El documento resume diferentes tipos de ecuaciones diferenciales y sus métodos de resolución. Incluye ecuaciones diferenciales de variables separadas, lineales, de Bernouilli, homogéneas, exactas, de Riccati y de segundo orden con coeficientes constantes.

1.
MATEMÁTICAS
Ecuaciones diferenciales
Variables separadas: ´
Se puede escribir:
Separando variables:
E integrando:
ln
´
Luego la solución es:
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2.
MATEMÁTICAS
Ecuaciones diferenciales
Lineales: ´
´ ´ ´
ó
Se resuelve B (variables separadas):
´ ⇒
Se impone que sea solución de C :
´
Como , entonces ´ ´ ´ , sustituyendo:
´ ´
Y simplificando:
´
´
E integrando:
Con lo que la solución de C queda:
La solución final es el resultado de sumar (b) y (c)
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3.
MATEMÁTICAS
Ecuaciones diferenciales
Bernouilli: ´
Se hace el cambio de variable:
(1)
Es decir:
Y por lo tanto:
(2)
Derivando (1):
´ 1 ´
Y despejando:
´
´ (3)
Sustituyendo (2) y (3) en la ecuación diferencial:
´
1
Simplificando se obtiene:
´ 1 1
Dado que n es una constante lo podemos reescribir como:
´
Que es una ecuación diferencial lineal: se resuelve u luego se deshace el cambio de variable
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4.
MATEMÁTICAS
Ecuaciones diferenciales
Homogéneas: ´
Se hace el cambio de variable:
Por lo que:
(1)
Derivando:
´ ´ (2)
Sustituyendo (1) y (2) en la ecuación diferencial, resulta:
´
O bien:
1
´
Qué es una ecuación diferencial de variables separadas: se resuelve u y se deshace el
cambio de variable.
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5.
MATEMÁTICAS
Ecuaciones diferenciales
, ,
Exactas: , , o bien ´ , cumpliéndose
Resolvemos la integral
, ,
Resolvemos en :
, ,
La solución de la ecuación diferencial es:
,
, ,
Reducibles a exactas: , , ó ´ , cuando
Se busca un factor integrante , tal que:
, , , , 0
Sea exacta, y se resuelve como la anterior.
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6.
MATEMÁTICAS
Ecuaciones diferenciales
Riccati: ´
El método exige conocer previamente una solución particular . Conocida ésta se hace el
cambio de variable:
Y así
´
´ ´
Sustituyendo en la ecuación diferencial, resulta
´
´
Desarrollando:
´
´ 2
Y como es solución particular ´
Con lo que resulta:
´ 2 0
Que es una ecuación diferencial de Bernouilli, se resuelve y luego se deshace el cambio de
variable.
NOTA: como en la resolución de la ecuación diferencial de Bernouilli existe otro cambio de variable que lleva a
una ecuación diferencial lineal, también se puede hacer en la de Ricatti el cambio , qué directamente
lleva a la e.d. lineal.
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7.
MATEMÁTICAS
Ecuaciones diferenciales
2º orden con coeficientes constantes homogéneas: ´´ ´
Las soluciones son un espacio vectorial de dimensión dos, por lo que haría falta encontrar dos
soluciones de las que se sabe que tienen forma exponencial:
Derivando:
´ ´´
Y sustituyendo en la ecuación diferencial:
0
Simplificando:
0
Y por tanto:
√ 4
2
Casos:
 Dos soluciones ( y ): ,
 Solución doble ( ): y se busca de la forma ó
 Solución compleja conjugada ( , ): ,
, aunque se prefiere el resultado de dos combinaciones lineales:
e
La solución la constituyen todas las combinaciones lineales de la base formada por e :
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8.
MATEMÁTICAS
Ecuaciones diferenciales
2º orden con coeficientes constantes no homogéneas: ´´ ´
´´ ´ ´´ ´ 0 ´´ ´
ó
B es homogénea:
Para resolver C se busca una solución particular ( ) cuya forma depende del tipo de función
:
 Si se buscan soluciones de la forma: ó
 Si se buscan soluciones de la forma: ó
 Si ó se buscan soluciones de la forma:
, ó
 Si ∑ , se resuelven independientemente cada una de las e.d. de la
forma ´´ ´ obteniéndose una serie de soluciones particulares
( ), y así ∑
La solución de la ecuación diferencial será:
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