Con este problema aprenderás a estudiar la diagonalización de una matriz cuadrada. Aprenderás a calcular también los subespacios propios asociados a cada vector propio.

1. Vídeo tutorial FdeT:
Problemas resueltos: Diagonalización
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Relacionados con este
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En este vídeo vas a aprender :
• El procedimiento para diagonalizar una matriz cuadrada.
• Calcular el polinomio característico de una matriz
cuadrad.
• Calcular los valores propios de una matriz cuadrada.
• Calcular los vectores propios de una matriz cuadrada.

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Problemas resueltos: Diagonalización
Enunciado:
Dada la matriz 𝐴 =
2 1 0
4 2 0
3 2 3
a) Obtén los valores propios de la matriz A.
b) Calcula los subespacios propios asociados a los valores propios obtenidos.

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Problemas resueltos: Diagonalización
a)
En primer lugar vamos a obtener el polinomio característico de la matriz. Recordemos
que el polinomio característico está definido por:
𝑝 λ = 𝐴 − λ𝐼
En nuestro caso se tendría:
𝑝 λ = 𝐴 − λ𝐼 =
2 − λ 1 0
4 2 − λ 0
3 2 3 − λ
= −λ3
+ 7λ2
− 12λ
Por lo tanto tenemos que el polinomio característico de la matriz A viene dado por:
P(λ)=−λ3
+ 7λ2
− 12λ

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Problemas resueltos: Diagonalización
Por lo tanto los valores propios de la matriz A vienen dados por las soluciones de la
ecuación
𝑝 λ = 0
Donde p(λ) es el polinomio característico.
Resolvemos por tanto la ecuación, p(λ)=0, en nuestro caso y se obtiene:
−λ3 + 7λ2 − 12λ = 0
De donde se obtienen las soluciones: λ = 0, 3,4 con multiplicidad 1.
Por tanto los valores propios son λ = 0, 3,4

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b) A continuación vamos a calcular los subespacios propios asociados a cada valor
propio o autovalor.
Recordamos que el subespacio propio asociado al valor propio viene determinado
por
ker(𝐴 − λ𝐼)
• Para el valor propio λ=0 (multiplicidad 1), el subespacio propio, que
denotaremos por 𝑉0 viene dado por: ker(𝐴 − 0𝐼)
ker 𝐴 − 0𝐼 = { 𝑥, 𝑦, 𝑧 : 𝐴 − 0𝐼
𝑥
𝑦
𝑧
=
0
0
0
}

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Problemas resueltos: Diagonalización
2 1 0
4 2 0
3 2 3
𝑥
𝑦
𝑧
=
0
0
0
Por lo tanto al desarrollar esta expresión se obtiene:
2𝑥 + 𝑦 = 0
4𝑥 + 2𝑦 = 0
3𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 = 0
Observamos que la segunda ecuación es el doble de la primera, por lo que podemos
eliminarla, de ésta forma:
𝑉0 = { 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ ℛ3
: 2𝑥 + 𝑦 = 0,3𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 = 0}

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Problemas resueltos: Diagonalización
• Calculamos a continuación el subespacio propio asociado al valor propio λ=3
(multiplicidad 1)
𝑉3 = ker(𝐴 − 3𝐼)
−1 1 0
4 −1 0
3 2 0
𝑥
𝑦
𝑧
=
0
0
0
De donde se obtiene:
−𝑥 + 𝑦 = 0
4𝑥 − 𝑦 = 0
3𝑥 + 2𝑦 = 0
Por lo que x=0, y=0.

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Problemas resueltos: Diagonalización
Por lo tanto:
𝑉3 = { 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ ℛ3: 𝑥 = 0, 𝑦 = 0}
• Calculamos finalmente el subespacio propio asociado al valor propio λ = 4
(multiplicidad 1).
𝑉4 = ker(𝐴 − 4𝐼)
−2 1 0
4 −2 0
3 2 −1
𝑥
𝑦
𝑧
=
0
0
0
De donde se obtiene que:

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Problemas resueltos: Diagonalización
−2𝑥 + 𝑦 = 0
4𝑥 − 2𝑦 = 0
3𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = 0
Observamos que la segunda ecuación es proporcional a la primera, por lo que el
subespacio propio vendrá determinado por:
𝑉4 = { 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ ℛ3
: −2𝑥 + 𝑦 = 0,3𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = 0}