El documento presenta una guía sobre la integración indefinida de funciones elementales, incluyendo funciones algebraicas, exponenciales, logarítmicas, trigonométricas, inversas trigonométricas, hiperbólicas e inversas hiperbólicas. Explica conceptos como la antiderivada, la integral indefinida y sus propiedades. Además, incluye fórmulas y ejemplos para integrar diferentes tipos de funciones elementales.

1. José Santos Valdez y Cristina Pérez Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
16
Clase: 1.5 La antiderivada e integración de funciones elementales.
Guía:
- Familia de funciones. - Integración de funciones elementales:
- Antiderivada de una función. - Ejemplos.
- Integración indefinida. - Ejercicios.
- Propiedades de la integral indefinida.
Familia de funciones: Es un conjunto de funciones que difieren en una constante.
Ejemplo: Las siguientes funciones representan una familia de funciones puesto que difieren en una constante.
y = x2
y = x2
+ 2
y = x2
– 5
Observe: que al trazar la recta “L”
(perpendicular al eje de las Xs ) esta toca a
las curvas en los puntos de las curvas donde
la pendiente de otras rectas “T” es la misma
en todos los puntos que se tocan.
Antiderivada de una función:
De la siguiente familia de funciones observe lo siguiente:
a) A cada función de la familia se llama función primitiva.
b) De cada función primitiva se obtiene su derivada (todas las derivadas son iguales).
c) De cada derivada se obtiene su antiderivada; de donde antiderivada y función primitiva es lo mismo.
d) De cada antiderivada se obtiene su diferencial (todos los diferenciales son iguales).
e) De cada diferencial se infiere su integral que es la función primitiva, sólo que en lugar del número aparece
una “c” (constante).
Función primitiva Derivada Antiderivada Diferencial Integral
2
xy 
x
dx
dy
2
cxy  2 dxxdy 2
   cxdxxdy 2
2
22
 xy
x
dx
dy
2
cxy  2 dxxdy 2
   cxdxxdy 2
2
52
 xy
x
dx
dy
2
cxy  2 dxxdy 2
   cxdxxdy 2
2
Conclusión:
Sí cxfy  )( )(xf
dx
dy

cxfy  )( dxxfdy )(' cxfdxxfdy   )()('
De donde: La integración indefinida es el proceso de encontrar la familia de antiderivadas de una función. A
partir de aquí y a menos que otra cosa se indique, cuando tratemos las integrales nos estaremos refiriendo a la
integración indefinida de funciones.
Para efectos prácticos, haremos los siguientes cambios: La integral   cxfdxxf )()( la concebiremos de
la siguiente forma:   cxFdxxf )()( donde )(xf es la función a integrar y cxF )( es su resultado.
Recta “L”
T
y = x2
y = x2
+ 2
y = x2
– 5
T
T

2. José Santos Valdez y Cristina Pérez Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
17
Notación:
  cxFdxxf )()( Donde:  Es el signo de integración.
dxxf )( Es el integrando.
x Es la variable de integración.
cxF )( Es la familia de antiderivadas.
c Es la constante de integración.
Propiedades de la integral indefinida:
Sí gyf son funciones de una misma variable, continuas e integrables y k es una constante, se cumplen las
siguientes propiedades:
  dxxfkdxxfk )()()1 Del producto constante y función.
    dxxgdxxfdxxgxf )()()()()2 De la suma y/o diferencia de funciones.
Integración de funciones elementales.
Integración de funciones elementales algebraicas:
Fórmulas de integración de funciones elementales algebraicas: Para el propósito de integración se han
considerado únicamente las siguientes funciones algebraicas elementales:
  cdx0)1   cxdx)2 c
x
dxx  2
)3
2
cx
x
dx
 ln)4
Ejemplos:
  cdxo)1
  cxdx 33)2
c
x
c
x
dxxdxx   2
5
2
)5(55)3
22
    cxcx
x
dx
x
dx
x
dx
x
dx
ln
2
1
ln
2
1
2
1
2
)4
c
x
c
x
dxxdx
x






  4
3
22
3
2
3
2
3
)5
22
cxcxdx
x
dx
x






  ln
3
2
ln
3
21
3
2
3
2
)6
c
xx
cx
x
dxdxxdx
x
dx
x


























 3
5
33
5
23
2
3
5
3
2
3
5
3
2
3
52
)7
22
cxxdxdx
xx
x
dx
x
dx
x
x
x
dx
x
x








  3ln23
1
2
323232
)8
      cx
x
dxdxxdxxdxxdxxx 2
2
2)2()2(44)9
2
22

3. José Santos Valdez y Cristina Pérez Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
18
Integración de funciones elementales exponenciales:
Fórmulas de integración de funciones elementales exponenciales:
  cedxe xx
)1   c
a
a
dxa
x
x
ln
)2
Ejemplos:
  cedxe xx
22)1
  c
e
dx
e xx
4
3
4
3
)2
cdx
xx
 3ln2
3
2
3
)3
Integración de funciones elementales logarítmicas:
Fórmulas de integración de funciones elementales logarítmicas:
  cxxdxx  1lnln)1  







 c
e
x
xdxx aa loglog)2
Ejemplos:
  cxxdxx  1ln3ln3)1
 







 c
e
xx
dx
x
10
10
log
33
log
)2
Integración de funciones elementales trigonométricas:
Fórmulas de integración indefinida de funciones elementales trigonométricas:
  cxdxxsen cos)1   cxsendxxctg ln)4
  cxsendxxcos)2   cxxdxx tanseclnsec)5
  cxoscdxx lntan)3 cxxdxx  cotcsclncsc)6
Ejemplos:
  csenxxdx 2cos2)1
csenxdx
x
 ln
3
2
3
cot2
)2
  cxxcxxdxxdx
x












  tansecln
5
1
tansecln
5
1
sec
5
1
5
sec
)3
 

 cxdx
xxsen
ricatrigonométidentidad
dxxxsendxxsen 44
1cos
)cos(4)cos44()4 22
2222

4. José Santos Valdez y Cristina Pérez Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
19
Integración de funciones elementales trigonométricas inversas:
Fórmulas de integración de funciones elementales trigonométricas inversas:
  cxsenxxarcdxxsenarc 2
1)1
  cxxarcxdxxarc 1ln
2
1
cotcot)4 2
  cxxarcxdxxarc 2
1coscos)2   cxxxxarcdxxarc 1lnsecsec)5 2
cxxxarcdxxarc  1ln
2
1
tantan)3 2 cxxxxarcdxxarc  1lncsccsc)6 2
Ejemplos:
   cxxxcxxxdxx 22
12arccos21arccos2arccos2)1
  cxxxarcxcxxxarcxdx
xarc
 1ln
5
3
sec
5
3
1lnsec
5
3
5
sec3
)2 22
Integración de funciones elementales hiperbólicas:
Fórmulas de integración de funciones elementales hiperbólicas:
  cxdxxsenh cosh)1 cxsenhdxx  lncoth)4
  cxsenhdxxcosh)2
 





 c
x
dxxh
2
tanharctan2sec)5
cxdxx  coshlntanh)3
c
x
dxhx  2
tanhlncsc)6
Ejemplos:
  cxsenhdxx 2cosh2)1
  cxdx
x
)(coshln
3
1
3
tanh
)2
cxdxxsenh
xsenh
xh
ahiperbólicidentidad
dx
hx
dx
hx


  cosh
3
2
3
2
csc
1
csc
1
3
2
csc3
2
)3
Integración de funciones elementales hiperbólicas inversas:
Fórmulas de integración de funciones elementales hiperbólicas inversas:
cxxarcsenhxarcsenhxdx  1)1 2 cxxxarcdxxarc  1ln
2
1
cothcoth)4 2
cxhxxhxdx  1arccosarccos)2 2
c
x
x
hxxarcdxhxarc 






 1
arctansecsec)5 2
cxhxxdxhx  1ln
2
1
arctanarctan)3 2 cxxhxxarcdxchxarc  1lncsccsc)6 2

5. José Santos Valdez y Cristina Pérez Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
20
Ejemplos:
cxxarcsenhxarcsenhxdx  1333)1 2
  cxxxharc
x
cxxxhxarcdxxharcdx
hxarc
  1ln
2
1
csc
2
1lncsc
2
1
csc
2
1
2
csc
)2 22
Ejercicios:
Tipo I. Por las fórmulas de integración de funciones elementales algebraicas; obtener:
  ?)1 dx   ?2)2 dx ?
3
)3  dx
x
?
10
)5(3
)4  dx
x
Tipo II. Por las fórmulas de integración de funciones elementales exponenciales; obtener:
  ?5)1 dxex
  ?
5
3
)2 dx
ex
?
3
2
)3  dx
x
?
3
)4  dx
x
Tipo III. Por las fórmulas de integración de funciones elementales logarítmicas; obtener:
  ?ln5)1 xdx dx
x
 8
ln
)3   ?
10
log3
)5 5
dx
x
  ?
5
ln3
)2 dx
x
  ?log2)4 5 xdx
  ?
3
log
)6 5
dx
x
Tipo IV. Por las fórmulas de integración de funciones elementales trigonométricas; obtener:
  ?5)1 xdxsen ?
8
tan
)3  dx
x
  ?
10
sec3
)5 dx
x
  ?
5
cos3
)2 dx
x
  ?cot2)4 dxx
  ?
3
csc
)6 dx
x
Tipo V. Por las fórmulas de integración de funciones elementales trigonométricas inversas; obtener:
  ?2)1 xdxsenarc dx
xarc
 10
tan
)3   ?
5
sec3
)5 dx
xarc
  ?
5
cos3
)2 dx
xarc
  ?cot2)4 dxxarc
  ?
6
csc
)6 dx
xarc
Tipo VI. Por las fórmulas de integración indefinida de funciones elementales hiperbólicas; obtener:
  ?5)1 xdxsenh ?
2
tanh
)2  dx
x
  ?
5
sec3
)3 dx
hx
Tipo VII. Por las fórmulas de integración de funciones elementales hiperbólicas inversas; obtener:
?
5
cosh3
)1  dx
xarc ?coth2)2  dxxarc ?
3
csc2
)3  dx
hxarc

6. José Santos Valdez y Cristina Pérez Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
21
Clase: 1.6 Integración de funciones algebraicas que contienen xn
.
Guía:
- Integración de funciones algebraicas que contienen xn
.
- Ejemplos.
- Ejercicios.
Integración de funciones algebraicas que contienen xn
.
Fórmula de integración de funciones algebraicas que contienen xn
.
0)1(
1
)1
1




nc
n
x
dxx
n
n
Ejemplos:
  






c
x
nn
c
n
x
dxxxdx
n
n
221;1
1)1
2
1
1
c
x
c
x
nnk
c
n
x
kdxxkxdxxdx
n
n




  

2
3
)2(
)3(
21;1;3
133)2
2)2(
1
c
x
c
x
nn
c
n
x
dxxdxx
n
n




 

3)3(31;2
1)3
3)3(
1
2
c
x
c
x
nn
c
x
x
dxx
dxxdxx
n
n









3
2
2
3
1;
2
1
1)4
3
2
3
2
3
1
2
1
c
x
c
x
c
x
dxxdxx   3
22
3
222
22)5
33
2
3
2
3
c
x
c
x
c
x
nn
c
n
x
dxx
dxxdx
x
n
n











  2
1
2
2
2
2
21;3
12
2
)6 22
2
1
3
3
  cxxc
xx
dxxdxxdxxx   
23
23
22
2
2
3
3
2323)7

7. José Santos Valdez y Cristina Pérez Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
22
c
xx
c
xx
dxxdxxdxxdx
x
dxx
x


















   3
2
933
1
3
1
33
)8
33
2
3
2
3
3
2
1
2
22
  c
xx
cx
x
dxdxxdxdx
x
dx
x
dx
x


























 4
5
8
3
4
5
24
3
4
5
4
3
4
5
4
3
4
5
4
3
4
53
)9
22
cx
x
c
xx
dxxdxxdx
xx
x
dx
x
x


 

2
3
211
)10
3
2
1
2
1
2
3
2
3
2
1
2
1
Ejercicios:
Tipo I. Por la fórmula de integración de funciones algebraicas que contienen xn
; obtener:
  ?)1 3
dxx
  ?
1
)4 dx
x  dx
x2
3
2
)7
  ?
3
)2 dx
x
  ?
1
)5 2
dx
x
?
2
3
)8
5
 dx
x
  ?
3
2
)3
2
dx
x
?2)6  dxx ?
23
5
)9  dx
x
Tipo II. Por la fórmula de integración de funciones algebraicas que contienen xn
; obtener:
  ?)2()1 2
dxx
  ?
2
2
)3 dx
x
?
5
3
)5
5
3








 dx
x
x
?4)2  dxx
  ?
2
)4 dx
x
x
?
7
)6
3 4








 dx
x
x
Tipo III. Por la fórmula de integración de funciones algebraicas que contienen xn
; obtener:
?)3()1  dxx ?)21()4  dxx ?
1
)7 




 
 dx
x
x
?)1()2 2
 dxx
?
3
21
)5 




 
 dx
x
?)8 




 
 dx
x
bxa
?)2()3 2
 dxxx
?
3
)6
2





 
 dx
x
xx
?
2
32
)9 




 
 dx
x
x

8. José Santos Valdez y Cristina Pérez Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
23
Clase: 1.7 Integración de funciones que contienen u.
Guía:
- Integración de funciones que contienen u. - Ejemplos.
- Fórmulas de integración de funciones que contienen u: - Ejercicios.
Integración de funciones que contienen u.
Para toda “u” que sea cualquier función, se cumplen las siguientes fórmulas de integración:
Integración de funciones algebraicas que contienen u.
Fórmulas de integración de funciones algebraicas que contienen u.
  cdu0)1   cudu)2
0)1(
1
)3
1




nc
n
u
duu
n
n cudu
u
 ln
1
)4
Ejemplos:
       
    c
x
c
x
dxx
dx
x
nn
dxduxu
c
n
u
duu
dxx
n
n









 



















 



20
52
4
52
5
1
)5(52
5
1
5
5
52
41;3
5;52
1
52)1
44
33
1
3
  
















cx
x
dxdx
xdxduxu
cu
u
du
x
dx
31ln
3
1
31
)3(
3
1
3
3
31
1
3;31
ln
31
)2
          c
x
c
x
dxxdxxx 






 







  18
31
6
)31(
3
1
631
6
1
2312)3
6262
5252
c
x
c
x
dx
xx
dx
x
x






























2
53
35
2
1
2
5
6
35
5
3
2
53
5
2
7
2
5
2
7
)4
3
2
1
3
22
1
3
3
2
c
x
c
x
dx
xx
dx
x
du
x
u
x
dx
x
dx
x
x






































 6
6
2
5
2
2
5
2
5
2
1
1
12
1
6
2
1
1
2
1
)2(
1
2
1
3
4
)2(
2
1
2
1
1
2
1
3
4
1
4
2
1
3
)5

9. José Santos Valdez y Cristina Pérez Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
24
c
c
x
x
dx
xx
dx
xx
dx
x
x







































4
2
2
3
4
2
4
3)2(
4
2
)2(2
31
4
2
2
3
4
2
2
3
)6
2
1
2
1
2
2
1
2
2
1
2
   














cxx
x
dxdx
xxx
x
dx
x
x
2ln63
2
6
3
2
6
3
2
6
3
2
3
2
3
)7
cxx
x
cxx
x
dx
x
x
x
x
x
x
dx
x
x
dx
x
x


































)2ln(
2
11
3
4
3
)2ln(116
2
3
2
1
2
11
63
2
1
2
11
63
2
13
2
13
2
1
42
13
)8
2
2222
Integración de funciones exponenciales que contienen u.
Fórmulas de integración de funciones exponenciales que contienen u:
  cedue uu
)1
  c
a
a
dua
u
u
ln
)2
Ejemplos:
  cedxedx
e
xx
x






  33
3
4
3
3
1
3
4
1
4
)1
ccdxdx
xx
xx












  3ln2
3
3ln
3
2
1
)2(3
2
1
3)2
22
22
cedx
x
edx
x
edx
x
e xxx
x
  3
25
)2(
1
23
)2(51
23
5
23
5
)3
Integración de funciones logarítmicas que contienen u.
Fórmulas de integración de funciones logarítmicas que contienen u.
  cuuduu  1lnln)1 c
e
u
uduu aa 







 loglog)2
Ejemplos:
c
x
xc
xx
dx
x
dx
x
dx
x






























  1
5
3
ln31
5
2
ln
5
2
2
15
5
2
5
2
ln
2
5
3
5
2
ln3
5
2
ln3)1
  c
e
xx
c
e
x
xdxxxdxxx 























 
2
10
22
10
22
10
2
10
5
log
2
35
log5
10
3
105log
10
1
35log3)2

10. José Santos Valdez y Cristina Pérez Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
25
c
xx
dx
xx
dx
xx
dx
x
x












































 1
3
2
1ln
3
2
1
5
3
3
2
3
2
1ln
2
3
5
21
3
2
1ln
5
2
5
3
2
1ln2
)3 2
2
2
Integración de funciones trigonométricas que contienen u.
Fórmulas de integración de funciones trigonométricas que contienen u.
  cuduusen cos)1   cuduuu sectansec)7
  cusenduucos)2   cuduuu csccotcsc)8
  cuoscduu lntan)3   cuduu tansec)9 2
  cusenduu lncot)4   cuduu cotcsc)10 2
  cuuduu tanseclnsec)5
  cuuuuduu tansecln
2
1
tansec
2
1
sec)11 3
  cuuduu cotcsclncsc)6
Ejemplos:
  


 cxsendxx
dxduxu
cusenduu
dxx 2
2
1
)2(2cos
2
1
2;2
2cos
2cos)1
c
x
tg
dxx
dx
du
x
u
cutgkduuk
dx
x
dx
x















 

 4
3
3
8
4
3
4
3
sec
3
4
2
4
3
;
4
3
sec
4
3
sec2
4
3
sec2)2 2
2
22
    





 cxtgdxxdxxu
ux
dx
x
dx
5
10
3
)5(5sec
5
1
2
3
5sec
2
3
sec
cos
1
5cos2
3
5cos2
3
)3 22
22
 
     

 




























 
c
x
c
x
dxxsenx
dxxsendu
nn
xu
xdxsenxEstrategia
c
n
u
duu
tipoIntegral
dxxsenx n
n
12
3cos
4
3cos
3
1
333cos
3
1
33
41;3
3cos
33cos
1
33cos)4
44
3
313
  















dx
x
xsen
dx
xsen
xsen
dx
xsen
xsen
xsen
Estrategia
xsen
dx
2cos
21
3
21
21
3
21
21
21
1
3
21
3
)5 22
    dx
xx
xsen
dxxdx
x
xsen
dx
x 2cos
1
2cos
2
32sec3
2cos
2
3
2cos
1
3 2
22
 
 
 
  cxxtgdxxxtgdxxdxxxtgdxx    2sec
2
3
2
2
3
22sec2
2
3
22sec
2
3
2sec232sec3 22

11. José Santos Valdez y Cristina Pérez Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
26
Integración de funciones trigonométricas inversas que contienen u.
Fórmulas de integración de funciones trigonométricas inversas que contienen u.
  cuusenarcuduusenarc 2
1)1 cuuarcuduuarc  1ln
2
1
cotcot)4 2
  cuuarcuduuarc 2
1coscos)2 cuuuarcuduuarc  1lnsecsec)5 2
cuuuduu  1ln
2
1
arctanarctan)3 2 cuuuarcuduuarc  1lncsccsc)6 2
Ejemplos:
 
cxxx
x
cxxx
x
cxxxdxxdx
x















69
21
2
)31arccos(
21
)31(2
961(1
21
2
)31arccos(
21
)31(2
)31(1)31arccos()31(
21
2
)3)(31arccos(
3
1
7
2
7
)31arccos(2
)1
22
2
  cxxxarccxxxarcx
dxxarcdx
xarc











142ln
5
2
)2(csc
5
4
1)2()2(ln)2(csc)2(
5
2
)2()2csc(
2
1
5
4
5
)2csc(4
)2
22
Integración de funciones hiperbólicas que contienen u.
Fórmulas de integración de funciones hiperbólicas que contienen u.
cuduusenh  cosh)1   cuduuh tanhsec)7 2
csenhuduu cosh)2   cuduuh cothcsc)8 2
  cuduu coshlntanh)3   cuhduuuh sectanhsec)9
cusenhduu  lncoth)4 cuhduuuh  csccothcsc)10
 





 c
u
duuh
2
tanharctan2sec)5
c
u
duuh  2
tanhlncsc)6
Ejemplos:
  





 cxsenhdxxdxx 2)2(2cosh
2
1
22cosh2)1
   











 cxhdxxxhdx
xxh
3sec
15
1
33tanh3sec
3
1
5
1
5
3tanh3sec
)2

12. José Santos Valdez y Cristina Pérez Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
27
Integración de funciones hiperbólicas inversas que contienen u.
Fórmulas de integración de funciones hiperbólicas inversas que contienen u.
cuuarcsenhuduuarcsenh  1)1 2
cuuarcuduuarc  1ln
2
1
cothcoth)4 2
cuuhuduhu  1arccosarccos)2 2
c
u
u
huuarcduhuarc 






 1
arctansecsec)5 2
cuhuuduhu  1ln
2
1
arctanarctan)3 2 cuuhuarcuduhuarc  1lncsccsc)6 2
Ejemplos:
   
cxxarcsenhx
cxxarcsenhxdxxarcsenhxdxarcsenh







 
14
2
3
23
1)2(
2
3
)2()2(
2
3
22
2
1
323)1
2
2
 
cx
xx
harc
x
c
xxx
harc
x
c
xxx
harc
xdxx
harcdx
x
harc



























 
9
3
1
3
ln
2
3
3
csc
2
1
93
ln
2
3
3
csc
2
1
33
ln
3
csc
32
3
33
csc3
2
1
2
3
csc
)2
2
2
2
Ejercicios:
Tipo I. Por las fórmulas de integración de funciones algebraicas que contienen u; obtener:
  ?)1 dx ?23)8  dxx ?
1
)15 
 x
dx duuu 2)22 43

  ?)2 xdx
?
3
21
)9 




 
 dx
x   ?43)16
22
 dxxx dx
x
x
  23
2
)1(
)23
  ?)3 3
dxx
?
2
13
)10 




 
 dx
x ?)1()17 432
 dxxx dx
xcb
ax
  222
3
)24
  ?)4
x
dx
dx
b
bxaa

 2
)(
)11
?)1(5)18 72
 dxxx dxxbax  222
)25
?2)5  dxx
?
12
3
)12 





 dx
x
?
1
4
)19 2


 dx
x
x
  ?)1()6 3
dxx
?
22
3
)13 





 dx
x
x ?15)20 2
 dxxx
?)21()7 2
 dxx ?
32
3
)14 


 dx
x
?)31()21 2
 dttt

13. José Santos Valdez y Cristina Pérez Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
28
Tipo II. Por las fórmulas de integración de funciones exponenciales que contienen u; obtener:
?)1 2
 dxe x ?
3
2
)4
2
3
 dxe
x x ?3)7 )4(
 dxx
?
3
2
)2
5


dx
e x
?4)5
3
22
 dxex x
?2)8 )21(


dxx
?)3 )21(


dxe x
?2)6 )21( 2


dxex x
?23)9
2
2
 dxxx
Tipo III. Por las fórmulas de integración de funciones logarítmicas que contienen u; obtener:
?5ln)1  dxx ?
5
ln
)3 2
2
 dx
x
x ?)82(log)5 10  dxx
?)21ln()2  dxx ?4log)4 10  dxx ?log3)6 2
10
2
 dxee xx
Tipo IV. Por las fórmulas de integración de funciones trigonométricas que contienen u; obtener:
?2)1  dxxsen
  ?)7 2
xSen
dx ?cos)13 3
 dxxxsen
?3cos2)2  dxx ?)4()8 22
 dxxsenx ?3cos3)14 4
 dxxxsen
?tan)3  dxbx
 

?
1
1
)9 2
dx
xsen
?
cos
)15 
 dx
axsenb
ax
?
3
sec2
)4  dx
x
?
cos1
)10 
 x
dx
?
cos1
)16 
 dx
x
xsen
?)(csc)5 2
 dxbxa ?cos)11  dxxxsen ?
2cos
2
)17  


d
sen
?)1(sec)6 2
 dtt ?22cos12  dttsent ?
2sec
2
)18 5
 dx
x
xsen
Tipo V. Por las fórmulas de integración de funciones trigonométricas inversas que contienen u; obtener:
?2)1  dxxsenarc ?)3(tan)3  dxxarc
?
5
3sec2
)5
2
 dx
xarcx
?
5
arccos
)2 2
3
1
 dx
x
x ?)21(cot)4  dxxuarc   ?
3
2lncsc
)6  dx
x
xarc
Tipo VI. Por las fórmulas de integración de funciones hiperbólicas que contienen u; obtener:
  ?55)1 xdxsenh ?
2
2tanh
)2  dx
x
  ?
5
3sec3
)3 dx
xh
Tipo VII. Por las fórmulas de integración de funciones hiperbólicas inversas que contienen u; obtener:
  ?
5
5cosh3
)1 dx
xarc
?
3
coth2)2  dx
x
arc   ?
2
3csc
)3 dx
xharc

14. José Santos Valdez y Cristina Pérez Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
29
Fecha:
Evaluación tipo: Unidad 1. EXAMEN DE CÁLCULO INTEGRAL
Hora:
Oportunidad: 123 No. de lista:
Apellido paterno Apellido materno Nombre(s) Unidad: 1. Tema: La integral indefinida
Calificaciones: Elab: Clave: Evaluación Tipo
Examen Participaciones Tareas Examen
sorpresa
Otras Calificación final
1) En la celda “RC” (Respuesta correcta) escriba con tinta la clave correspondiente a la solución correcta del problema.
2) En el reverso de la hoja resuelva únicamente los problemas que contienen en la celda “RC” las siglas (SRD).
3) En caso de que asigne la clave correcta en celdas con siglas (SRD) sin haber resuelto el problema adecuadamente, se
restaran por cada celda 20 puntos del total de la calificación.
4) Para tener derecho a puntos extras, deberá obtener como mínimo el 40% del examen aprobado.
5) Iniciada la evaluación no se permite el uso de celulares, internet, ni intercambiar información ó material.
6) Cualquier operación, actitud ó intento de fraude será sancionada con la no aprobación del examen.
dx
x22
1
 dx
x22
1
Ninguna dx
x24
1






2
2
)1
x
d
Clave: 10SWA Clave: 10YRJ Clave: 10NMX Clave: 10MCV
RC
Ninguna dx
x2
2
5
dx
x







2
1
2
5
2
dx
x2
2
5






 
x
x
d
2
5
)2
Clave: 1BNGH Clave: 1YURT Clave: 1NHYK Clave: 1LPIO
RC
dxe
x
2

 dxe
x
2

dxe
x
2
2

 Ninguna






 
2
2)3
x
ed
Clave: 2MHNS Clave: 2RTFH Clave: 2PLUY Clave: 2BNDP
RC
dx
x2
91
1

Ninguna dx
x2
31
3

dx
x2
91
3

 xsenarcd 3)4
Clave: 3NMHO Clave: 3BNML Clave: 3CVBR Clave: 3RTQE
RC
  c
x


32
52
5
  c
x


160
52
5
Ninguna
  c
x


2
52
2
dx
x
4
2
52
)5  




 
Clave: 4ASDI Clave: 4TRES Clave: 4LKUP Clave: 4KHMU
RC
Ninguna c
x







3
3
44
1
c
x







3
3
42
3 c
x







3
3
43
8
dx
x
 





 3
4
)6
Clave: 5ASDQ Clave: 5OPUH Clave: 5TREH Clave: 5LKMA
RC
(SRD)
  c
x

10
2
32
c
x

5
8 6
  c
x

5
2
32
Ninguna
dx
xx
 







5
23
)7
2
Clave: 6NHGN Clave: 6NMGP Clave: 6PLOH Clave: 6RTEY
RC
  c
x
x


2
1ln3 3
2
Ninguna
  c
x
x



4
1ln 3
2
  c
x
x



2
1ln 3
2
dx
x
x













2
2
3
2
ln
)8
Clave: 7MNBH Clave: 7HYRA Clave: 7POUL Clave: 7TRET
RC
Ninguna cxsen  2
16
1 4
cx  2cos
16
1 4
cx 2cos
8
1 4
 dx
xsenx
2
22cos
)9
3
Clave: 8UHKP Clave: 8RGMH Clave: 8BEQO Clave: 8LMNV
RC
cx
xarcsenx
 12
1
2
1
cx
xarcsenx
 1 cx
xarcsenx
 1
Ningunadx
x
xarcsen
 







2
)10
Clave: 9TUTR Clave: 9PLOS Clave: 9WQPE Clave: 9PLTH
RC
(SRD)

15. José Santos Valdez y Cristina Pérez Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
30
Formulario de diferenciales de funciones que contienen xn
y u: Unidad 1.
Propiedades:    )()()1 xfdkxfkd       )()()()()2 xgdxfdxgxfd 
Fórmula de diferenciación de funciones que contienen xn
  dxnxxd nn 1
)1 

Fórmulas de diferenciación de funciones que contienen u:
Algebraicas:
  dunuud nn 1
)1 
 duud )()2
  du
u
u
ud )3   du
u
ud
2
1
)4  du
uu
d 2
11
)5 





Exponenciales: Logarítmicas:
  dueed uu
)1 ....71828.2e   du
u
ud
1
ln)1  10 a
  duaaad uu
ln)2    du
au
ud a
ln
1
log)2 
  duvudvuuud vvv 1
ln)3 

Trigonométricas: Trigonométricas inversas:
  duuusend cos)1    du
u
senuarcd 2
1
1
)1


  duusenud cos)2   du
u
uarcd 2
1
1
cos)2


  uduud 2
sectan)3    du
u
uarcd 2
1
1
tan)3


  duuud 2
csccot)4    du
u
uarcd 2
1
1
cot)4


  duuuud sectansec)5    du
uu
uarcd
1
1
sec)5 2


  duuuud csccotcsc)6    du
uu
uarcd
1
1
csc)6 2


Hiperbólicas: Hiperbólicas inversas:
  duuusenhd cosh)1    du
u
uarcsenhd
1
1
)1 2


  duusenhud cosh)2   1
1
1
arccos)2 2


 udu
u
uhd
  duuhud 2
sectanh)3    1
1
1
arctan)3 2


 udu
u
uhd
  duuhud 2
csccoth)4    1
1
1
coth)4 2


 udu
u
uarcd
  duuhuuhd sectanhsec)5    10
1
1
sec)5 2


 udu
uu
uharcd
  duuhuuhd csccothcsc)6    0
1
1
csc)6 2


 udu
uu
uharcd

16. José Santos Valdez y Cristina Pérez Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
31
Formulario de integración indefinida de funciones que contienen xn
y u: Unidad 1.
Propiedades:   dxxfkdxxfk )()()1     dxxgdxxfdxxgxf )()()()()2
Fórmula de integración de funciones algebraicas que contienen xn
:
 



c
n
x
dxx
n
n
1
)1
1
Fórmulas de integración de funciones que contienen u:
Algebraicas:
  cdu0)1   cudu)2  



c
n
u
duu
n
n
1
)3
1
cu
u
du
 ln)4
Exponenciales:   cedue uu
)1
  c
a
a
dua
u
u
ln
)2
Logarítmicas:
  cuuduu  1lnln)1
 







 c
e
u
uduu aa loglog)2
Trigonométricas:
  cuduusen cos)1
  cusenduucos)2
  cuoscduutg ln)3
  cusenduuctg ln)4
  cuuduu tanseclnsec)5
  cuctguduu csclncsc)6
  cuduuu secsectan)7
  cuduuu csccsccot)8
  cuduu tansec)9 2
  cuduu cotcsc)10 2
cuu
uuduu


tansecln
2
1
tansec
2
1
sec)11 3
Trigonométricas inversas:
  cusenuuarcduusenarc 2
1)1
  cuuarcuduuarc 2
1coscos)2
cuuuduu  1ln
2
1
arctanarctan)3 2
  cuuarcuduuarc 1ln
2
1
cotcot)4 2
  cuuuarcuduuarc 1lnsecsec)5 2
  cuuuarcuduuarc 1lncsccsc)6 2
Hiperbólicas: Hiperbólicas inversas:
  cudxusenh cosh)1
  cusenhdxucosh)2
  cuduu coshlntanh)3
cusenhduu  lncoth)4
 





 c
u
duuh
2
tanharctan2sec)5
c
u
duuh  2
tanhlncsc)6
  cuduuh tanhsec)7 2
  cuduuh cothcsc)8 2
  cuhduuuh sectanhsec)9
cuhduuuh  csccothcsc)10
cuuarcsenhuduuarcsenh  1)1 2
cuuhuduhu  1arccosarccos)2 2
cuhuuduhu  1ln
2
1
arctanarctan)3 2
cuuarcuduuarc  1ln
2
1
cothcoth)4 2
c
u
u
huuarcduhuarc 






 1
arctansecsec)5 2
cuuhuarcuduhuarc  1lncsccsc)6 2