El documento explica el Teorema de Bayes, que permite calcular probabilidades condicionales a posteriori (o corregidas) a partir de probabilidades a priori y la evidencia de que ha ocurrido un suceso. Se presenta un ejemplo para calcular la probabilidad de que una mujer morocha provenga de Sudamérica, Centroamérica o Norteamérica usando esta técnica. Finalmente, se concluye que es más probable que provenga de Sudamérica.

1. CORPORACION UNIVERSITARIA MINUTO DE DIOS
INGENIERA INDUSTRIAL
PROBABILIDAD Y ESTADISTICA
NRC: 4151
TEOREMA DE BAYES
17 / ABRIL / 2012
ALEJANDRO ACEVEDO
ID:000087629

2. TEOREMA DE BAYES
El autor R.L. Mills (5) hace una interesante introducción al Teorema de Bayes,
citando a su vez al libro de WillDurant: “La Epoca de Voltaire”. Leemos lo
siguiente: „Describe W. Durant el periodo entre 1715 y 1789 de la siguiente
manera:
"La ciencia estaba ofreciendo una nueva revelación ..Dos sacerdocios se
enfrentaban en conflicto: el uno dedicado al moldeamiento del carácter mediante
la religion, el otro a la educación del intelecto mediante la ciencia."
El Reverendo Thomas Bayes estaba dividido en ese conflicto. Como sacerdote y
como matemático, estaba afectado por las relaciones causa - efecto. Tanto el
teorema que lleva su nombre como el concepto de "probabilidad subjetiva" de él
derivado han producido una revolución en nuestro tiempo.'
La regla de Bayes es solo una técnica para calcular probabilidades condicionales,
y como regla de probabilidad es indiscutible así como su validez. A partir de un
conjunto de probabilidades llamadas "a priori" o "sin corregir", calcula un conjunto
de probabilidades "a posteriori" o "corregidas" que no son mas que una
modificación de las primeras ante la evidencia de que un determinado suceso ha
ocurrido.
Para aclarar estos conceptos, observemos a continuación la diferencia entre
el planteo de probabilidad condicional realizado hasta este momento y el de
Bayes. Cuando nosotros escribimos:
P(B|A)
decimos que esto es
- la probabilidad de que habiendo ocurrido el suceso A, ocurra B. Probabilidad
condicional.
El planteo que hace la Regla de Bayes es:
- el suceso B ha ocurrido, cual es la probabilidad de que provenga de A. Que A
sea causa de B. O sea debo hallar P(A|B).
De una manera mas general podemos decir : El evento B ha ocurrido, cual es la
probabilidad de que haya sido generado por el suceso A1, el A2, etc.; causas
posibles y excluyentes entre si.
Sabemos que P(B|A1) = P(B ^ A1)/P(A1)
y P(A1|B) = P(B ^ A1)/P(B ) De lo que se deduce,

3. P(A1|B).P(B) = P(B|A1).P(A1)
Despejando P(A1|B) ,
(ii) P(A1|B) = P(B|A1).P(A1)/P(B)
Para calcular P(B), supongamos que hay N eventos (A1,A2,A3,..An) mutuamente
excluyentes entre si que podrían causar el evento B(efecto). El efecto B debería
ser generado por una de esas causas; entonces la probabilidad de que B ocurra
puede estar dada por:
P(B) = P[(A1^B) U (A2^B) U (A3 ^ B) U...U (An^B)]
Como los sucesos Ai son mutuamente excluyentes, entonces: (Ai^B) y (Aj^B)
deben serlo para todo i distinto de j. Por la regla de adición obtenemos:
P(B) = P(A1).P(B|A1) + P(A2).P(B|A2) +...+ P(An).P(B|An)
Reemplazando este resultado en la ecuación (ii) obtenemos la
REGLA DE BAYES
P(A1|B) = P(A1).P(B|A1) / { P(A1).P(B|A1)+....+P(An)P(B|An) }
De un modo más general:
P(Ai|B) = P(Ai).P(B|Ai) / { P(Ak).P(B|Ak) } para i=1...n
Repasemos el significado de estos términos:
P(Ai|B) = Dado que ya ocurrió el evento B(efecto), probabilidad de que lo causara
Ai.
P(Ai) = Probabilidad de ocurrencia del evento Ai ; probabilidad “a priori” o sin
corregir.
P(B|Ai) = Probabilidad del evento B dado que Ai ocurre.

4. EJEMPLO:
Analicemos el siguiente ejemplo:
Supongamos que la probabilidad de encontrar una mujer morocha en Sudamérica
sea P(m|s)=0.7. En Centroamérica P(m|c)= 0.9 y en América del Norte
P(m|n)=0.4.
Ahora bien; se realiza un concurso de belleza para elegir Mis América. De las
participantes el 30% son sudamericanas, el 20% de Centroamérica y el 50%
restante del norte.
De golpe a Ud. le presentan una morocha. Apostaría de que parte del continente
proviene?
Extractamos la información y observamos las siguientes probabilidades "a priori"
de hallar una mujer de c/u de las regiones del continente del total de las
participantes del concurso:
P(s) = 0.3
P(c) = 0.2
P(n) = 0.5
A su vez la probabilidad de hallar una morocha según la región continental será:
P(m|s) = 0.7
P(m|c) = 0.9
P(m|n) = 0.4
Aplicando la regla de Bayes debemos hallar P(s|m), P(c|m) , y P(n|m); bajo la
certeza que ocurrió el suceso : {MOROCHA}
Resulta:
P(s|m) = P(m|s) x P(s) / (P(m|s).P(s)+P(m|c).P(c)+P(m|n).P(n))
P(s|m) = 0.7 x 0.3 / (0.7x0.3 + 0.9x0.2 + 0.4x0.5)

5. Generando una tabla de doble entrada como vimos en otra nota anterior, nos
queda:
sud. cent. nort. P (tez)
m. mor. 0.21 0.18 0.20 0.59
m. no mor. 0.09 0.02 0.30 0.41
P (origen) 0.30 0.20 0.50 1
Así las probabilidades marginales nos informan de la probabilidad del color de tez
independientemente del origen geográfico y viceversa P(origen), sin tomar en
cuenta el tipo de tez.
Usando los valores de tabla podemos hallar las probabilidades a posteriori :
P(s|m) = 0.21 / 0.59 = 0.36
P(c|m) = 0.18 / 0.59 = 0.31
P(n|m) = 0.20 / 0.59 = 0.33
De donde se induce que lo más probable es que se trate de una sudamericana.
Los demás valores de tabla fueron calculados como la probabilidad de una
intersección de sucesos o probabilidad conjunta como se vio anteriormente
(iii, y jjj),
P(A^B)=P(A|B) x P(B),
numerador en la regla de Bayes).

6. BIBLIOGRAFIA
1) CANAVOS G.C.
Probabilidad y Estadística, aplicaciones y métodos. Mc Graw-Hill - 1988
2) KALBFLEISCH J.C.
Probabilidad e inferencia estadística. Editorial AC - Madrid - 1984
3) MEYER P.L.
Probabilidades y aplicaciones estadísticas. Fondo Educativo
Interamericano - 1973
4) MILLER I. y FREUND J.E.(*)
Probabilidad y estadistica para ingenieros. Prentice Hall - 1986
5) MILLS R.L.
Estadística para la economía y la administración. Mc Graw-Hill – 1977