Este documento resume los conceptos fundamentales sobre análisis y representación de funciones. Define una función como una relación entre dos conjuntos numéricos donde a cada valor del primer conjunto le corresponde un único valor del segundo. Explica que una gráfica es una función si ninguna línea vertical intersecta la curva más de una vez. También cubre conceptos como dominio, recorrido, continuidad, asíntotas, máximos y mínimos, y puntos de inflexión.

1. Análisis y representación de funciones
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2. Definición de función
Una función f es una relación entre dos conjuntos
numéricos A y B, de manera que a cada valor del
conjunto A le hace corresponder un único valor del
segundo, conjunto B.
A
B
f: A→B
2
4
x→f(x)
3
6
2
36
9
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3. Seguimos analizando
¿Todas estas gráficas son funciones?
NO. De ellas, sólo tres
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4. Seguimos analizando
¿Todas estas gráficas son funciones?
NO. De ellas, sólo tres
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5. Analicemos un ejemplo
Esta curva muestra la audiencia de televisión de un canal
determinado en un día cualquiera, donde la variable
independiente es el tiempo y la variable dependiente son
los televidentes.
a) ¿Cuáles son sus puntos
con más televidentes?
b) ¿En qué momento tuvo
la menor audiencia?
c) ¿En qué intervalos ha
crecido la audiencia?
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6. Dominio y recorrido


6
El dominio de la función es el conjunto de valores
que puede tomar la variable independiente x.
Una curva en el plano xy es la gráfica de una función
de x si y sólo si ninguna recta vertical se interseca
con la curva más de una vez.
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7. Restricciones: del dominio
Restricciones
Las restricciones de dominio se establecen
en los siguientes casos:
Denominador no puede ser nulo
Radicando positivo o nulo, si el índice de raíz
es par
En caso de ser función logaritmo, su
argumento debe ser positivo
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8. Imagen y recorrido

Imagen:
Es el conjunto de valores f(x) que toma la función. La
leemos sobre el eje y

Recorrido:
Es el conjunto de todos los pares (x;f(x)), que
representamos en el plano.
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9. Raíces o puntos de corte con los ejes.
 El
eje de abscisas es la recta de
ecuación y=0.
Para hallar los puntos de corte de
una función y=f(x) con el eje de
abscisas, debe ser f(x)=0.
 El eje de ordenadas es la recta de
ecuación x=0.
El punto de corte de una función con
el eje de ordenadas, si existe, es
(0,f(0)),
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10. Continuidad. Discontinuidad.
Una función f es continua cuando puede dibujarse sin levantar
el lápiz del papel.
Cada vez que sea necesario levantarlo para seguir dibujando se
produce una discontinuidad.
En todos los puntos en los que f no está definida se produce una
discontinuidad, un salto de su gráfica.
Se basa en el estudio de los límites.
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11. Asíntotas.
Las asíntotas son rectas hacia las cuales tiende a pegarse la gráfica de
la función; esto es, la curva correspondiente a la función se acerca
cada vez más a una recta. Pueden ser verticales, horizontales y
oblicuas.
Las funciones de la forma P(x)/Q(x), pueden tener asíntotas verticales
en aquellos puntos que anulen el denominador (Q(x)=0).
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12. Paridad o simetrías

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Una función es par si
f(x)=f(-x) para todo x de
su dominio.
Las funciones pares son
simétricas respecto del
eje OY.
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
Una función es impar si
f(x)=-f(-x) para todo x de
su dominio.
Las funciones impares
son simétricas respecto
del origen de
coordenadas.

13. Máximos y mínimos relativos.


f(x) tiene un máximo en un punto x=a ↔ f(a-h) ≤f(a) ≥ f(a+h)
f(x) tiene un mínimo en un punto x=a ↔ f(a-h) ≥ f(a)≤f(a+h)
Los máximos y mínimos relativos existen, cuando la función
pasa de ser creciente a decreciente o, a la inversa.
Su presencia se produce
cuando la derivada primera
se anula en algún x0.
Para determinarlo y establecer tipo, se reemplaza
dicho x0 en derivada segúnda.
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14. Crecimiento.
 f(x) es
creciente en un intervalo
(X1, X2) cuando lo es para todo x
entre X1 y X2.
En ese intervalo, su derivada es
positiva
 f(x) es decreciente en un intervalo
(X1, X2) cuando lo es para todo x de
él.
En ese intervalo, su derivada es
negativa
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15. Punto de inflexión.
Los
puntos de inflexión se producen cuando
una curva pasa de ser cóncava a convexa o
viceversa.
Esto sucede cuando la derivada segunda se
anula en algún x0.
Para determinarlo y establecer tipo, se
reemplaza dicho valor en la derivada tercera.
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16. Resumiendo:
Función impar
Pendiente negativa: decrece
Máximo relativo
Punto de inflexión
Pendiente positiva:
crece
Mínimo relativo
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