El documento presenta la solución al cálculo de la derivada de la función f(x) = e^x por definición. Primero se escribe la definición de derivada como un límite. Luego, se factoriza e^x del numerador y se realiza un cambio de variable para eliminar la indeterminación al evaluar el límite directamente. Finalmente, se obtiene que la derivada es también e^x.

1. HKV TEX
Victor Solano Mora 1
Tema: Cálculo diferencial
Obtener la derivada por definición de
º
x
f(x) = e
Solución:
Dado que la deficinión de derivada equivale al límite l´ım
h0
f(x + h) − f(x)
h
, entonces debemos calcular:
l´ım
h0
e
º
x+h − e
º
x
h
Es evidente que al evaluar el límite directamente se obtendrá una indeterminación, razón por la cual, no
º
se agrega dicha evaluación en esta solución. Al factorizar e
x del numerador se obtiene (recuerden la
propiedad de potencias que enuncia am ÷ an = am−n):
l´ım
h0
e
º
x+h−
º
x ‰e
º
x − 1Ž
h
º
x no depende de h se puede “sacar” del límite:
Como e
º
x l´ım
e
h0
º
x+h−
e
º
x − 1
h
Haciendo el cambio de variable u =
º
x + h, se tiene que cuando h 0u
º
x. Además, h = u2 − x,
entonces se tiene:
º
x l´ım
e
u
º
x
º
x − 1
u2 − x
eu−
factorizando
º
x en el denominador y “sacándolo” del límite se obtiene:
º
x
º
x
e
l´ım
u
º
x
eu−
º
x − 1
u2
º
x −
º
x
º
x
º
x
e
l´ım
u
º
x
º
x ‰eu−
º
x − 1Ž
u2 − x
Restableciendo el cambio de variable se transforma en el límite:
º
x
º
x
e
l´ım
h0
º
x ‰e
º
x+h−
º
x − 1Ž
h