Probabilidad de un Evento - Función Lineal - Angulo Diedro - Razones Trigonométricas

PRESENTACIÓN
La Universidad de Ciencias y Humanidades saluda la participación
de los asesores de las diferentes instituciones educativas en el
presente 21.º Conamat 2018.
La problemática de la realidad educativa nacional, y en especial
de la matemática, no debe ser motivo de desaliento e indiferencia
sino, por el contrario, debe incentivar a la investigación para me-
jorar e innovar la calidad de la enseñanza en todos los niveles de
la educación.
Entre los objetivos de nuestra institución está el compromiso no
solo con la asesoría a través de seminarios y charlas, sino también
con la elaboración de material bibliográfico que contribuye a cu-
brir los requerimientos de los estudiantes del país.
En esta oportunidad presentamos el material correspondiente al
Seminario para asesores. Contiene tópicos sobre Probabilidad de
un evento (aritmética), Función lineal y función afín (álgebra),
Ángulo diedro y planos perpendiculares (geometría), y Razones
trigonométricas de un ángulo en posición normal (trigonome-
tría). La teoría sintética y los ejercicios seleccionados que forman
parte del contenido permiten explorar y profundizar algunos de los
temas más importantes de la matemática.
Seguros de la utilidad del presente material, reiteramos nuestro
saludo por su participación, que realza el desarrollo del presente
evento académico.

ÍNDICE
Probabilidad de un evento ......................................................... 6
Problemas resueltos .................................................................. 12
Problemas propuestos ............................................................... 14
Función lineal y función afín ...................................................... 15
Problemas propuestos ............................................................... 23
Ángulo diedro y planos perpendiculares .................................... 26
Problemas propuestos .............................................................. 34
Razones trigonométricas de un ángulo en posición normal ....... 35
Problemas propuestos .............................................................. 46

INTRODUCCIÓN
Pensar en la matemática como una actividad humana es coherente con una
concepción científica, en tanto la matemática da cuenta de una realidad y se
distancia de posturas racionalistas que la ven desvinculada de las necesidades
más concretas de la vida cotidiana, limitándose a la validación de las inferencias
lógico-formales.
Generalmente, la matemática se presenta a los estudiantes como una ciencia de
naturaleza abstracta, donde los conocimientos se adquieren de forma mecánica;
además, los problemas que se plantean son enunciados verbales en lenguaje
matemático, ligados al tipo de operación o tema que se quiere desarrollar, don-
de la contextualización resulta irrelevante para su comprensión y resolución. Con
ello, se limita al alumno a adivinar o descifrar cuál es el tipo de operación a rea-
lizar, sin poner en juego su sentido común y lo que conoce sobre las cosas fuera
del entorno de la escuela.
Si abandonamos la contextualización, los alumnos se preguntarán cuál es el uso
o aplicación de lo que se aprende en la escuela. Actualmente, numerosos es-
tudios demuestran que el interés y los logros de los mismos con respecto a la
matemática mejoran cuando se conectan los conocimientos nuevos con las expe-
riencias y los conocimientos previos, cuando aprenden a través de la aplicación
de problemas a la vida diaria fuera del aula.
Para involucrar a nuestros estudiantes en la contextualización de problemas
matemáticos, se puede utilizar un enfoque histórico, lo cual implicará una con-
textualización y explicación histórica del tema. También se puede emplear el
contexto interdisciplinario, lo que permitirá relacionar la matemática con otras
asignaturas; el contexto del juego, en el que a partir de sus actividades lúdicas
se podrá involucrar la matemática; el contexto laboral, lo cual permitirá que el
estudiante pueda verse reflejado en una situación concreta de su futuro laboral;
y el contexto científico, en el que se producirá la demostración de teoremas o
experimentos.
Hay una tarea ardua para involucrar la contextualización en las preguntas de
matemática, ya que hay modelos preestablecidos. El uso de la contextualiza-
ción, en una sociedad en profundo cambio, debe mejorar la labor docente y la
educación en general, involucrando al estudiante en este cambio y haciéndolo
partícipe de su propio aprendizaje.

6
21.O
CONAMAT 2018
Aritmética
Probabilidad de un evento
JUEGOS DE LOTERÍA
P aula pidió a Gonzalo que la acompañe a comprar dos tickets de
lotería para su papá y este accedió; pero, como Gonzalo sabía por
comentarios de su mamá que los juegos de azar o de lotería causan
ludopatía, una terrible adicción, se lo comentó también a Paula. Su ami-
ga no le creyó, pues esos tickets de lotería los venden en todas partes.
También le contó a Paula que para demostrarle las pocas posibilida-
des de ganar en estos juegos, su mamá había realizado el cálculo de
todas las posibles jugadas justamente en el juego de lotería que iba a
comprar Paula, en el que se debía elegir 6 números de un total de 45.
Luego de los cálculos, pudo constatar, con sorpresa, que hay 8 145 060
jugadas diferentes que se podían realizar. Esto quiere decir que la po-
sibilidad de poder ganar el juego es 1 de 8 145 060. Un juego de lotería
es un juego de azar en el cual las posibilidades de ganar o perder no
dependen exclusivamente de la habilidad del jugador, sino que intervie-
ne el azar. El papá de Paula juega todas las semanas esta lotería y en
cada juego realiza siempre dos apuestas, y espera alguna vez llevarse el
premio mayor. Gonzalo ofreció a Paula pedirle a su mamá que haga el
cálculo de cuánto dinero tendría si su papá hubiera conservado lo que
invierte en este juego y Paula accedió.
Lee, razona y responde
1. ¿Cuántos años tendrían que pasar para que el papá de Paula pue-
da realizar todas las jugadas posibles?
2. ¿Cuántas jugadas diferentes existirían si el juego consistiera en
elegir 6 números de un total de 36?
3. ¿Crees que el papá de Paula pueda ganar el premio mayor?
1. CONCEPTOS PREVIOS
1.1. Experimento aleatorio (ε)
Es aquel experimento cuyo resultado depende del azar, es de-
cir, si repetimos ese experimento varias veces, no es posible
predecir su resultado.
Ejemplos
ε1: lanzar un dado; ε2: lanzar dos monedas
En los experimentos determi-
nistas podemos predecir el re-
sultado antes de que se realicen.
Ejemplo: Si dejamos caer una
piedra desde lo alto de una casa,
sabemos, sin lugar a dudas, que
la piedra descenderá.
Los experimentos aleatorios son
aquellos en los que no se puede
predecir el resultado, ya que este
depende del azar.
Ejemplo: Si lanzamos una mone-
da, no sabemos de antemano si
saldrá cara o sello.
Experimento
determinista
Experimento
aleatorio
Importante

7
SEMINARIO PARA ASESORES
1.2. Espacio muestral (Ω)
Es aquel conjunto conformado por todos los posibles resulta-
dos del experimento aleatorio.
Ejemplos
Ω1={1; 2; 3; 4; 5; 6}; Ω2={(C; C), (C; S), (S; C), (S; S)}
1.3. Evento
Es cualquier subconjunto del espacio muestral de un experi-
mento aleatorio. Usaremos la notación conjuntista A, B, C,
etc.
Ejemplo
El experimento aleatorio ε1 es lanzar un dado y su espacio
muestral es Ω1={1; 2; 3; 4; 5; 6}, entonces los eventos posibles
son los siguientes:
• A: obtener un número par → A={2; 4; 6}
• B: obtener un número par y compuesto → B={4; 6}
• C: obtener un número menor o igual a 4 → C={1; 2; 3; 4}
2. CLASES DE EVENTOS
2.1. Evento imposible
Es todo evento que no posee elementos o puntos muestrales.
Al hacer una prueba del experimento aleatorio, no ocurre nin-
gún caso favorable. Se le designa por f.
Ejemplo
A: lanzar dos monedas y que se obtenga como resultado tres
caras
A= f
2.2. Evento unitario o elemental
Es aquel evento que contiene un solo elemento o punto muestral.
Ejemplo
B: lanzar dos monedas y que se obtenga como resultado solo
caras
B={CC} → n(B)=1
La cantidad de eventos elementa-
les que tiene un espacio muestral
coincide con el cardinal del espa-
cio muestral.
Ejemplo
Se lanzan dos monedas, en-
tonces su espacio muestral es
Ω= {CC, CS, SC, SS}.
Luego, los eventos elementales
son {CC}, {CS}, {SC} y {SS}.
Por lo tanto, hay cuatro eventos
elementales.
cantidad
de eventos
elementales





 = Ω( )n
Observación

8
21.O
CONAMAT 2018
2.3. Evento seguro
Es aquel evento que posee todos los puntos muestrales o ele-
mentos del espacio muestral. Al realizar una prueba del expe-
rimento aleatorio, todos los casos son favorables.
Ejemplo
C: lanzar un dado y que se obtenga como resultado un núme-
ro menor a 7
C={1; 2; 3; 4; 5; 6}
2.4. Evento contrario
Dado un evento determinado A, el evento contrario es aquel
que posee los puntos muestrales que no posee A y se le desig-
nará (A' o AC).
AC= Ω -A
Ejemplo
Sea el experimento aleatorio lanzar dos monedas; luego, los
eventos son los siguientes:
A: sacar alguna cara
A={CC, CS, SC}
AC: no sacar ninguna cara
AC={SS}
3. DEFINICIÓN CLÁSICA DE PROBABILIDAD (REGLA DE
LAPLACE)
Dado un espacio muestral finito Ω, en el que todos sus ele-
mentos tienen igual posibilidad de ocurrir, la probabilidad de
que ocurra A, que denotaremos P(A), se calcula dividiendo el
total de casos favorables del evento A entre el total de casos
posibles de Ω.
P A
A
( ) =
cantidad de casos favorables de
cantidad de casos possibles de Ω
=
( )
Ω( )
n A
n
Para todo evento A contenido en
un espacio muestral Ω, se cum-
ple que
• Si A es un evento imposible
→ P (A)=0
• Si A es un evento seguro
→ P (A)=1
Importante
En muchos casos no es necesario
describir todos los elementos del
espacio muestral (Ω), sino que
solo nos interesa saber cuántos
elementos tiene, para lo cual
emplearemos el análisis combi-
natorio.
Observación

9
Aplicación 1
Halla la probabilidad de que al lanzar un dado se obtenga un
resultado menor que 3.
Resolución
Sea el experimento aleatorio
ε: lanzar el dado
Ω={1; 2; 3; 4; 5; 6} → n(Ω)=6
Sea el evento
A: obtener un resultado menor que 3
A={1; 2} → n(A)=2
Finalmente
P A
n A
n
( ) =
( )
Ω( )
= =
2
6
1
3
Aplicación 2
Si se lanza una moneda 3 veces, halla la probabilidad de obte-
ner resultados iguales.
Resolución
Sea el experimento aleatorio
ε: lanzar una moneda 3 veces
Ω={CCC; CCS; CSC; SCC; CSS; SCS; SSC; SSS}
→ n(Ω)=8
Sea el evento
C: obtener el mismo resultado
C={CCC; SSS} → n(C)=2
Finalmente
P
n C
nC( ) =
( )
Ω( )
= =
2
8
1
4
Por lo general, un problema de
probabilidad tiene la siguiente
característica:
experimento aleatorio
(cálculo del espacio muestral)
...................................
¿Cuál es la probabilidad de
?
evento
(caso favorable)
.......................................
Es decir, en el problema se debe
buscar el experimento aleatorio
para poder calcular el espacio
muestral y luego encontrar el
evento (caso favorable).
Importante
1. Si A es un suceso de Ω, en-
tonces 0 ≤ P (A) ≤ 1.
2. Sea A un evento y su contra-
rio AC ; luego, se cumple que
P (A)+P (AC )=1.
Observación

10
21.O
CONAMAT 2018
4. EVENTOS INDEPENDIENTES
Existen casos en los que la ocurrencia de un evento A no al-
tera la ocurrencia de otro evento B; en este caso se dice que A
y B son eventos independientes. Luego, si A y B son indepen-
dientes, se cumple que
P(A ∩ B)=P(A)×P(B)
Aplicación 3
Se sabe que la probabilidad de que una persona gane un juego
es 0,10, y la probabilidad de que una persona sufra una enfer-
medad es 0,40. Halla la probabilidad de que una persona gane
un juego y resulte estar enferma.
Resolución
Sean los eventos
• A: ganar un juego
• B: sufrir una enfermedad
Podemos observar que la probabilidad de ganar un juego no
depende de sufrir una enfermedad, y la probabilidad de sufrir
una enfermedad no depende de ganar un juego. Es decir, am-
bos eventos son independientes.
→ P(A ∩ B)=P(A)×P(B)
P(A ∩ B)=0,1×04
P(A ∩ B)=0,04
Por lo tanto, la probabilidad de ganar un juego y sufrir una
enfermedad es 0,04.
5. PROBABILIDAD CONDICIONAL
La probabilidad de que ocurra un evento A, cuando se sabe
que ya ocurrió el evento B, se denomina probabilidad condi-
cional y se denota como P(A/B), siempre que P(B) > 0.
• Para dos eventos A y B
cualesquiera contenidos en
un espacio muestral Ω, se
cumple
P (A ∪ B)=P (A)+P (B)-P (A ∩ B)
• Si A y B son mutuamen-
te excluyentes, es decir,
P(A ∩ B)=0, se cumple
P (A ∪ B)=P (A)+P (B)
Observación
Dos eventos A y B son mutua-
mente excluyentes si no pueden
ocurrir a la vez, es decir, A ∩ B = f.
Importante

11
Se cumple
P A B
P A B
P B
/( ) =
∩( )
( )
Aplicación 4
En una urna se tienen esferas numeradas del 1 al 9. Se extrae
una esfera al azar. Determina la probabilidad de que la esfera
sea mayor que 6 si se sabe que la esfera extraída es impar.
Resolución
Sean los eventos
• A: esfera mayor que 6
• B: esfera impar
Gráficamente
6
4
2
8
BA
1
Ya ocurrió B (se reduce el espacio
muestral a 5 elementos).
Que ocurra A si ya ocurrió B
(2 elementos).
3
5
7
9
Entonces
P A B
P A B
P B
/( ) =
∩( )
( )
=
2/9
5/9
∴ P A B/( ) =
2
5
Dos eventos son dependientes
cuando la ocurrencia o no ocu-
rrencia de uno de ellos afecta la
probabilidad de ocurrencia del
otro. Es entonces que empleamos
el concepto de probabilidad con-
dicional.
Observación
En una probabilidad condicional,
se sabe que
• P A B
P A B
P B
/( ) =
∩( )
( )
• P A B
n A B
n
n B
n
/( ) =
∩( )
Ω( )
( )
Ω( )
• P A B
n A B
n B
/( ) =
∩( )
( )
Observación

12
21.O
CONAMAT 2018
PROBLEMAS RESUELTOS
Problema N.˚ 1
Si se lanzan tres monedas, ¿cuál es la proba-
bilidad de obtener al menos dos sellos en la
parte superior de las monedas?
Resolución
ε: lanzar tres monedas
C
S
C
S
C
S
C
S
C
S
C
S
C
S
CCC
CCS
CSC
CSS
SCC
SCS
SSC
SSS
n(Ω) = 8
A: resulte al menos dos sellos en la parte su-
perior de las monedas, es decir, que en
el resultado se tenga como mínimo dos
sellos
Los casos son
A={SSC, SCS, CSS, SSS} → n(A)=4
∴ P A
n A
n
[ ] =
( )
Ω( )
= =
4
8
1
2
Problema N.˚ 2
Se lanzan dos dados y se observa los resulta-
dos de las caras superiores. ¿Cuál es la pro-
babilidad de obtener una suma múltiplo de 3?
Resolución
ε: se lanzan dos dados ; enton-
ces los resultados son
+ 1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7 8
3 4 5 6 7 8 9
4 5 6 7 8 9 10
5 6 7 8 9 10 11
6 7 8 9 10 11 12
n(Ω)=36
A: obtener en las caras superiores una suma
múltiplo de 3
Observamos que n(A)=12.
∴ P A
n A
n
[ ] =
( )
Ω( )
= =
12
36
1
3
Problema N.˚ 3
Una persona escribe al azar un número
de dos cifras. Halle la probabilidad de que
esta persona escriba un número par que
empieza en 5.
Resolución
e: una persona escribe al azar un número de
dos cifras.
Es decir, números de la forma
ab: 10; 11; 12; 13; 14; 15; ...; 98; 99
Hay 90 números.
Entonces n(Ω)=90.

13
Luego
A: escribir un número par que empieza en 5
ab: 50; 52; 54; 56; 58 → n(A)=5
∴ P A
n A
n
[ ] =
( )
( )
= =
Ω
5
90
1
18
Problema N.˚ 4
Se tiene en una caja 10 esferas numeradas
del 1 al 10. Si se extraen dos esferas al azar,
¿cuál es la probabilidad de que la suma de los
puntajes de las esferas sea 12?
Resolución
Según los datos, tenemos

Extraemos
dos esferas al azar.
6
10
7
4
1
2
3
8
95
casos totales C( ) = =
×
=2
10 10
2 8
45
!
! !
Ahora hallamos los casos a favor, es decir,
cuando la suma sea 12.
¿ ? ¿ ?+ 12
Hay 4 casos
a favor.
=
2
3
4
5
10
9
8
7
∴ P
suma de las
esferas sea 12



 =
4
45
Problema N.˚ 5
De un tablero de ajedrez, se escogen dos ca-
silleros. ¿Cuál es la probabilidad de que los
casilleros sean de diferente color?
Resolución
Debemos escoger 2 casilleros de un tablero de
ajedrez.
Hay 64 casilleros: 32 blancos × 32 negros.
casos
totales
C



 = 2
64
=
×
=
64
2 62
2016
!
! !
Busquemos los casos a favor, es decir, que
los cuadraditos escogidos sean de diferente
color.
casos
a favor



 = × =32 32 1024
1 blanco y 1 negro
∴ P
casilleros de
diferente color



 = =
1024
2016
32
63

14
21.O
CONAMAT 2018
PROBLEMAS PROPUESTOS
1 En el juego de la tómbola que se muestra
en el siguiente gráfico, ¿cuál es la proba-
bilidad de que el cuy ingrese a una casita
de color azul?
2 Se lanza dos dados. ¿Cuál es la probabi-
lidad de que la suma sea mayor que 9?
3 Se lanza un dado y una moneda. ¿Cuál
es la probabilidad de obtener un número
impar en el dado y cara en la moneda?
4 En una urna se colocan 8 fichas numera-
das con 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7 y 8. Si se extrae
al azar dos fichas, ¿cuál es la probabili-
dad de que los números extraídos sumen
menos de 8?
5 En una reunión, hay 8 varones y 6 mu-
jeres. Si se eligen a 3 personas al azar,
¿cuál es la probabilidad de que todos
sean varones?
6 Se tiene 5 números positivos y 6 núme-
ros negativos, y se elige al azar 2 de ellos.
¿Cuál es la probabilidad de que, al multi-
plicar los números obtenidos, el producto
que se obtiene sea negativo?
7 Jéferson tiene una caja con 8 focos, de los
cuales 3 están malogrados. Si se elige 2
focos al azar, ¿cuál es la probabilidad de
obtener al menos uno bueno?
8 En una carrera automovilística, parti-
cipan 3 pilotos peruanos, 2 chilenos y 4
argentinos. ¿Cuál es la probabilidad de
que el primero en llegar sea peruano y el
segundo, argentino?
9 En una encuesta se obtuvo la siguiente
información:
Varones Mujeres
Fuman 20 60
No fuman 40 90
Si se elige a una persona al azar y resultó
ser varón, ¿cuál es la probabilidad de que
no fume?
10 Se lanza un dado y el resultado fue im-
par. ¿Cuál es la probabilidad de que sea
primo?
11 La probabilidad de que ocurra un evento
A es 0,4 y la probabilidad de que ocurra
un evento B es 0,8. Halla la probabilidad
de que ocurra el evento A y B si son in-
dependientes.
12 Mario debe rendir dos exámenes, uno de
Física y el otro de Química. La probabili-
dad de que apruebe ambos cursos es 0,3
y la probabilidad de que no apruebe nin-
guno de los dos cursos es 0,1. ¿Cuál es
la probabilidad de que apruebe Química
si es el doble de la probabilidad de que
apruebe Física?

15
Función lineal y función afín
Álgebra
ACOMPAÑANDO A PAPÁ AL BANCO
El señor Fernando pidió a Gonzalo que lo acompañe al banco para
realizar una apertura de cuenta. En el trayecto, Gonzalo preguntó a
su papá cómo va a hacer para escoger la cuenta que más le convenga.
Su papá le explicó que lo que iba a hacer es abrir una cuenta de aho-
rros y que para analizar cuál era la más conveniente tenía que fijarse
en los intereses.
En un primer banco le ofrecían un 3 % anual; en el segundo, 4 % anual;
y en el tercero que visitaron, un 3,5% anual, por lo que el señor Quispe
realizó la apertura de su cuenta de ahorros en el segundo banco.
Gonzalo le preguntó cómo se relacionaba ese 4% anual con su elec-
ción y su papá le explicó que si, por ejemplo, él depositaba S/100 en un
año, generaría un interés de S/4; y si depositaba S/200, el interés sería
de S/8; y si depositaba S/300, el interés sería de S/12 y así sucesivamen-
te. Gonzalo entendió entonces que a mayor sea el depósito el interés
generado aumentaba, y recordó que en clase vieron un tema que tenía
que ver con ello, se trataba de magnitudes directamente proporcionales.
1. ¿La explicación dada por el señor Fernando a Gonzalo es fácil de
entender? ¿Por qué?
2. Si el depósito hubiese sido de S/200 y lo hubiese puesto al 3% de
interés, en dos años, ¿cuánto de interés hubiese generado?
3. ¿Con el dato de 4% de interés anual se puede saber el interés
generado al año para cualquier monto que se quiera depositar?
1. FUNCIÓN DE PROPORCIONALIDAD DIRECTA
Si una sandía que pesa 1 kg cuesta S/2, y otra de 2 kg cuesta
S/4, y otra más grande de 3 kg cuesta S/6; observamos que
existe una relación directa entre el peso y el precio de una
sandía.
Dos magnitudes son directamen-
te proporcionales si su cociente
es constante.
Ejemplo
El costo de pasaje por persona
en ómnibus de Lima a Chiclayo
es de S/30. Se puede generar la
siguiente tabla:
N.º de
personas
Costo de
pasaje
1 S/30
2 S/60
4 S/120
6 S/180
10 S/300
Observación

16
21.O
CONAMAT 2018
1 kg
2 kg
3 kg
S/2
×2
S/4
×2
S/6
×2
Hay una proporcionalidad directa.
Se llama función de proporcionalidad directa o función lineal
a una función que relacione dos magnitudes directamente
proporcionales.
Tiene la forma f(x)=ax o y=ax, donde a es la constante de
proporcionalidad, también llamada pendiente.
En el ejemplo
f(x): precio de la sandía
x: peso de la sandía (en kilos)
a: constante de proporcionalidad
Entonces la función será f(x)=2x.
Con ello podemos encontrar el precio de una sandía al saber
su peso o viceversa.
Si el peso es 5 kg, x=5 → f(5)=2(5)=10 ∴ S/10
Si el peso es 8 kg, x=8 → f(8)=2(8)=16 ∴ S/16
2. FUNCIÓN AFÍN
Un taxi cobra una tarifa básica de S/3 y por cada kilómetro de
recorrido, S/2.
Tarifa:
básica: S/3
por c/km: S/2
Veamos el siguiente ejemplo:
María es cliente de dos empresas
de taxi: la empresa Mi Taxi cobra
como tarifa S/2 por cada kilóme-
tro, mientras que la empresa El
Rápido cobra S/4 de costo base y
S/1 por cada kilómetro recorrido.
¿Cuál de las dos empresas con-
viene utilizar?
Analizamos cada empresa en x
kilómetros de recorrido.
Mi Taxi
La función costo es
f (x)=2x (función lineal)
El Rápido
La función costo es
g (x)=x+4 (función afín)
Para saber a cuál empresa se le
solicitará el servicio, hallaremos
el costo dependiendo del número
de kilómetros a recorrer.
1. Para 2 kilómetros (x=2)
Mi Taxi
f (2)=4 (Se paga S/4.)
El Rápido
g (2)=2+4=6 (Se paga S/6.)
Por lo tanto, conviene la em-
presa Mi Taxi.
2. Para 5 kilómetros (x=5)
Mi Taxi
f (5)= 10 (Se paga S/10.)
El Rápido
g (5)=5+4=9 (Se paga S/9.)
Por lo tanto, conviene la em-
presa El Rápido.
Observación

17
Observamos que hay una condición inicial. A partir de estos
datos, se puede realizar el tarifario de precios según el núme-
ro de kilómetros recorridos, así:
Precio base
N.º de
kilómetros
Precio
por km
Precio
total
S/3 1 S/2 2(1)+3=5
S/3 2 S/2 2(2)+3=7
S/3 4 S/2 2(4)+3=11
S/3 6 S/2 2(6)+3=15
Si a dos magnitudes directamente proporcionales se les aplica
una condición inicial, la función que las relaciona ya no es
totalmente lineal (pues las magnitudes ya no tienen cocien-
te constante), se dice que es una función afín y su forma es
f(x)=ax+b o y=ax+b, donde a sigue siendo la constante de pro-
porcionalidad y b es el término independiente. En el ejemplo
f(x): precio total
x: número de kilómetros
2: precio por cada kilómetro
3: precio base
Entonces la función será f(x)=2x+3.
Con ello podemos encontrar el precio que cobra el taxista al
conocer el número de kilómetros recorridos y viceversa.
Si el recorrido fue de 8 kilómetros
→ f(8)=2(8)+3=S/19
Si el recorrido fue de 12 kilómetros
→ f(12)=2(12)+3=S/27
Para graficar una función se de-
ben seguir los siguientes pasos:
1. Completar una tabla de la
función (tabulación).
2. Ubicar en el plano cartesia-
no los pares ordenados de la
función.
3. Unir los puntos que se grafi-
caron con una línea recta.
Observación

18
21.O
CONAMAT 2018
3. GRÁFICA DE LA FUNCIÓN LINEAL Y AFÍN POR TABULACIÓN
Para realizar una tabulación de valores de una función, debe-
mos elegir un conjunto de valores para x y evaluar en la fun-
ción pedida. Esta tabla nos ayudará a organizar datos y obte-
ner los puntos de los pares ordenados, los cuales se ubicarán
en el plano cartesiano y con ello podemos graficar la función.
Ejemplos
1. Tabulamos y graficamos la función f(x)=3x.
Tabulamos.
x f(x)
=3x f(x)
Par ordenado
(x; f(x))
-2 f(-2)
=3(-2)= -6 -6 (-2; -6)
-1 f(-1)
=3(-1)= -3 -3 (-1; -3)
0 f(0)
=3(0)=0 0 (0; 0)
1 f(1)
=3(1)=3 3 (1; 3)
2 f(2)
=3(2)=6 6 (2; 6)
Elegimos un conjunto
de valores para x.
Ubicamos los pares
ordenados.
Evaluamos la función para
cada uno de los valores de x.
Ubicamos los pares ordenados en el plano cartesiano.
−1
−3−3−3
−4−4−4
−5−5−5
−6−6−6
−2−3−3−3−4−4−4−5−5−5−6−6−6 111
111
222
333
Unimos los puntos
mediante una línea
recta.
Unimos los puntos
mediante una línea
recta.
444
555
666
222 333 444 555 666 XXX
YYY
−1−1−1
−2−2−2
f(x)=3xf(x)=3xf(x)=3x
1. La gráfica de la función li-
neal siempre pasará por el
origen de coordenadas (0; 0).
Ejemplos

X(0; 0)
Y
f(x)
(0; 0) X
Y
f(x)
2. La gráfica de una función
afín no pasa por el origen de
coordenadas, puede pasar
por encima de ella o por de-
bajo de ella.
Ejemplos

X
Y
f(x)
X
Y
f(x)
Importante

19
2. Tabulamos y graficamos la función f(x)=3x + 5.
Tabulamos.
x f(x)
=3x+5 f(x)
Par ordenado
(x; f(x))
-2 f(-2)
=3(-2)+5= -1 -1 (-2; -1)
-1 f(-1)
=3(-1)+5=2 2 (-1; 2)
0 f(0)
=3(0)+5=5 5 (0; 5)
1 f(1)
=3(1)+5=8 8 (1; 8)
2 f(2)
=3(2)+5=11 11 (2; 11)
Ubicamos los pares ordenados en el plano cartesiano.
−1
−3−3−3
−4−4−4
−5−5−5
− 3− 3− 3−4−4−4−5−5−5 111
111
222
555
666
777
888
999
101010
111111
222 333 444 555 XXX
YYY
−1−1−1
−2−2−2
f(x)=3x+5f(x)=3x+5f(x)=3x+5
444
333
Se une los puntos
con una línea recta.
Se une los puntos
con una línea recta.
−2−2−2
4. INTERCEPTO CON LOS EJES
Para realizar la gráfica de una función lineal o una función
afín, solo es necesario encontrar los valores de dos pares orde-
nados, para ello es más fácil usar: x=0 ∧ f(x)=0.
La función lineal no se puede
graficar usando el intercepto con
los ejes, pues su gráfica pasa por
el origen de coordenadas, pero
sí se puede graficar a partir de 2
puntos, uno de ellos sería el ori-
gen y otro usando un valor entero
pequeño para x.
Ejemplo
Dada la función lineal f(x)=5x ,
sabemos que un punto es (0; 0) y
el otro lo hallamos haciendo x=1.
y=f(x)=f (1)
y=f (1)=5(1)=5
Par ordenado: (1; 5)
Gráfica
111
111
222
333
444
555
222 333 XXX
YYY
f(x)=5xf(x)=5xf(x)=5x
Observación

20
21.O
CONAMAT 2018
Cuando x=0, el punto es el intercepto de la recta con el eje de
las ordenadas.
Cuando y=f(x)=0, el punto es el intercepto de la recta con el
eje de las abscisas.
Ejemplo
Graficamos la función
f(x)=5x-30
usando los interceptos con los ejes.
Cuando x=0
→ f(0)=5(0)-30
f(0)= -30
Par ordenado: (0; -30)
Cuando y=f(x)=0
→ 0=5x-30
5x=30
x=6
55555
−30−30−30
111
101010
202020
303030
404040
222 333 444 666 777 XXX
YYY
−10−10−10
000
−20−20−20
(0; −30)(0; −30)(0; −30)
(6; 0)(6; 0)(6; 0)(6; 0)(6; 0)
f(x)=5x−30
En una función afín, el término
independiente indica el intercep-
to con el eje de las ordenadas.
f (x)=ax+b
Un punto de intercepto sería (0; b).
Ejemplo
Dada la función
f (x)= - 3x+9
el punto de intercepto con el eje
de ordenadas sería (0; 9).
X1 2 3 4
1
0
Y
2
3
4
5
6
7
8
9
(3; 0)
(0; 9)
f(x)=3x+9f(x)=3x+9f(x)=3x+9
0=−3x+9
3x=9
x=3
Importante

21
PROBLEMAS RESUELTOS
Problema N.˚ 1
El litro de jugo de naranja cuesta S/3. Si
Pedro gastó determinada cantidad de soles
por 20 litros de jugo, plantea la función y ha-
lla el número de soles que pagó.
Resolución
• Si el litro de jugo de naranja cuesta S/3.
N.º de litros 1 2 3 4 ...
Costo 3 6 9 12 ...
3(1) 3(2) 3(3) 3(4)
• Luego, la función costo en x litros de jugo
es
C(x)=3x
• Ahora, si x=20 litros de jugo, el costo en
soles es
C(20)=3(20)=S/60
∴ C(20)=S/60
Problema N.˚ 2
El pago por el servicio de luz está dado por un
monto básico de S/10 al mes y por cada kW
consumido es S/0,10.
Recibo de luz 1652122N.° Suministro
Pliego tarifario
Tarifa
N.° recibo
Sistema eléctrico
Tipo de conexión
Datos del suministro
Detalle del consumo
Consumo histórico en kW
EnDcNvOcStAgJl Fe MrAb MyJn
(25/06/17)
0,10
100
100(25/05/17)
S/ kW
Detalle de importes por consumo
Cargo básico
Consumo
SUBTOTAL Mes actual
TOTAL Mes actual
10
10
20
20
0
0
Redondeo mes anterior
Redondeo mes actual
TOTAL A PAGAR S/ 20
Con estos datos, plantea la función que rela-
ciona las magnitudes del problema y respon-
de lo siguiente:
a. Si el consumo en el mes de julio fue de
200 kW, ¿cuál será el pago en dicho mes?
b. Si en su recibo del mes de octubre figura
S/40, ¿cuántos kilovatios consumió ese mes?
Resolución
Según datos
• Monto básico: S/10 (siempre se paga aun-
que no haya consumo).
• Si por cada kilovatio consumido se paga
S/0,10, entonces en x kilovatios consumi-
dos se pagaría S/0,10x.
• Luego, el monto total a pagar por consu-
mir x kilovatios está representado por la
función

M xx( ) = +0 10 10,
monto por
consumo
monto
básico
a. En julio x=200 kW, luego
M(200)=0,10×200+10
M(200)=20+10=S/30
Por lo tanto, en julio el pago es S/30.
b. En octubre se pagará S/40.
O sea M(x)=40
→ 0,10x+10=40
  0,10x=30
 
1
10
30x 
×
x=300
Por lo tanto, en octubre se ha consumido
300 kW.

22
21.O
CONAMAT 2018
Problema N.˚ 3
Luis desea saber el tiempo que demorará en
terminar una tarea que le dejaron en vacacio-
nes. Él ya tiene resueltos 12 problemas y des-
de hoy se comprometió a desarrollar 3 proble-
mas cada día. A partir de los datos, realiza
las siguientes actividades:
a. Plantea la función que relaciona el tiem-
po con el número de preguntas que re-
suelve.
b. Si el profesor le deja 30 problemas, ¿en
cuántos días a partir de hoy lo termina-
rá?
c. Si el profesor le habría dejado 60 proble-
mas, ¿en cuántos días a partir de hoy lo
terminará?
d. Si Luis terminará en 20 días a partir de
hoy, ¿cuántos problemas le habrían deja-
do de tarea?
Resolución
Según los datos, a partir de hoy
Tiempo Hoy 1 día 2 días 3 días ...
N.º de prob.
a resolver
0 3×1 3×2 3×3 ...
a. En x días, la función que indica el núme-
ro de problemas resueltos es f(x)=3x.
b. Si el profesor le deja 30 problemas por re-
solver
→ =( )f x
30 → 3x=30
3x   x=10
Por lo tanto, Luis terminaría de resolver
en 10 días.
c. Si el profesor le deja 60 problemas por re-
solver
→ f(x)=60 → 3x=60
x=20
Por lo tanto, Luis terminaría de resolver
en 20 días.
d. Si Luis demora x=20 días en resolver los
problemas que le dejaron
→ f(20)=3×20=60
Por lo tanto, le han dejado 60 problemas
por resolver a Luis.
Problema N.˚ 4
Halla el área de la región formada por las
funciones
f x g xx x( ) ( )= + ∧ = − +
1
2
3
3
4
3, y el eje X.
Resolución
Tenemos

f x g xx x( ) ( )= + = − +
1
2
3
3
4
3y

x f(x)
0 3
6 0
x f(x)
0 3
4 0– 6
cuyas gráficas son
X4−6
3
Y
fg
AA
10
∴ A =
×
=
10 3
2
15
5
1
2
u

23
1 Un litro de leche fresca cuesta S/3 en la
granja Don José. Pedro desea plantear
una relación entre el número de litros a
comprar con el precio que debe pagar.
a. ¿Cuál sería dicha función?
b. Si Pedro compra 8 L, ¿cuánto debería
pagar?
c. Si en un determinado día le cobraron
S/12, ¿cuántos litros compró?
2 Laura trabaja en la empresa de telefonía
Taurus, tiene un sueldo fijo de S/850 y
por cada equipo que vende en un mes re-
cibe un bono de S/35.
A partir de los datos responde las si-
guientes interrogantes:
a. ¿Cuál es la función que representa el
sueldo de Laura para un mes cual-
quiera en relación al número de equi-
pos que vende?
b. Si en determinado mes vendió 6 equi-
pos, ¿cuál fue su sueldo?
c. Si en el siguiente mes vendió 14 equi-
pos, ¿cuál fue su sueldo?
d. Si en un determinado mes recibió
S/990 de sueldo, ¿cuántos equipos
vendió en dicho mes?
e. Si el mes pasado recibió S/1410,
¿cuántos equipos vendió en dicho
mes?
3 Tabula para algunos valores y grafica
las siguientes funciones:
a. f(m)=20-30m
b. g(x)=400x-20
c. f aa( ) = +
3
4
3
4 A Pedro le recetaron una gran cantidad
de pastillas para aliviar su malestar.
Hasta el momento ha tomado 18 pas-
tillas y toma, según receta, 2 pastillas
cada día. A partir de estos datos, desa-
rrolla las siguientes actividades:
a. Plantea la función que relaciona el
número de pastillas que tomará en to-
tal en función del tiempo a partir de
hoy.
b. Halla los interceptos con los ejes.
c. Grafica la función a partir de los inter-
ceptos con los ejes.
5 Cuando nació el bebé de Ana, tuvo un
peso de 3,4 kg, y cada semana su peso
aumenta en 0,2 kg. Plantea la función
que representa el peso total al cabo de x
semanas, y luego halla el valor del peso
total al cabo de 4 semanas.

24
21.O
CONAMAT 2018
6 Pedro vende computadoras en la tienda
La Económica. Él tiene un sueldo básico
de S/480, y por la venta de cada compu-
tadora obtiene un bono de S/50. A partir
de estos datos, plantea la función y con-
testa las siguientes interrogantes:
a. Si en un determinado mes vende 8
computadoras, ¿cuánto recibirá de
sueldo en dicho mes?
b. Si en el mes siguiente recibe un sueldo
total de S/1080, ¿cuántas computado-
ras vendió en dicho mes?
7 Diana asiste continuamente al cine y
nota que la entrada siempre está S/6. In-
dica el gasto que realizará de acuerdo al
número de días que asiste al cine. Luego,
plantea lo pedido en una función, tabula
y grafica.

8 Sofía observó que la temperatura del
agua aumenta progresivamente cuando
se calienta. Así que anotó estas inciden-
cias en la siguiente tabla:
Tiempo
(min)
Temperatura
(ºC)
1 5
2 10
3 15
4 20
5 25
6 30
Si esta tendencia se mantiene constante,
plantea la función y responde lo siguiente:
a. ¿En qué tiempo llegará a 50 ºC?
b. Si ya transcurrieron 15 minutos, ¿qué
temperatura tendrá?
c. ¿En cuánto tiempo hervirá (100 ºC)?
9 En una cabina de internet se tiene una
forma peculiar de cobrar por el servicio.
La tarifa consiste en un monto base de
S/0,50 al cual se le agrega S/0,20 por
cada 10 minutos de uso.

25
A partir de los datos, resuelve las si-
guientes actividades:
a. ¿Cuál sería la variable dependiente
en este caso?
b. ¿Cuál sería la variable independiente
en este caso?
c. Plantea la función.
d. Si una persona usa el servicio de in-
ternet durante 1 hora, ¿cuánto debe
pagar?
e. Si Abel usó el servicio y al final le co-
braron S/1,9; ¿cuánto tiempo usó el
servicio?
10 Se tiene el siguiente gráfico que relacio-
na la producción de jabones en una fá-
brica con el tiempo que demora su pro-
ducción.
tiempo
(horas)
24
12
6
18
30
36
jabones
(miles)
42
1 2 3 4 5 6 7 8
A partir de los datos, realiza las siguien-
tes actividades:
a. Obtén los pares ordenados.
b. Plantea la forma general de la fun-
ción a partir de los elementos de la
función.
c. Halla el tiempo que se empleará para
producir 114 millares de jabones.
d. Halla el tiempo que se empleará para
producir 168 millares de jabones.
e. Si se realiza una labor de 15 horas,
¿cuántos jabones se producirán?
f. Si se realiza el conteo de un mes de
producción que equivale a 200 horas,
¿cuántos jabones se produjeron?
11 Determina el área de la región formada
por la función f(x)= -2x + 6 y los ejes de
coordenadas.
12 Calcula el área de la región formada por
las funciones
f(x)=2x+6 ∧ g(x)= -x+6, y el eje X.
13 En una función de un circo, se observó
que, por cada 3 niños que ingresaban
pagando su entrada, otro niño podía in-
gresar sin pagar; si seis niños ingresa-
ban pagando, otros dos niños diferentes
podían ingresar gratuitamente. Si al em-
pezar la función se observaron 80 niños
cómodamente sentados, ¿cuántos niños
de este grupo ingresaron gratuitamente?
14 En la función f(x)=3x-12,
(1; a) ∈ f ∧ (2; b) ∈ f.
Determina 1 − +( )a b .

26
21.O
CONAMAT 2017
Geometría Ángulo diedro
y planos perpendiculares
APLAUSOS Y VÍTORES
Un día en el colegio, el profesor de Matemática hizo una pregunta cu-
riosa a Gonzalo y sus compañeros: “¿Creen ustedes que el día del cam-
peonato por el aniversario del colegio, los jugadores de sus selecciones
de aula escuchan los aplausos y vítores de todos?”.
Algunos dijeron que no porque los jugadores estaban concentrados
en el juego y no prestaban atención a nada fuera de este, otros dijeron
que sí porque eso los alienta y otros dijeron que solo alcanzaban a
escuchar a los que estaban más cerca, pero a los que estaban lejos no
los escuchaban.
Luego de atender todas las opiniones de los alumnos, se centró en la
última idea: solo se escuchaba a los que estaban cerca. Entonces, invitó
a sus alumnos a salir del aula y pidió a algunos que se ubiquen en
lugares estratégicos. La misión era establecer desde qué distancia no se
podía escuchar los aplausos y vítores para escoger las mejores ubicacio-
nes y alentar adecuadamente a la selección de su aula. Para ello, el pro-
fesor ya había venido preparado con los implementos necesarios, luego
se ubicaron como se muestra en el gráfico: él se ubicó en el balcón, los
alumnos se ubicaron en la loza deportiva y empezaron a tomar medidas.
COLEGIO
AAA DDD
CCCBBB
FelipeFelipeFelipe
PaulaPaulaPaulaAdelaAdelaAdela
GonzaloGonzaloGonzalo
ProfesorProfesorProfesor
1. ¿Será lo mismo la distancia del profesor hacia cualquiera de los
alumnos que están en la loza que decir la distancia desde el pro-
fesor hacia la loza?
2. ¿La distancia de Gonzalo hacia Adela y Paula son diferentes?
3. ¿Será lo mismo decir la distancia de Gonzalo a Adela y la distancia
de Gonzalo hacia el borde BC de la loza?
La plomada es un instrumento
que nos permite comprobar la
construcción correcta de un muro
o columna.
plomada
línea
imaginaria
Este instrumento tiene como fun-
ción principal indicar la posición
exacta de la vertical.
Dato curioso

27
En los problemas, el teorema de
las tres perpendiculares lo encon-
tramos de dos formas:
Primera forma
Si
x
1.a
3.a
2.a
se cumple que x=90º.
Segunda forma
Si
x
1.a
3.a
2.a
se cumple que x=90º.
Importante
1. TEOREMA DE LAS TRES PERPENDICULARES
En el gráfico mostrado podemos observar las tres perpendiculares.
L2
L1
M
Q
O
Pie de la
perpendicular
Recta perpendicular
a un plano
Recta contenida
en el plano
HH
L 1 H → L 1 es la primera perpendicular.
OM L 2 → OM es la segunda perpendicular.
QM L 2 → QM es la tercera perpendicular.
Aplicación 1
A continuación, se observa el muro de una cancha de frontón
que tiene una altura de 4 m. Si Fredy traza una diagonal en la
cancha rectangular y esa diagonal está a 3 m de Sara, ¿cuál es
la distancia de la esquina P hacia dicha diagonal?
Sara
Fredy
cancha
muro
PPP

28
21.O
CONAMAT 2017
Resolución
QQQ
CCC
BBB
444
PPP
xxx
SSS
RRR
333333
DDD
AAA
Piden d(P; AC)=x
Del dato, DS=3; luego, trazamos PR ⊥ AC, entonces PR=x.
Por el teorema de las tres perpendiculares
PB: 1.a perpendicular
PR: 3.a perpendicular
Luego, BR: 2.a perpendicular y por congruencia, BR=3.
Finalmente x2=42+32
∴ x=5 m
Nota
Si una recta es perpendicular a un plano, entonces dicha
recta forma 90º con cualquier recta contenida en el plano.
Es por ello que en el problema PB ⊥ ABCD.
Entonces PB ⊥ BR.
Para medir el ángulo diedro usa-
mos con frecuencia el teorema de
las tres perpendiculares:
q: medida del ángulo diedro
1.a3.a
2.a
θ
Importante
Se puede representar un ángulo
diedro de formas diversas:
• Ángulo diedro determinado
por una región triangular y
una región cuadrada.
• Ángulo diedro determinado
por una región cuadrada y
un semicírculo.

Observación

29
2. ÁNGULO DIEDRO
B
N
cara
cara
arista
M
A
PP
QQ
Podemos nombrar al ángulo diedro de las siguientes maneras:
- Ángulo diedro P- AB-Q o
- Ángulo diedro M-AB -N
- Ángulo diedro AB
2.1. Medida del ángulo diedro
Desde un punto de la arista AB se trazan dos perpendiculares
a AB contenidas en cada cara.
B
A
PP
HH
Perpendicular a AB
contenida en H
Perpendicular a AB
contenida en P
θ
Entonces, q es la medida del ángulo diedro P- AB-H.
Si L ⊥ H, entonces todo pla-
no que contiene a L es perpen-
dicular al plano H.
L
HH
Importante
Sean los planos P y H perpen-
diculares.
B
A
L
HH
PP
θ
α
Si en el plano P ubicamos una
recta L perpendicular a AB, se
cumple que L H; de allí,
a=90º y q=90º.
Observación

30
21.O
CONAMAT 2017
2.2. Planos perpendiculares
Dos planos son perpendiculares cuando determinan un ángu-
lo diedro que mide 90º.
θ
HH
PP
H ⊥ P
q=90º
Aplicación 2
En el gráfico, la región cuadrada ABCD y la región equiláte-
ra ABQ están ubicadas en planos perpendiculares. Si DC=4,
calcula QC.
C
Q
D
A
B
Resolución
Por dato, ABCD ABQ.
Como CB ⊥ AB
→ mCBQ=90º
Cuando al estudiante le piden
calcular la medida del ángulo
diedro determinado por las regio-
nes ABP y ABCD, comete algunos
errores frecuentes:
A
B
P
D
C
θθθ
• Considera que la medida del
ángulo diedro AB es igual a
la m  PAD o la m  PBC.
• Se olvida que el diedro se
mide en un punto de la arista
AB, pero tiene que haber dos
perpendiculares a dicha aris-
ta, una en cada cara como se
muestra en el gráfico.
Observación

31
24
4
4
4
4
4
4
C
Q
D
A
B
Si ABCD es un cuadrado, entonces todos sus lados son iguales
a 4.
Si ABQ es equilátero, entonces sus tres lados son iguales a 4.
El CBQ es notable de 45º.
∴ QC = 4 2
Nota
A
B
Q
PP LLL
Si los planos P y Q son per-
pendiculares y L AB,
entonces se puede afirmar
que L es perpendicular al
plano Q.
Por ello, en el problema, como ABCD es perpendicular con la
región ABQ y CB ⊥ AB, podemos concluir que CB es perpen-
dicular al plano ABQ.
Sea L perpendicular con el pla-
no P, entonces podemos afirmar
que todo plano que contiene a L
será un plano perpendicular al
plano P.
L
PP
Importante

32
21.O
CONAMAT 2017
PROBLEMAS RESUELTOS
Problema N.˚ 1
Se abre un congelador hasta que AQ' = Q'B, tal
que Q' es la proyección ortogonal de Q sobre
AB. Calcula la medida del ángulo diedro entre
la tapa del congelador y el plano horizontal.
A
DDD
C
BBBQ'
Q
Resolución
Piden x.
Sea x la medida del ángulo diedro BC.
Q
C
DA
Q'Q'Q'
xxx
2m2m2m
mmm
BBB
mmm
El QQ'B, por sus lados, es notable de 30°
y 60°.
∴ x=60°
Problema N.˚ 2
Roberto lanza el balón hacia la pared, dicha
trayectoria determina un ángulo de 30º con
el plano del piso, y luego el balón rebota en
la dirección PQ, tal que A y Q están a igual
distancia de la pared. Si PA PQ= ( ) 2, calcula
el ángulo entre PQ y el plano del piso.
AAA
QQQ
PPP
Resolución
Piden θ.
Sea θ la medida del ángulo entre PQ y el piso.
Dato: PA PQ= ( ) 2
Q
A
O
P
30º30º30º
2a2a2a
aaa
aaa 222
θθθ
El POA es notable de 30°.
El POQ, por sus lados, es notable de 45°.
∴ θ=45°

33
Problema N.˚ 3
En el gráfico se muestra un taller, el cual
ocupa un área de 80 m2. Si el techo y el piso
determinan un ángulo diedro de medida 37º,
¿cuánto es el área del techo?
Resolución
Piden A.
AA
80 m2
80 m2
80 m2
37º37º37º
5n
4n
4n
3n
R
P
Q
a
a
El PQR es notable de 37º.
→ A=5na
Dato:
4n× a=80
na=20
→ A=5
20
na( )
∴ A=100
Problema N.˚ 4
En el gráfico, el plano del teclado y el plano
de la pantalla forman un diedro de medida
120º. Calcula la distancia de A hacia B.
30 cm
20 cm20 cm
AA
BB
Resolución
Piden AB.
M
20
20
A 30
B
NDDD
202020 333
101010 212121 120º120º120º
Del gráfico
DN ⊥ BMN y como AM//DN
→ AM ⊥ BMN, mAMB=90º
El BMN es isósceles.
BN=NM=20
→ BM=20 3
En ABM, aplicamos el teorema de Pitágoras.
AB( ) = ( ) + ( )2 2 2
30 20 3
∴ AB = 10 21

34
21.O
CONAMAT 2017
1 A continuación, te mostramos una car-
pa para acampar y un soporte PC que la
sostiene. Si A, B y C forman un triángulo
equilátero, m mAP PB = y AC=6, calcula
la longitud del soporte. Considera que el
plano que contiene a B, P y A es perpen-
dicular al suelo.
carpacarpacarpa
PPP
BBB
AAA
soportesoportesoporte
CCC
2 Las regiones ABC y BPC son congruen-
tes y están contenidas en planos perpen-
diculares. Si se sabe que BP = 2 2, cal-
cula la distancia de P hacia AC.
C
A
B
P
45º
3 Los cuadrados ABCD y ABPQ están
contenidos en planos perpendiculares.
Si AP=6, calcula QC.
DA
B
P
Q
C
4 En el gráfico se observa la pirámide de
Egipto, la cual está limitada por una re-
gión cuadrada y cuatro regiones triangu-
lares equiláteras. Calcula el coseno del
ángulo diedro entre la región AED y la
región BCDE.
B E
D
A
5 En el gráfico, se muestra una cartulina
de forma cuadrada. Si se realiza un do-
blez a través de AC como se muestra en
el gráfico, hasta que la distancia entre B '
y D sea igual a AB=4, calcula la medida
del ángulo diedro determinado.
C
A
B
B'
D

35
Trigonometría
Razones trigonométricas de un
ángulo en posición normal
LA RUTA DE INSPECCIÓN
El ingeniero Quispe hace labores de inspección a los camiones con
el GPS activado. A su vez, está capacitando a uno de sus colabo-
radores en esta tarea para que asuma esta responsabilidad de ahora
en adelante. Por ello le explicaba a su colaborador los procedimientos
adecuados para realizar la inspección. Lo primero que debían hacer era
trazar su ruta en el mapa que tenían. Marcaron su punto de partida
como O; el punto adonde debían llegar como A, que es donde debe
estar finalmente el camión; y el recorrido que atraviesa cierto número
de cuadras.
Entonces pudieron considerar la base de donde salieron los camiones
como el origen de coordenadas (O ) y cada una de las cuadras por donde
pasan los camiones son cuadrados de 50 m de lado.
A
127º
XO
Y
Como el camión está representado por la letra A trazaron hacia ese
punto un segmento que representa el lado final del ángulo en posición
normal de 127°. De este modo pudieron hacer los cálculos necesarios
antes de realizar su inspección.
1. ¿Cómo calcularías la distancia a la que se encuentra ese camión
de la base?
2. ¿Crees que sea posible hallar las coordenadas del punto A utilizando
la longitud de las cuadras?
3. ¿Cómo considerarías el ancho de las calles para que esto sea
posible?
Hoy es bastante usado el GPS.
¿Sabías que el GPS puede usarse
para ubicar mascotas?
Dato curioso

36
21.O
CONAMAT 2018
1. DEFINICIÓN
Sea q un ángulo en posición normal y P(a; b) un punto que per-
tenece a su lado final, donde
θ
P(a; b)
r
X
Y
El radio vector se calculará de la siguiente forma:
r a b= +2 2
Entonces se define
sen
ordenada del punto
radio vector
θ = =
P b
r
cos
abscisa del punto
radio vector
θ = =
P a
r
tan
ordenada del punto
abscisa del punto
θ = =
P
P
b
a
cot
abscisa del punto
ordenada del punto
θ = =
P
P
a
b
sec
radio vector
abscisa del punto
θ = =
P
r
a
csc
radio vector
ordenada del punto
θ = =
P
r
b
Conclusión
Vemos que las razones trigonométricas para un ángulo agudo
dependen de las coordenadas de un punto de su lado final.
- a: abscisa del punto P
- b: ordenada del punto P
- r: radio vector del punto P
Un ángulo en posición normal
puede ser
θ
α
positivo
negativo
Depende del sentido de giro.
Observación
No debemos olvidar que para
ubicar un punto en el plano car-
tesiano necesitamos dos compo-
nentes.
x
y
(x; y)
donde
- x: abscisa
- y: ordenada
Importante

37
Aplicación 1
Se tiene un helicóptero suspendido en el aire al cual se le ubica
en el segundo cuadrante con coordenadas (-5; 12), como se
muestra en el gráfico.
θ
Y
X
(−5; 12)
Halla H = senq + cosq.
Resolución
Calculamos el radio vector.
r2 2 2
5 12= − +( ) ( )
r = 13
Luego, reemplazamos según la definición de cada una de las
razones.
∴ H =



 +
−



12
13
5
13
→ H =
7
13
Aplicación 2
Una embarcación detecta con un sonar un cofre de un tesoro
en el fondo del mar como se muestra en el gráfico.
θ X
Y
(7; −24)(7; −24)(7; −24)
Halla J = senq· tanq.
Si 0 < q < 90o
θ
(a; b)Y
X
r
b
a
• senθ =
b
r
• cosθ =
a
r
• tanθ =
b
a
• cotθ =
a
b
• secθ =
r
a
• cscθ =
r
b
Importante
Si tenemos los siguientes ángulos:
θ
90º
O X
Y
• 90o ∉ a ningún cuadrante.
• q no está en posición normal.
Observación

38
21.O
CONAMAT 2018
Resolución
Hallamos el radio vector.
r = + −( ) ( )7 242 2
r = 25
Reemplazamos en lo que piden.
J =
−


 ×
−



24
25
24
7
∴ J =
576
175
2. SIGNOS DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
Podemos resumir nuestro análisis según el cuadrante al que
pertenece el ángulo en posición normal.
Si θ ∈IC Si b ∈IIC Si a ∈IIIC Si f ∈IVC
sen + + - -
cos + - - +
tan + - + -
cot + - + -
sec + - - +
csc + + - -
Aplicación 3
Según el gráfico
53º
250º
halla el signo de sen250º, sen53º y tan250º.
Podemos comprobar los signos
de las razones para un ángulo
que pertenece al IIIC.
(−3; −4)
X
Y
θ
5
senθ =
−4
5
es (-)
cosθ =
−3
5
es (-)
tanθ =
−
−
=
4
3
4
3
es (+)
cot θ =
−
−
=
3
4
3
4
es (+)
sec θ =
−
5
3
es (-)
csc θ =
−
5
4
es (-)
Importante
Podemos representar con
(+) si el valor numérico es positivo.
(-) si el valor numérico es negativo.
Observación

39
Resolución
De la figura se observa que 53º ∈ IC y 250º ∈ IIIC.
Entonces
sen250º · sen53º · tan250º
(-) · (+) · (+)
Por lo tanto, el signo que le corresponde al producto es nega-
tivo (-).
Aplicación 4
Se tiene un reloj que marca las 10:20 a. m. como muestra la
imagen.
1
4
5
6
7
8
10
11
2
CCC
999
121212
α
θθθ
333
X
Y
En él podemos graficar los ángulos q y a.
Halla el signo de M= sen a cot q.
Resolución
Como a ∈ IIC, entonces sena es (+).
Como q ∈ IVC, entonces cotq es (-).
∴ M=(+)(-)=(-)
•
π
2
90rad o
=
• prad=180o
•
3
2
270
π
rad o
=
• 2prad=360o
Pueden ser graficados así:
π rad
π
2
rad
2π rad
3π
2
Importante

40
21.O
CONAMAT 2018
3. ÁNGULOS CUADRANTALES
Son aquellos ángulos en posición normal cuyo lado final es
uno de los semiejes del plano cartesiano.
Veamos algunos de ellos.
Y
X
90º
Y
X
180º
Y
X
270º
Y
X
90º
Y
X
180º
Y
X
270º
Y
X
360º
Si los agrupamos en un conjunto A
A = {90º, 180º, 270º, 360º}
en general podrían ser negativos, positivos, incluido el cero.
A = {...; -270º; -180º; -90º; 0º; 90º; 180º; 270º; 360º; 450º; ...}
Todos ellos son múltiplos de 90º.
Entonces la expresión general de un cuadrantal es 90ºn /n ∈Z.
Aplicación 5
Halla cuántos ángulos cuadrantales hay entre 100º y 1000º.
Resolución
Si θ representa en general a un ángulo cuadrantal, este debe
ser igual a 90ºn.
→ θ=90ºn
Si cortamos tajadas de piña, po-
dremos ver ángulos cuadrantales
y hasta un círculo.
360º360º360º
90º90º90º180º180º180º
¿Con qué otras frutas podríamos
lograr lo mismo?
Dato curioso

41
Según la condición
100º < q < 1000º
100º < 90ºn < 1000º
Dividimos entre 90º a toda la desigualdad.

100
90
90
90
1000
90
º
º
º
º
º
º
< <
n
Simplificamos.

10
9
100
9
< <n → 1,11< n <11,1
Como n ∈Z
n = {2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11}
Vemos que solo puede tomar 10 valores enteros.
Por lo tanto, habrá solo 10 ángulos cuadrantales en ese in-
tervalo.
3.1. Cálculo de razones trigonométricas
Veamos el caso de 90º.
X
Y
90º
(0; a)
r a= +02 2
→ r a= 2
; a > 0
r = a
Entonces
sen90 1º= =
a
a
cos90
0
0º= =
a
tan º90
0
= =
a
N.D.
cot º90
0
0= =
a
sec º90
0
= =
a
N.D. csc º90= =
a
a
1
donde N.D. es no determinado.
De igual forma calculamos para los demás ángulos cuadran-
tales.
Los nombres de los puntos car-
dinales son de origen germánico.
• Nordri = Norte
• Sudri = Sur
• Austri = Este
• Vestri = Oeste
En la representación de los puntos
cardinales está presente el ángulo
de 90o.
S
E
N
O
90º
Dato curioso
Si a es un ángulo cuadrantal,
entonces
• tana=0
• sena puede tomar solo 3 va-
lores
{-1; 0; 1}
Importante

42
21.O
CONAMAT 2018
Los más representativos son 0º; 90º; 180º; 270º y 360º.
0º<>360º 90º 180º 270º
sen 0 1 0 -1
cos 1 0 -1 0
tan 0 N.D. 0 N.D.
cot N.D. 0 N.D. 0
sec 1 N.D. -1 N.D.
csc N.D. 1 N.D. -1
Nota
En la tabla se nota que 0º y 360º comparten los mismos valores.
Aplicación 6
Reduzca la siguiente expresión:
M
a b
a b
=
+
−( )
sen90 180
2
º cos º
Resolución
Reemplazamos los valores respectivos.
M
a b
a b
=
( ) + −( )
−( )
1 1
2
→ M
a b
a b
=
−
−( )2
Simplificamos.
M
a b
a b
=
−( )
−( )2
∴ M =
1
2
Si q es un ángulo positivo menor
que una vuelta, se cumple que
• q ∈ IC ↔ 0o < θ < 90o
Entonces θ ≠ 0o
q ≠ 90o
Observación

43
PROBLEMAS RESUELTOS
Problema N.˚ 1
Hoy podemos saber si hay peces cerca a nues-
tra posición utilizando un sonar (instrumento
que emite ondas sonoras), en cuya pantalla se
observa el siguiente gráfico:
1515
1010
00
121212
161616
191919
181818
333 151515
2020
Los números sobre los peces representan la
profundidad a la que se encuentran. Halla la
distancia que separa a los peces que se en-
cuentran a 12 m y 18 m de profundidad.
Resolución
De acuerdo al gráfico, podemos tener una
referencia de ubicación de elementos y po-
demos hacer uso de un sistema de ubicación,
así podemos notar que la posición de cada pez
puede ser representada en el plano cartesia-
no así:
Y
X
3 15
−12
−18 (15; −18)
(3; −12)
d
Entonces
d = −( ) + − − −( )( )15 3 18 12
2 2
d = ( ) + −( )12 6
2 2
d = 180
∴ d = 6 5
Problema N.˚ 2
En una fábrica de equipos para minería, se
tiene una placa circular con la que se va a
diseñar una tapa metálica, para ello se requiere
hacer los cortes OA y OB. Calcula cot q cot a.
O C
A
B
α
θ
3
;–
5
4
5
3
;– –
5
4
5
Y
X
Resolución
O
ααα
θθθ
3
;–
5
4
5
3
;– –
5
4
5
Y
X

44
21.O
CONAMAT 2018
Del gráfico
cot θ =
−
=
−
3
5
4
5
3
4
→ cot α =
−
−
=
3
5
4
5
3
4
Reemplazamos en lo pedido.
∴ cot cotθ α =
−9
16
Problema N.˚ 3
Un ingeniero al hacer las mediciones de la
ubicación de un baño en una casa obtiene el
siguiente gráfico:
α
B
X
Y
A
4 m
3 m
bañobaño
Si se quiere instalar una tubería que pase por
los puntos A y B, calcula tan a+ cot a.
Resolución
Piden
tana + cota
4
3
α
(4; –3)
X
Y
A
bañobaño
Del gráfico
tan α =
−3
4
cot α =
−
4
3
∴ tan cotα α+ =
−25
12
Problema N.˚ 4
En el radio observatorio de Jicamarca, ubicado
en la ciudad de Lima, se analiza el despla-
zamiento de una partícula que describe una
trayectoria dada por la ecuación de la recta
L : x+7y -25 = 0
θ
α
L: x+7y−25=0
A
Y
X
B
Si las coordenadas del punto A son (- 3;  y),
halla tanq + tana.

45
Resolución
Piden: H = tanq + tana
θ
α
L: x+7y−25=0A(–3; y)
Y
XB
4
T 3
53º
Tabulamos en
x+7y - 25 = 0
x y
-3 4
Luego, ATB es un triángulo notable de 53º.
→ a = 37º
Reemplazamos en
H =
−



 +




4
3
3
4
∴ H = −
7
12
Problema N.˚ 5
En el gráfico, se tiene una escalera apoyada
a la pared.
xxx
y
Halla el valor de la siguiente expresión:
H
x y
x y
x y
=
+( )+
+



+
+



sen cos
cos
2 2
3
1
3
Resolución
Nos piden

H
x y
x y
x y
=
+( )+
+



+
+



sen cos
cos
2 2
3
1
3
180º–y
B
180º–x
x
A C
y
En el triángulo rectángulo ABC
180º- x+180º- y = 90º
270º = x+y
Reemplazamos en
H =
( ) + ( )
+ ( )
sen º cos º
cos º
270 180
1 90
H =
−( ) + −( )
+
1 1
1 0
∴ H = - 2

46
21.O
CONAMAT 2018
1 UnjuegodegeolocalizaciónmedianteGPS
muestra el siguiente plano y un punto de
coordenadas (6; -4). Halla cotq.
Y
Xθθ
(6; −4)
2 Alejandra observa el reloj que está
colgado en la sala cuando son las
3:00 p. m.

12
1
3
4
5
6
7
8
9
10
11
2
θθθ
φφφ
Halla senq+cos(q -f).
3 Para rescatar a dos turistas de montaña
ubicados en el punto B(m; n), el plan es
ascender en línea recta descansando en
los puntos M y N, tal que AM=MN=NB.
Calcula cotq.
θ
A(−2; −3)
B(m; n)
M
N
Y
X
4 Una placa cuadrada se apoya en una
cuña, tal como se muestra en el gráfico.
Calcula tana.

X
(3; 5)Y
α
θ
5 Del gráfico, calcule L =senacosb.
P : y=x2
L : y=2x+3
Y
XO
α
β

47
6 En el gráfico mostrado, se observa las
tres aspas de un ventilador dibujadas
sobre un plano cartesiano.

Xααα
θθθ
βββ
Y
(0; 1)
2
;
3−
2
−1
2
;
3
2
−1
Halla H=tana+tanb+senq.
7 En el gráfico mostrado, AM=MB y
BH=HC.
Calcula M =
+
−
tan
tan
θ
θ
1
1
.

Y
X
A(−3; 2) M B
H
θ
C
8 Un tren decide tomar un desvío, pasando
por los puntos T, O y D. Si ABCD es un
cuadrado, halla 5 cot b.
O
T X
Y
C
DA(−7; −5)
B
Plaza de Armas
β
9 Pedro dobla una hoja de tamaño A4, de
tal forma que queda así:

α
θ
β
Calcula el valor de M.
M = + +( )+ −( )θ
α
β θ θ αsen cos

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