata sobre los cálculos de matemáticas financieras utilizando diferentes períodos y frecuencias de capitalización. Explica la diferencia entre tasas nominales y efectivas de interés, así como cómo calcular las tasas efectivas anuales considerando el período de capitalización. También presenta ejemplos numéricos para ilustrar los conceptos.
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El documento describe los diferentes tipos de costo de capital de una empresa, incluyendo el costo de capital de los accionistas, el costo de deuda, y el costo de acciones preferenciales. También explica cómo calcular el costo promedio ponderado de capital de una empresa.
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Este documento describe el concepto de flujo de caja y diagrama de flujo de caja. Explica que el flujo de caja se refiere al flujo de entradas y salidas de efectivo en un período determinado, mientras que el diagrama de flujo de caja representa gráficamente este flujo a lo largo de una línea de tiempo que muestra los ingresos hacia arriba y los egresos hacia abajo. También presenta algunos principios básicos de la ingeniería económica relacionados con el valor del dinero en el tiempo y la
Este documento explica dos reglas para calcular pagos parciales de obligaciones: la regla comercial y la regla de los saldos insolutos. También define conceptos como saldo insoluto, cargo por intereses y tasas de interés para calcular la tasa efectiva en ventas a plazos. Finalmente, presenta un ejemplo numérico para ilustrar los cálculos.
El documento describe el mercado de tasas de interés. Resume los conceptos clave como que un mercado financiero permite la transferencia de fondos entre quienes tienen excedentes y quienes los necesitan, determina el precio y rendimiento de los instrumentos, y redistribuye el riesgo. También explica que un préstamo es una operación donde el prestamista entrega dinero al prestatario, quien debe devolver el capital más intereses en el plazo acordado.
El documento trata sobre las finanzas de corto plazo. Explica que el pasivo a corto plazo incluye deudas que deben pagarse en menos de un año y que se usa para manejar fluctuaciones en la demanda y producción. Luego detalla cuatro fuentes principales de financiamiento de corto plazo: pasivos acumulados, cuentas por pagar, préstamos bancarios y préstamos no bancarios. Finalmente, ofrece más detalles sobre cada una de estas fuentes.
El documento presenta información sobre amortización y fondos de amortización. Explica que la amortización es el proceso de pagar una deuda periódicamente a través de pagos fijos o variables que cubren intereses y capital. También describe diferentes sistemas y métodos de amortización, como rentas constantes, variables y la preparación de tablas de amortización. Por otro lado, define los fondos de amortización como sumas que generan intereses para cubrir obligaciones futuras. Finalmente, detalla métodos de depreciación como línea rect
El documento trata sobre la planificación financiera estratégica. Explica que la planificación financiera es parte de un proceso más amplio de planificación estratégica y analiza factores internos y externos que afectan las perspectivas económicas. También describe los objetivos, estrategias y políticas financieras que las empresas deben considerar como parte del proceso de planificación.
Este documento resume y compara varios métodos para evaluar proyectos de inversión, incluyendo métodos estáticos como el flujo neto de caja, el plazo de recuperación y la tasa de rendimiento contable, así como métodos dinámicos como el valor actual neto, la tasa interna de retorno y el flujo de caja actualizado. Explica que los métodos dinámicos son más completos porque tienen en cuenta el valor del dinero en el tiempo. Luego profundiza en el cálculo y la interpretación del valor actual neto.
Un bono es un certificado financiero que paga intereses y devuelve el capital al vencer. Los bonos son emitidos por gobiernos, empresas privadas y municipios para obtener financiamiento. Existen diferentes tipos de bonos como bonos soberanos, corporativos y basura. El precio de un bono depende de factores como la tasa de interés y el riesgo del emisor.
El método de depreciación de saldo decreciente, también conocido como el método de porcentaje uniforme o fijo, calcula el costo de depreciación para cada año multiplicando un porcentaje uniforme por el valor en libros restante. Cuando se utiliza una tasa del doble de la línea recta, se conoce como el método de saldo decreciente doble. Este método permite cambiar a línea recta a mitad de la vida útil del activo.
Este documento presenta el plan de estudios de la asignatura de Matemáticas Financieras. El objetivo general es que los estudiantes aprendan a aplicar los principios matemáticos relacionados con la variación del valor del dinero en el tiempo a modelos financieros. El temario incluye interés simple, interés compuesto, anualidades, amortización y depreciación. El documento proporciona detalles sobre cada tema y explica cómo los estudiantes aprenderán a calcular valores presentes, futuros, tasas de interés y plazos para
Este documento describe las características de una hipoteca de amortización decreciente. Con este sistema, la cuota mensual disminuye a lo largo del tiempo ya que el capital adeudado se reduce con cada pago. Esto hace que las primeras cuotas sean más altas, pero al final del préstamo se pagan menos intereses dado que se calculan sobre un capital menor. A mitad del período, el prestatario ha pagado aproximadamente la mitad del precio total.
El documento habla sobre tres métodos para evaluar proyectos de inversión: 1) el valor presente neto, que calcula el valor actual de los flujos de efectivo futuros de un proyecto a lo largo de su vida útil; 2) el costo capitalizado, que asume fondos disponibles para reemplazar activos al final de su vida útil; y 3) las tasas de interés nominal y efectiva, donde la efectiva es mayor debido a la capitalización periódica de intereses.
Este documento proporciona un ejemplo de cómo valuar bonos. Explica que Ford Motor Company emitió bonos con un valor nominal de $1000, una tasa de cupón del 10% y pagos de intereses semestrales. Luego, después de 10 años, la tasa de interés sobre este tipo de bonos disminuyó al 6%. Usa una fórmula para calcular que estos bonos ahora se venderían por $976.11.
Este documento describe las anualidades y las clasifica. Define una anualidad como una cantidad igual pagada periódicamente para pagar una deuda o constituir un fondo a lo largo de un número determinado de períodos. Explica que las anualidades proporcionan una buena manera de hacer crecer el dinero para el retiro y que no tienen límites de contribución. Además, clasifica los tipos de anualidades.
Este documento presenta conceptos básicos sobre interés simple, incluyendo la definición de interés, tasa de interés, cálculo del monto, tipos de interés simple (exacto y ordinario), formas de calcular el tiempo, cálculo del valor presente y ecuaciones de valor. Explica cada concepto con ejemplos numéricos y proporciona ejercicios propuestos al final para practicar los conocimientos adquiridos.
La necesidad de la ingeniería económica se encuentra motivada principalmente por el trabajo que lleva a cabo los ingenieros al analizar, sintetizar y obtener conclusiones en proyectos de envergadura.
Este documento presenta información sobre anualidades, incluyendo su concepto, condiciones, elementos, tipos, términos involucrados, fórmulas de valor presente y futuro. Explica que una anualidad se refiere a una serie de pagos iguales y periódicos, y ofrece ejemplos como la amortización de préstamos y el pago de salarios. También define las variables y fórmulas clave para calcular el valor presente y futuro de una anualidad.
El documento explica el concepto de costo de capital y sus componentes. El costo de capital es la tasa de retorno requerida por los inversionistas de una empresa y depende del costo de la deuda, las acciones preferentes, las acciones comunes y las utilidades retenidas. El costo de capital promedio ponderado (CCPP) se calcula ponderando el costo de cada fuente de financiamiento según su participación en la estructura de capital de la empresa.
El documento explica el proceso de amortización de deudas a través de pagos periódicos. Describe cómo cada pago se destina a cubrir intereses y reducir el capital adeudado. También presenta un caso de estudio de amortización de un préstamo hipotecario a través de una tabla de amortización que muestra cómo varía el saldo adeudado con cada pago.
Este documento explica los conceptos de amortización, interés y tablas de amortización para préstamos. Define la amortización como la parte del pago mensual que reduce el capital de la deuda, mientras que el interés es la cantidad adicional pagada cada mes. Proporciona una fórmula para calcular el interés total sobre saldos insolutos y un ejemplo numérico para ilustrar cómo crear una tabla de amortización mensual.
El documento explica el proceso de amortización de deudas, donde los pagos periódicos se distribuyen entre el pago de intereses y la reducción del capital insoluto. Incluye ejemplos numéricos de cómo calcular los pagos y completar una tabla de amortización mostrando los cambios en el capital insoluto a lo largo del tiempo.
Este documento describe el concepto de flujo de caja y diagrama de flujo de caja. Explica que el flujo de caja se refiere al flujo de entradas y salidas de efectivo en un período determinado, mientras que el diagrama de flujo de caja representa gráficamente este flujo a lo largo de una línea de tiempo que muestra los ingresos hacia arriba y los egresos hacia abajo. También presenta algunos principios básicos de la ingeniería económica relacionados con el valor del dinero en el tiempo y la
Este documento explica dos reglas para calcular pagos parciales de obligaciones: la regla comercial y la regla de los saldos insolutos. También define conceptos como saldo insoluto, cargo por intereses y tasas de interés para calcular la tasa efectiva en ventas a plazos. Finalmente, presenta un ejemplo numérico para ilustrar los cálculos.
El documento describe el mercado de tasas de interés. Resume los conceptos clave como que un mercado financiero permite la transferencia de fondos entre quienes tienen excedentes y quienes los necesitan, determina el precio y rendimiento de los instrumentos, y redistribuye el riesgo. También explica que un préstamo es una operación donde el prestamista entrega dinero al prestatario, quien debe devolver el capital más intereses en el plazo acordado.
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Este documento describe las características de una hipoteca de amortización decreciente. Con este sistema, la cuota mensual disminuye a lo largo del tiempo ya que el capital adeudado se reduce con cada pago. Esto hace que las primeras cuotas sean más altas, pero al final del préstamo se pagan menos intereses dado que se calculan sobre un capital menor. A mitad del período, el prestatario ha pagado aproximadamente la mitad del precio total.
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Este documento explica los conceptos de amortización, interés y tablas de amortización para préstamos. Define la amortización como la parte del pago mensual que reduce el capital de la deuda, mientras que el interés es la cantidad adicional pagada cada mes. Proporciona una fórmula para calcular el interés total sobre saldos insolutos y un ejemplo numérico para ilustrar cómo crear una tabla de amortización mensual.
El documento explica el proceso de amortización de deudas, donde los pagos periódicos se distribuyen entre el pago de intereses y la reducción del capital insoluto. Incluye ejemplos numéricos de cómo calcular los pagos y completar una tabla de amortización mostrando los cambios en el capital insoluto a lo largo del tiempo.
Este documento describe conceptos básicos sobre anualidades y ejercicios relacionados. Define anualidad, renta periódica, plazo, valor presente, valor acumulado y tasa de interés. Explica clasificaciones como anualidad vencida y anticipada y presenta fórmulas. Incluye ejemplos numéricos sobre cálculos de anualidades simples, diferidas y perpetuas.
Este documento describe conceptos básicos sobre anualidades y ejercicios relacionados. Define anualidad, renta periódica, plazo, valor presente, valor acumulado y tasa de interés. Explica clasificaciones como anualidad vencida y anticipada y presenta fórmulas. Incluye ejemplos numéricos sobre cálculos de anualidades simples, diferidas y perpetuas.
El documento explica el concepto de amortización de deudas, que implica pagar gradualmente una deuda a través de pagos periódicos iguales que cubren tanto el capital como los intereses. Describe tres problemas básicos en el estudio de la amortización: calcular el monto de los pagos, el número de pagos necesarios para cancelar la deuda, y la tasa de interés. También explica cómo elaborar cuadros de amortización para ilustrar el desarrollo de una deuda hasta su extinción.
El documento presenta información sobre sistemas de amortización y capitalización. Explica que la amortización es el proceso de cancelar una obligación a través de pagos periódicos, mientras que la capitalización es reunir un capital también a través de pagos periódicos. Luego, describe los sistemas alemán, francés y americano de amortización, y cómo se construyen las tablas de amortización y capitalización. Finalmente, incluye ejemplos para ilustrar cómo aplicar estos conceptos.
Este documento presenta los conceptos y métodos de amortización financiera. Explica que la amortización es el proceso de cancelar una deuda con pagos periódicos que incluyen tanto intereses como capital. Luego describe los sistemas de amortización y componentes de los pagos, y provee ejemplos numéricos de diferentes métodos como amortización gradual, con cuotas extraordinarias, y pago único del capital al final.
Este documento proporciona una guía sobre el concepto y cálculo de la amortización de deudas. Explica que la amortización implica pagar gradualmente una deuda y sus intereses a través de pagos periódicos, los cuales se dividen entre el pago de intereses y la reducción del capital adeudado. También describe cómo construir tablas de amortización para visualizar cómo cambia el saldo de la deuda con cada pago.
Este documento explica tres tipos de amortización de deudas: amortización periódica, progresiva y fija. La amortización periódica extingue gradualmente la deuda a través de pagos regulares que incluyen capital e intereses. La amortización progresiva asigna pagos iguales donde la porción de capital aumenta con el tiempo. La amortización fija asigna la misma porción de capital en cada pago, haciendo que los intereses disminuyan con el tiempo.
El documento describe conceptos relacionados con anualidades vencidas. Explica que una anualidad es una serie de pagos iguales realizados a intervalos iguales, y que una anualidad vencida tiene la característica de que los pagos se realizan al final del periodo. Presenta fórmulas para calcular el monto, valor presente y renta de una anualidad vencida, y cómo aproximar la tasa de interés y número de pagos.
Este documento ilustra el concepto de serie uniforme ordinaria a través de un ejemplo de préstamo para vivienda. Explica cómo calcular el valor de las cuotas mensuales iguales, determinar el contenido de interés y amortización a capital de cada cuota, y preparar una tabla de amortización mostrando los pagos, intereses, reducción del saldo y saldo restante a lo largo de los 15 años del préstamo.
Este documento ilustra el concepto de serie uniforme ordinaria a través de un ejemplo de préstamo para vivienda. Explica cómo calcular el valor de las cuotas mensuales iguales, el contenido de interés y amortización de capital de cada cuota, y cómo elaborar una tabla de amortización mostrando los pagos, intereses, reducción del saldo y saldo restante a lo largo de los 15 años de préstamo.
El documento explica el proceso de amortización de deudas, que implica pagos periódicos que reducen gradualmente el capital adeudado más los intereses. Define términos como capital, interés, saldo insoluto y presenta fórmulas para calcular pagos, amortizaciones e intereses. Además, muestra un ejemplo numérico para ilustrar el cálculo de una tabla de amortización.
Este documento trata sobre amortización y fondos de amortización. Explica conceptos como amortización, cuota, capital insoluto, tabla de amortización, periodo de gracia y fórmulas para calcular valores. También incluye un ejemplo numérico para ilustrar el cálculo de una cuota de amortización.
Este documento presenta información sobre el proceso de amortización gradual para cancelar una deuda a través de pagos periódicos. Explica cómo cada pago se divide entre capital e intereses, disminuyendo el saldo insoluto con el tiempo. También muestra cómo calcular el valor de los pagos, construir una tabla de amortización, y determinar el saldo insoluto para cualquier período. Finalmente, discute los derechos del acreedor y deudor a medida que la deuda se va pagando gradualmente a través del tiempo.
FUNCIONES FINANCIERAS
Las funciones financieras de Excel nos ayudan en cálculos como el de amortización, la tasa de interés anual efectiva, el interés acumulado, valor actual, valor futuro, entre otros cálculos que nos ayudarán en a hacer cálculos de una manera más rápida.
NPER
Devuelve el número de períodos de una inversión basándose en los pagos periódicos constantes y en la tasa de interés constante.
Este documento introduce el concepto de anualidades simples vencidas. Explica que una anualidad es una serie de pagos iguales realizados a intervalos regulares de tiempo. Luego presenta las fórmulas para calcular el monto y el valor actual de una anualidad simple vencida, ilustrando cada una con ejemplos numéricos. Finalmente, resume los diferentes tipos de anualidades y cómo se pueden interpretar los valores actuales.
El documento presenta información sobre sistemas de amortización de préstamos. Explica dos formas comunes de calcular los pagos: con cuotas constantes o con abonos fijos a capital. Incluye ejemplos de tablas de amortización para préstamos con cuotas constantes, donde se muestra el saldo inicial, la cuota, el interés, el abono a capital y el saldo final para cada período. El objetivo es mostrar el comportamiento de los pagos y saldos a lo largo del tiempo.
El documento habla sobre los conceptos básicos de las anualidades. Explica que una anualidad consiste en una sucesión de pagos periódicos e iguales que se realizan durante periodos regulares de tiempo. Luego clasifica los diferentes tipos de anualidades según criterios como el tiempo, los intereses, los pagos y la iniciación. Finalmente, presenta algunos ejercicios numéricos para calcular valores futuros, presentes y montos de diferentes anualidades usando fórmulas de interés compuesto.
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Si quieres alcanzar tus sueños y tener el estilo de vida que deseas, es primordial que te comprometas contigo mismo y realices todos los ejercicios que te propongo para recibieron lo que mereces, incluso algunos milagros que no tenías en mente
Bienvenido al mundo real de la teoría organizacional. La suerte cambiante de Xerox
muestra la teoría organizacional en acción. Los directivos de Xerox estaban muy involucrados en la teoría organizacional cada día de su vida laboral; pero muchos nunca se
dieron cuenta de ello. Los gerentes de la empresa no entendían muy bien la manera en que
la organización se relacionaba con el entorno o cómo debía funcionar internamente. Los
conceptos de la teoría organizacional han ayudado a que Anne Mulcahy y Úrsula analicen
y diagnostiquen lo que sucede, así como los cambios necesarios para que la empresa siga
siendo competitiva. La teoría organizacional proporciona las herramientas para explicar
el declive de Xerox, entender la transformación realizada por Mulcahy y reconocer algunos pasos que Burns pudo tomar para mantener a Xerox competitiva.
Numerosas organizaciones han enfrentado problemas similares. Los directivos de
American Airlines, por ejemplo, que una vez fue la aerolínea más grande de Estados
Unidos, han estado luchando durante los últimos diez años para encontrar la fórmula
adecuada para mantener a la empresa una vez más orgullosa y competitiva. La compañía
matriz de American, AMR Corporation, acumuló $11.6 mil millones en pérdidas de 2001
a 2011 y no ha tenido un año rentable desde 2007.2
O considere los errores organizacionales dramáticos ilustrados por la crisis de 2008 en el sector de la industria hipotecaria
y de las finanzas en los Estados Unidos. Bear Stearns desapareció y Lehman Brothers se
declaró en quiebra. American International Group (AIG) buscó un rescate del gobierno
estadounidense. Otro icono, Merrill Lynch, fue salvado por formar parte de Bank of
America, que ya le había arrebatado al prestamista hipotecario Countrywide Financial
Corporation.3
La crisis de 2008 en el sector financiero de Estados Unidos representó un
cambio y una incertidumbre en una escala sin precedentes, y hasta cierto grado, afectó a
los gerentes en todo tipo de organizaciones e industrias del mundo en los años venideros.
2. INTRODUCCION
En la sección 6.8 se mencionó que la palabra amortizar proviene del latín y que
su significado literal es "dar muerte". En matemática financiera amortizar significa pagar
una deuda y sus intereses por medio de una serie de pagos periódicos, generalmente
de igual valor.
Al amortizar una deuda cada pago efectuado se divide en dos partes: en primer
lugar se pagan los intereses adeudados al momento en que se efectúa el pago y el
resto se aplica a disminuir el capital. Como cada pago reduce el capital, los intereses
que se pagan en cada periodo van disminuyendo; por tanto, resulta evidente que la
amortización de una deuda se lleva a cabo calculando los intereses sobre el saldo
insoluto∗
.
La amortización es una de las aplicaciones más importantes de las anualidades.
En efecto, cuando se amortiza una deuda efectuando pagos periódicos iguales, la
deuda es el valor actual de una anualidad. El valor de la anualidad o pago periódico se
calcula utilizando la fórmula de valor presente correspondiente al tipo de anualidad
utilizada, vencida o anticipada.
EJEMPLO 11.1
Un préstamo de $ 4,000.00 se va a amortizar por medio de 8 pagos mensuales
iguales. Hallar el valor del pago mensual si la tasa de interés es del 34% capitalizable
mensualmente.
SOLUCIÓN
En este problema se nos pide que calculemos el valor de una anualidad cuyo
valor actual es de $ 4,000.00. Dado que el enunciado del problema no menciona el tipo
de anualidad, se supone que se trata de una anualidad ordinaria. Despejando A de la
ecuación (8.2), se tiene:
∗
Cobrar intereses sobre saldos insolutos consiste en cobrar intereses solamente por el capital aún no
pagado.
3. Se necesitan S pagos mensuales de $ 565.85 cada uno con el fin de amortizar la
deuda de $ 4,000.00.
TABLAS DE AMORTIZACIÓN
Con el fin de mostrar el comportamiento de una deuda que se está amortizando,
periodo a periodo, es conveniente la elaboración de una tabla de amortización, la cual
se puede definir como un cuadro o tabla donde se muestra tanto la cantidad pagada de
intereses como la cantidad pagada de capital.
EJEMPLO 11.2
Elaborar la tabla de amortización para el ejemplo 11.1.
SOLUCIÓN
La tabla de amortización será:
∗∗∗
∗
Se refiere al pago al capital
∗∗
En este lugar debería quedar exactamente un cero. La diferencia de 4 centavos se debe a que el pago
mensual fue redondeado al centavo más próximo. Si se utiliza como pago mensual la solución
matemáticamente exacta de 565.8262354, el saldo insoluto al final del octavo mes será cero.
4. A continuación se explicará la forma como se elaboró la tabla de amortización.
El saldo insoluto (columna 2) al principio del primer mes (mes 0) es la deuda
original de $ 4,000.00. El interés vencido al final de ese mismo mes (mes 1) se
determinó utilizando la fórmula del interés simple:
El pago mensual (columna 4) es de $ 565.83, de los cuales se utilizan $ 113.33
para el pago del interés vencido y el resto, $ 565.83 - $ 113.33 = $ 452.50, se utilizan
como abono al capital (amortización). Al principio del segundo mes (final del primer
mes) el saldo insoluto es de $ 4,000 - $ 452.50 = $ 3,547.50. Al término de este
segundo mes, el interés vencido es:
Del pago mensual quedan $ 565.83 - $ 100.51 = $ 465.32 como abono al capital.
Al principio del tercer mes (final del segundo mes), el saldo insoluto es de $ 3,547.50 - $
465.32 = $ 3,082.18, y así sucesivamente.
El lector puede verificar que:
1. La parte de cada pago mensual que se usa para pagar intereses sobre la deuda
es decreciente y el resto del pago que se aplica a la deuda misma es creciente.
2. suma de pagos mensuales = amortización + intereses
4,526.64 = 4,000.04 + 526.60
3. Cada una de las cantidades mostradas en la columna 2 (saldo insoluto)
representa el valor actual de los pagos mensuales por realizar. Por ejemplo, el
renglón 3 muestra el valor actual de 5 pagos por efectuar:
EJEMPLO 11.3
Antonio compra una casa valuada en $ 230,000.00 y paga $ 15,000.00 de
enganche. Antonio obtiene un préstamo hipotecario a 20 años por el saldo. Si se cobra
un interés del 29% capitalizable cada mes, ¿cuál sería el valor del pago mensual?
Elabórese una tabla de amortización para los primeros 10 meses.
SOLUCIÓN
El valor del pago mensual será:
5. Obtenido el pago mensual se elaborada la tabla de amortización.
Nótese que la mayor parte del pago mensual se destina al pago de intereses, y la
amortización al capital, en cambio, es muy pequeña. En una deuda que se amortiza a
largo plazo ocurre que durante algunos años la mayor parte del pago periódico tiene
como finalidad el pago de los intereses.
Un problema que se presenta comúnmente es el de conocer la forma en que se
distribuye un determinado pago en intereses y abono al capital, sin necesidad de hacer
toda la tabla de amortización.
EJEMPLO 11.4
Con respecto al ejemplo 11.3, hacer la distribución del pago número 7.
Asimismo, encontrar el saldo insoluto que se tiene una vez efectuado dicho pago.
SOLUCIÓN
Los intereses que se pagan al efectuar el pago número 7 son calculados en base
al saldo insoluto que se tiene después de hecho el pago número 6, y este saldo
insoluto, ya se mencionó, es igual al valor actual de los pagos que faltan. Al efectuar el
pago número 6, faltan 240- 6 = 234 pagos por realizar; por tanto:
El interés correspondiente al pago número 7 será:
Por tanto, la amortización (abono al capital) será de:
5,212.74 – 5,193.23 = $19.51
El saldo insoluto, una vez efectuado el pago número 7 viene dado por la diferencia:
214,892.13 - 19.51 = $ 214,872.62
6. El lector puede verificar los resultados obtenidos observando la tabla de
amortización. Las diferencias que se observan se deben al redondeo de las cantidades.
EJEMPLO 71.5
Utilizando el ejemplo 11.3, hacer la distribución del pago número 1(X). Encontrar
también el saldo insoluto una vez efectuado dicho pago.
SOLUCION
Para encontrar la forma en que se distribuye el pago número 100, se debe hallar
el saldo insoluto después de haber efectuado el pago número 99. El saldo insoluto es el
valor presente de 141 pagos por realizar.
El interés correspondiente al pago número 100 es:
amortización = 5,212.74 - 5,032.93 = $ 179.81
El saldo insoluto una vez efectuado el pago número 100 será:
208,259.30 – 179.81 = $ 208,079.49
Obsérvese como a pesar de que ya se han efectuado 100 pagos, un total de
5,212.74 x 100 = $ 521,274, el capital tan sólo se ha reducido en $ 215,p00 - $
28,079.49 = $ 6,920.51. Una cantidad bastante pequeña en poco más de 8 años de
pagos mensuales.
EJEMPLO 11.6
Un laboratorio de análisis químicos compra una centrífuga en 2,890 dólares, que se va
a pagar de la siguiente manera:
• 20% de enganche
• 4 pagos mensuales iguales.
• 500 dólares que se entregarán junto con el último pago.
Si la tasa de interés es del 10% anual capitalizable cada mes,
a) Calcúlese el valor del pago mensual.
b) Formúlese la tabla de amortización.
SOLUCIÓN
7. Para calcular el valor del pago mensual se formula la siguiente ecuación de valor:
EJEMPLO 11.7
Una institución educativa lleva a cabo una rifa donde el primer premio consiste
en $ 100,000.00. De acuerdo a las reglas establecidas para la entrega de los premios,
el ganador del primer premio recibirá de inmediato $ 10,000.00 y el resto se depositará
en un fondo de inversión que paga el 21.8% capitalizable cada semestre, del cual se
retirarán $ 20,000.00 al final de cada semestre. ¿Cuántos retiros se podrán hacer?
Elabórese la tabla de amortización.
SOLUCIÓN
El ganador del primer premio podrá efectuar 6 retiros semestrales de $ 20,000.00
cada uno y un último retiro de menos de $ 20,000.00, al final del séptimo semestre.
8. El último retiro será de $ 10,614.53. Nótese como esta cantidad se obtuvo de una
forma automática al construir la tabla.
EJEMPLO 17.8
Se liquida una deuda mediante cinco pagos mensuales de $ 1,965.19 cada uno,
los cuales incluyen intereses del 36% anual capitalizable cada mes. Encuentre el valor
original de la deuda y elabore la tabla de amortización.
SOLUCION
Se calcula el valor presente de los pagos:
La tabla de amortización es la siguiernte:
EJEMPLO 11.9
Resuelva el problema anterior mediante la amortización a interés simple, tal
como se vio en la sección 6.8 del capítulo 6. Compare resultados.
SOLUCION
La amortización al capital es:
9. Los intereses calculados mediante la amortización a interés simple son menores
a los calculados mediante la amortización a interés compuesto. Esto se debe porque los
abonos al capital son más altos en la amortización a interés simple.
Ejercicios 11.1
1. Una deuda de $ 6,500.00 se debe amortizar en un año con pagos mensuales
iguales con el 24% sobre saldos insolutos. Hallar el valor de cada pago y hacer la
tabla de amortización.
2. Un deuda de $ 30,000.00 con intereses al 28% capitalizable trimestralmente,
debe ser amortizada con pagos de $ 4,271.33 por trimestre vencido. Hacer la
tabla de amortización.
3. Un automóvil cuyo precio de contado es de $ 45,730.00 se vende con un
enganche del 10% del precio de contado y el saldo en pagos quincenales a 3
meses de plazo, con un interés del 33.648% capitalizable cada quincena. Elaborar
la tabla de amortización.
4. Una persona solicita un préstamo de $ 85,000.00 para ser amortizado en pagos
mensuales durante 2 años con intereses del 2.5% mensual capitalizable cada
mes. Hallar la distribución del pago número 12 así como el saldo insoluto después
de haber efectuado dicho pago.
5. Gloria compró una computadora a crédito la cual tenía un precio de contado de $
7,340.00. La compra fue sin enganche y a un plazo de 18 meses para pagar, con
una tasa de interés del 34.08% compuesto mensualmente. Determine la cantidad
que Gloria deberá pagar si al cabo de 10 meses desea liquidar el total de la
deuda.
6. Se compró una automóvil nuevo cuyo valor es de $ 73,000.00, a un plazo de 20
pagos trimestrales, sin enganche y con una tasa de interés del 26% capitalizable
cada trimestre. Calcular la cantidad amortizada y el saldo insoluto después de
transcurridos 3 años.
7. El señor Rivera compró un departamento a 10 años con pagos mensuales de $
3,112.10. Si la tasa de interés es del 28% capitalizable cada mes, calcule la
cantidad que hay que pagar para saldar la deuda al cabo de 7 años. ¿Qué
cantidad de intereses se han pagado en estos 7 años?
8. Un préstamo por $ 50,000.00 se amortizará mediante 5 pagos cuatrimestrales
10. iguales y junto con el quinto pago se entregará $ 15,000.00. Si la tasa de interés
es del 32.04% capitalizable cada 4 meses, encontrar el pago cuatrimestral y
elaborar la tabla de amortización.
9. Una pareja de recién casados compra un departamento de $ 95,000.00 pagando
$ 15,000.00 de enganche y por el saldo adquieren un crédito hipotecario a 12
años con una tasa de interés del 27% capitalizable cada mes.
a) Calcule el pago mensual.
b) ¿Qué cantidad del pago número 72 se destina a intereses y qué cantidad
se aplica a reducir la deuda?
c) ¿Qué cantidad se debe inmediatamente después de efectuado el pago
número 72?
10.Con respecto al ejercicio anterior, supóngase que a los pocos días de efectuado
el pago número 55 la tasa de interés baja al 22%, capitalizable cada mes. ¿Cuál
será el valor del nuevo pago mensual?
11.El señor Salinas compra a crédito un automóvil que vale $ 53,000.00. Las
condiciones de pago son las siguientes:
• 8% de enganche
• 6 pagos mensuales iguales
• $ 10,000.00 que se entregarán junto con el último pago
Si la tasa de interés es del 32% capitalizable mensualmente:
a) Calcúlese el valor del pago mensual.
b) Elabórese la tabla de amortización.
12.Cynthia adquiere un mueble en $ 3,260.00 y acuerda pagar esa cantidad
mediante abonos mensuales de $ 593.00. Si el interés se cobra a razón del
30.695% capitalizable cada mes, ¿cuántos pagos se harán? Elabore la tabla de
amortización de la deuda.
13.Tomás tiene una deuda de $ 1,500.00 la cual va a amortizar efectuando pagos de
$ 250.00 al final de cada trimestre.
a) Determine el número de pagos completos que serán necesarios, si la tasa
de interés es del 21.36% compuesto cada trimestre.
b) Elabore la tabla de amortización.
c) Determine el valor del pago final, si éste se realiza un trimestre después
de realizado el último pago completo?
14.Se liquida una deuda mediante 5 pagos mensuales de $ 1,500.00 cada uno, los
cuales incluyen intereses del 36% anual capitalizable cada mes. Encuentre el
valor original de la deuda y elabore la tabla de amortización.
15.Resuelva el problema anterior mediante la amortización a interés simple y
compare los resultados.
11. FONDOS DE AMORTIZACIÓN
Una suma de dinero que se va acumulando con el fin de obtener un determinado
monto se llama fondo de amortización. El fondo de amortización generalmente se forma
invirtiendo cantidades iguales al final de periodos iguales; esto significa que el valor del
fondo, al final de un cierto tiempo, corresponde al monto de una anualidad ordinaria.
Los fondos de amortización se establecen con el fin de pagar una deuda que
vence en fecha futura, para la compra de equipo nuevo que sustituya al equipo
depreciado u obsoleto, para los fondos de jubilación, etcétera.
Si bien los fondos de amortización y la amortización de deudas se utilizan con el
fin de pagar una obligación, existe una clara diferencia entre ellos: los pagos periódicos
de una amortización se destinan a liquidar una deuda que ya se tiene; mientras que los
pagos periódicos hechos a un fondo de amortización tienen como objetivo la
acumulación con el fin de liquidar una deuda futura.
EJEMPLO 11.10
La vida útil de un cierto equipo industrial que acaba de ser adquirido por una
compañía es de 5 años. Con el fin de reemplazarlo al final de este tiempo, la compañia
establece un fondo de amortización efectuando depósitos anuales en una cuenta
bancaria que paga el 9.6%, anual. Si se estima que el equipo costará 42,740 dólares,
halle el valor del depósito.
SOLUCION
Se trata de hallar el pago periódico de una anualidad ordinaria cuyo monto será
42,740 dólares al final de 5 años y cuya tasa de interés es del 9.6'%.
El fondo de amortización se forma invirtiendo 7,056.68 dólares al final de cada
año, durante 5 años.
Una tabla de capitalización, llamada también tabla de fondo de amortización,
muestra la forma en que se acumula el dinero, periodo tras periodo, en un fondo de
amortización.
EJEMPLO 11.11
Elaborar la tabla de capitalización del ejemplo anterior.
12. El interés ganado al final del año se obtiene utilizando la fórmula del interés
simple, usando como capital la cantidad al inicio del año.
I = (7,056.68) (0.096) (1) = 677.44
El monto al final del año, que es exactamente igual a la cantidad en el fondo al
inicio del año, se obtiene sumando la cantidad al inicio del año más el interés ganado
más el depósito hecho al final del año:
7,056.68 + 677.44 + 7,056.68 = 14,790.81
Los depósitos hechos al final del año no ganan intereses.
La suma de la columna 'interés ganado" más la suma de la columna "depósito
hecho al final del año" es igual al monto o valor futuro de la anualidad:
7,456.58 + 35,283.40 = 42,739.98
La diferencia de 2 centavos se debe al redondeo de las cantidades.
EJEMPLO 11.12
Ramón desea tener $ 12,000.00 para darlos de enganche para una casa. Si
puede ahorrar $1,300.00 cada mes en un banco que le paga una tasa de interés del
2.24% mensual, ¿cuánto tiempo se tardará en acumular los $ 12,000.00? constrúyase
la tabla de capitalización.
SOLUCION
Ramón tendrá que hacer 8 depósitos mensuales de $ 1,300.00 más un noveno
depósito por una cantidad menor a $1,300.00..
13. El noveno depósito será por $ 495.00.
Ejercicios 11.2
1. Una persona desea reunir $1,350.00 para comprar una cámara fotográfica dentro
de 3 meses. ¿Cuánto deberá depositar cada quincena en una cuenta bancaria
que paga el 20% de interés capitalizable quincenalmente? Elabore la tabla de
capitalización.
2. Una persona desea reunir $ 30,000.00 en 3 años, haciendo depósitos
cuatrimestrales en una cuenta de ahorros que paga el 18% capitalizable
cuatrimestralmente. Después de un año el banco elevó la tasa de interés al 22%.
Si los depósitos continuaron igual, ¿cuál será el monto al final de 3 años?
Elabore la tabla de capitalización.
3. Araceli pide $ 5,500.00 prestados por 6 meses al 32% compuesto cada trimestre.
Araceli piensa establecer un fondo de amortización para saldar la deuda al final
de los 6 meses. Si el fondo paga un interés del 26% compuesto cada mes, ¿cuál
será el valor del depósito mensual? Elabórese la tabla de capitalización.
4. Resuelva el ejemplo 11.10 si Ramón puede ahorrar $1,450.00 y la tasa de
interés es del 2.7% mensual.
5. Adriana desea ahorrar $ 6,350.00 con el fin de comprar una microcomputadora.
Si puede ahorrar $ 1,000.00 cada mes y puede invertir esa cantidad al 25%
capitalizable mensualmente, ¿cuántos depósitos completos hará y cuál será el
valor del depósito final? Elabore la tabla de capitalización.