1) El documento describe las ecuaciones de varias curvas planas como la recta, la circunferencia, la elipse, la hipérbola y la parábola. 2) Se presentan las ecuaciones paramétricas y cartesianas de cada curva, así como sus elementos geométricos característicos como ejes, focos y directrices. 3) Las ecuaciones permiten representar matemáticamente cada curva y relacionar puntos en el plano con sus coordenadas.

1. LAS CÓNICAS

2. VICTOR JACOME 2 001 - 2 002

3. LA RECTA

4. ECUACIÓN DE LA RECTA y 2 - y 1 x 2 - x 1 y - y 1 x - x 1 y -y 1 y 2 -y 1 x -x 1 x 2 -x 1 y-y 1 y 2 -y 1 (x - x 1 ) x 2 -x 1 P P 1 (x 1 ,y 1 ) P 2 (x 2 ,y 2 ) Tg  = m = = = y x

5. ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA y-y 1 y 2 -y 1 (x-x 1 ) x 2 -x 1 (x 2 -x 1 ) (y-y 1 ) = y 2 -y 1 (x-x 1 ) x 2 y - x 2 y 1 - x y- x 1 y 1 = y 2 x - x y 2 - y 1 x + x 1 y 1 x 2 y - x 2 y 1 - x 1 y - y 2 x + x 1 y 2 + y 1 x - x 1 y 1 = 0 (y 1 - y 2 )x + (x 2 - x 1 )y +(x 1 y 2 - x 2 y 1 ) = 0 D x + E y + F = 0 =

6. LA CIRCUNFERENCIA

7. LA CIRCUNFERENCIA (x´) 2 + (y´) 2 = R 2 (x-h) 2 +(y-k) 2 = R 2 ECUACIÓN CANÓNICA DE LA CURVA. x= h+x´ x´= x-h y= k+y´ y´ = y-k y y´ x´ x k h x ´ x P´(x´,y´) P(x,y) y´ y c c(h,k)

8. ECUACIÓN GENERAL DE LA CIRCUNFERENCIA ( x -h ) 2 + (y -k ) 2 = R 2 x 2 - 2hx + h 2 +y 2 -2ky +k 2 = R 2 x 2 + y 2 - 2hx - 2ky + (h 2 +k 2 -R 2 ) = 0 A x 2 + B y 2 +D x + E y +F = 0 circunferencia => A=B= 1 D= -2h E= -2k F= ( h 2 + k 2 - R 2 ) ecuación de la recta=> A=B= 0

9. A x 2 +B y 2 + D x +E y+ F = 0 A= B = 1 D = -2h => h = E= -2k => k = F= h 2 + k 2 - R 2 => R 2 = h 2 +k 2 - F R 2 = - = -D 2 -E 2 D 2 4 + E 2 4 F D 2 + E 2 - 4F 4

10. A x 2 + B y 2 + D x +E y+ F = 0 <=> ( x- h ) 2 + ( y - k ) 2 = R 2 x D 2 y E 2 D + E - 4F 2 2 4 D 2 + E 2 - 4 F D 2 + E 2 - 4F 4 4 > 0 circ. Real = 0 PUNTO < 0 circ. Imaginaria + + + = R 2 = = R =

11. LA ELIPSE

12. LA ELIPSE f1(-c,o) f2(c,o) V1(-a,o) V2(a,o) L.R M1 M2 P1 P2 P3 r1 r2 P4 Y Eje Normal X Eje Focal l 1 l 2 l 4 l 3 V1V2 = longitud del eje mayor M1M2 = longitud del eje menor r 1 + r 2 = 2a = cte. P(x,y)

13. ECUACIÓN DE LA ELIPSE r 2 + r 2 = 2a (x+c ) 2 + y 2 + (x-c) 2 + y 2 = 2a (x+c) 2 + y 2 = 2a - (x-c) 2 + y 2 (x-c) 2 + y 2 2 = 2a - (x-c) 2 +y 2 2 x 2 +2c+c 2 +y 2 = 4a 2 -4a (x-c) 2 + y 2 + (x-c) 2 +y 2 2 x 2 +2cx+c 2 +y 2 = 4a 2 -4a (x-c) 2 + y 2 +x 2 -2cx+c 2 +y 2 4cx-4a 2 = -4a (x-c) 2 + y 2 4a 2 -4cx = 4a (x-c) 2 +y 2 (a 2 -c x) 2 = a (x-c) 2 + y 2 2 a 4 -2a 2 c x + c 2 x 2 = a 2 (x 2 -2cx+c 2 + y 2 ) a 4 -2a 2 c x+c 2 x 2 = a 2 x 2 -2a 2 c x+a 2 c 2 +a 2 y 2 -a 2 c 2 +a 4 = ( a 2 x 2 -c 2 x 2 )+a 2 y 2 a 2 - c 2 = b 2 a 2 b 2 = b 2 x 2 +a 2 y 2 b 2 x 2 a 2 y 2 a 2 b 2 x 2 y 2 = 1 ECUACIÓN DE LA a 2 b 2 a 2 b 2 a 2 b 2 a 2 b 2 ELIPSE + = +

14. ECUACIÓN GENERAL DE LA ELIPSE h k x x´ y´ y M´1 M´2 V2´ V1´ f1´ f2´ P´(x´, y´) P (x,y) C V1´(-a,o) V2´(a,o) M1´(o,b) M2´(o,b) C´(o,o) C (h,k) (x´) 2 (y´) 2 = 1 a 2 b 2 +

15. ECUACIÓN GENERAL DE LA ELIPSE ( x-h) 2 (y-k) 2 a 2 b 2 b 2 (x 2 - 2hx +h 2 ) + a 2 (y 2 - 2ky + k 2 ) = a 2 b 2 b 2 x 2 - 2b 2 x h + b 2 h 2 + a 2 y 2 - 2a 2 k y + a 2 k 2 = a 2 b 2 b 2 x 2 + a 2 y 2 - 2b 2 h x - 2a 2 k y + (b 2 h 2 + a 2 k 2 - a 2 b 2 )=0 A x 2 + B y 2 + D x + E y + F = 0 A= b 2 B= a 2 D= -2b 2 h Eje Focal ELIPSE E= - 2a 2 k en X A = B F= b 2 h 2 + a 2 k 2 - a 2 b 2 + =1

16. LA HIPÉRBOLA

17. LA HIPERBOLA Y X EJE CONJUGADO EJE NORMAL EJE FOCAL C r1 r2 r2 r1 f1(-c,o) f2(c,o) V1(-a,o) V2(a,o) L.R L.R Eje Transverso asíntota P(x,y) P(x,y) l 1 l 2

18. ECUACIÓN CANÓNICA DE LA HIPERBOLA r 2 - r 2 = ± 2a (x-c ) 2 + y 2 + (x+c) 2 + y 2 = 2a (x-c) 2 + y 2 = 2a + (x+c) 2 + y 2 (x+c) 2 + y 2 2 = 2a + (x+c) 2 +y 2 2 x 2 -2c+c 2 +y 2 = 4a 2 +4a (x+c) 2 + y 2 + (x+c) 2 +y 2 2 x 2 -2cx+c 2 +y 2 = 4a 2 +4a (x+c) 2 + y 2 +x 2 +2cx+c 2 +y 2 -4cx = 4a 2 + 4a (x+c) 2 + y 2 a (x-c) 2 + y 2 2 = - ( a 2 +c x) 2 a 2 (x +c) 2 + y 2 = a 4 + 2a 2 c x +c 2 + x 2 a 2 (x 2 +2c x+c 2 y 2 ) = a 4 +2a 2 c x+ c 2 +x 2 a 2 x 2 + 2a 2 c x + a 2 c 2 + a 2 y 2 = a 4 + 2a 2 c x + c 2 x 2 (c 2 x 2 -a 2 x 2 ) - a 2 y 2 = a 2 c 2 -a 4 c 2 -a 2 = b 2 (c 2- a 2 ) x 2 -a 2 y 2 = a 2 (c 2 -a 2 ) b 2 x 2 a 2 y 2 a 2 b 2 x 2 y 2 ECUACIÓN DE LA a 2 b 2 a 2 b 2 a 2 b 2 a 2 b 2 HIPERBOLA - = - =1

19. LA HIPÈRBOLA l 1 l 2 f1 V1 V2 f2 P 1 ( c, b 2 /a) P 2 ( c, -b 2 /a) Y X Eje Focal M1 M2 C C(0,0)

20. x 2 y 2 a 2 b 2 x 2 1 y 2 a 2 b 2 y 2 b 2 x 2 1 a 2 y 2 b 2 x 2 - a 2 a 2 y 2 b 2 (x 2 - a 2 ) y 2 ± b ( x 2 - a 2 ) a 2 a si => x=c y ± b (c 2 - a 2 ) a y ± b b 2 a y ± b (b) y ± b 2 a a - =1 - = = = = = = = = = -

21. si x =  y ± b ( x 2 - a 2 ) a y ± b x 2 1- a 0 a x 2 0 y ± b x y = mx + k ECUACIÓN DE UNA RECTA ASINTÓTICA a y b x ==> ay - bx = 0 ==> l 1 a y b x ==> ay + bx = 0 ==> l 2 a = = = = = -

22. ECUACIÓN GENRAL DE LA HIPERBOLA Y X Y´ X´ V1 V2 f1 f2 C’(h,k) C (0,0) C

23. ECUACIÓN GENERAL DE LA HIPERBOLA ( x´) 2 (y´) 2 a 2 b 2 ( x-h) 2 (y-k) 2 a 2 b 2 b 2 ( x 2 - 2hx + h 2 ) - a 2 ( y 2 -2ky + k 2 ) = a 2 b 2 b 2 x 2 - 2b 2 h x + b 2 h 2 - a 2 y 2 - 2a 2 ky + a 2 k 2 -a 2 b 2 = 0 b 2 x 2 - a 2 y 2 - 2b 2 hx + 2a 2 ky + ( b 2 h 2 - a 2 k 2 - a 2 b 2 ) = 0 A x 2 + B y 2 + D x + E y + F = 0 HIPERBOLA: A = b 2 B = -a 2 D = -2b 2 h E = -2a 2 k F = ( b 2 h 2 - a 2 k 2 - a 2 b 2 ) - =1 - =1

24. LA PARÀBOLA

25. LA PARÁBOLA D Y d d V f P2 P(x;y) P1 (x1;y1) r r (p;o) LR DIRECTRIZ X Eje de simetría r = d V(0,0)

26. r = d (x-p) 2 + (y-0) 2 2 = (x+p) 2 x 2 - 2px + p 2 +y 2 = x 2 + 2px + p 2 y 2 = 4px ECUACIÒN DE LA PARÀBOLA ECUACIÒN DE LA DIRECTRIZ D x = -p x + p = 0 Si x = p y 2 = 4p 2 y= ± 2p P (x,y) LR = 4p y 2 = 4px y = ± 2 px

27. LA PARÀBOLA k h v P Y´ 2 = 4p x´ X X´ Y´ Y D V’ (0;0) V (h;k)

28. ECUACIÓN GENERAL DE LA PARÁBOLA (y’) 2 = 4px’ (y - k ) 2 = 4p (x - h) y 2 - 2yk + k 2 = 4px - 4ph y 2 - 4px - 2ky + k 2 + 4ph = 0 A x 2 + B y 2 + D x + E y + F = 0 A = 0 B = 1 D = -4p E = -2k F = k 2 + 4ph Eje focal en x