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Método simplex (ejercicios)
El documento presenta varios ejercicios resueltos sobre el método simplex para problemas de programación lineal, incluyendo la determinación del pivote, vectores entrantes y salientes, y la transformación a forma estándar y canónica. Se muestran ejemplos de maximización con distintas restricciones.
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- 1. UNIVERSIDAD NACIONAL DECHIMBORAZO FACULTAD DE CIENCIAS POLÍTICAS Y ADMINISTRATIVAS CARRERA DE CONTABILIDAD Y AUDITORÍA 4 5 2 2 MÉTODO SIMPLEX OBJETIVO.-Resolver mediante la regla de Gauss. REQUISITO.-Regla de Crammer (3x3) (2x2); Método de Gauss y Jordan. EJERCICIO N°1 2 3 4 3 (-3) 4/5 1 2/5 2/5 2 3 4 3 7 9 4 4 2/5 0 14/5 9/5 X1 X2 X3 -2/5 0 14/5 9/5 (-3) 4/5 1 2/5 2/5 4/5 1 2/5 2/5 7 9 4 4 -1/2 0 2/5 2/5 -1/5 0 2/5 2/5 EJERCICIO N° 2 5 2 2 2 3 25/7 0 10/7 -4/7 17/7 2 3 3 4 2 -1/7 0 15/7 1/7 8/7 4 3 2 2 5 13/7 0 8/7 -13/7 29/7 5 7 2 9 2 5/7 1 2/7 9/7 2/7 EJERCICIO N° 3 7 2 4 6 5 3 3/4 -5/2 -3/8 0 2 3/2 4 3 3 5 2 3 7/8 -3/4 -11/8 0 -1/2 7/4 5 6 7 8 4 2 5/8 3/4 7/8 1 1/2 1/4 8 9 7 6 3 3 17/4 9/2 7/4 0 0 3/2 4 3 5 2 7 4 11/4 3/2 13/4 0 6 7/2 EJERCICIO N° 4 3 2 9 7 2 -15/2 -4 0 -1/2 -11/2 -13/3 -7/3 0 -11/3 -11/3 5 3 8 3 3 7 4 6 5 5 7/6 2/3 1 5/6 5/6 4 3 5 6 7 -11/6 -1/3 0 11/6 17/6 INVESTIGACIÓN OPERATIVA I QUINTO SEMESTRE “A” YAMBAY JOSSELIN Página 1
- 2. UNIVERSIDAD NACIONAL DECHIMBORAZO FACULTAD DE CIENCIAS POLÍTICAS Y ADMINISTRATIVAS CARRERA DE CONTABILIDAD Y AUDITORÍA EJERCICIO N°5 3 4 2 5 3 2 -5 1 0 0 0 0 4 2 3 6 2 3 -8 -5/2 0 -3/2 -5/2 0 2 8 4 7 9 4 3 5 9 8 3 2 8 3 2 5 3 2 -14 2 0 -3 3 0 -33 -17/2 0 -29/2 -21/2 -7 4 3/2 1 5/2 3/2 1 Pivote.- El Pivote es el número que se interseca entre el vector entrante y el vector saliente. Vector Entrante.- Es la columna que contiene el número más pequeño. Vector Saliente.- Es aquel número positivo más pequeño que resulta de la división de los términos independientes para el vector entrante. Este modo solo se aplica a problemas de maximización porque los de minimización requieren otro tratamiento. Z = 20A + 30B 2A +2B ≤ 5 S.a. A + B ≤ 3 Vector Entrante: B Vector Saliente: H1 Pivote:2 EJERCICIO N°6 El Método de Gauss tengo que hacerlo hasta conseguir que todos los valores de Z sean ≥ 0 Z = 3X1 + 4X2 + 9X3 S.a. 2X1 + 2X2 ≤ 10 2X2 + 5 X3 ≤ 16 3X1 – 2X2 -7X3 ≤ 9 C.T. X1, X2, X3 ≥ 0 Z A B H1 H2 VALOR Z -20 -30 0 0 0 H1 2 2 1 0 5 H2 1 1 0 1 3
- 3. UNIVERSIDAD NACIONAL DECHIMBORAZO FACULTAD DE CIENCIAS POLÍTICAS Y ADMINISTRATIVAS CARRERA DE CONTABILIDAD Y AUDITORÍA INVESTIGACIÓN OPERATIVA I QUINTO SEMESTRE “A” YAMBAY JOSSELIN Página 2 Convertir en igualdades Z - 3X1 - 4X2 - 9X3 = 0 2X1+2X2 = 10 2X2 + 5X3 = 16 3X1– 2X2 - 7X3 = 9 Xj ≥ 0 j=1…3 Variables Holgura 1. Z - 3X1 - 4X2 - 9X3 = 0 2. 2X1+2X2 +H1 = 10 3. 2X2 + 5X3 +H2 = 16 4. 3X1 – 2X2 -7X3 + H3 = 9 Xj, Hj j1…3 ≥ 0 Vector Entrante:X3 Vector Saliente:H3 Pivote:-7 EJERCICIO N°7 MAX: Z= 3X1 + 2X2 S.a. 2X1 + X2 ≤ 18 2X1 + 3X2 ≤ 42 3X1 + X2 ≤ 24 X1, X2 ≥ 0
- 4. UNIVERSIDAD NACIONAL DECHIMBORAZO FACULTAD DE CIENCIAS POLÍTICAS Y ADMINISTRATIVAS CARRERA DE CONTABILIDAD Y AUDITORÍA INVESTIGACI ÓN OPERATIVA I QUINTO SEMESTRE “A” YAMBAY JOSSELIN Página 3
- 5. UNIVERSIDAD NACIONAL DECHIMBORAZO FACULTAD DE CIENCIAS POLÍTICAS Y ADMINISTRATIVAS CARRERA DE CONTABILIDAD Y AUDITORÍA INVESTIGACIÓN OPERATIVA I QUINTO SEMESTRE “A” YAMBAY JOSSELIN Página 5 FORMAESTÁNDAR: Z= 3X1 + 2X2 + 0H1 + 0H2 + 0H3 2X1 + X2 + H1 ≤ 18 2X1 + 3X2 + H2 ≤ 42 3X1 + X2 + H3 ≤ 24 X1, X2, H1, H2, H3 ≥ 0 FORMACANÓNICAO DE ECUACIONES Z - 3X1 - 2X2 - 0H1 - 0H2 - 0H3 = 0 2X1 + X2 + H1 = 18 2X1 + 3X2 + H2 = 42 3X1 + X2 + H3 = 24 X1, X2, H1, H2, H3 ≥ 0
- 6. UNIVERSIDAD NACIONAL DECHIMBORAZO FACULTAD DE CIENCIAS POLÍTICAS Y ADMINISTRATIVAS CARRERA DE CONTABILIDAD Y AUDITORÍA INVESTIGACIÓN OPERATIVA I QUINTO SEMESTRE “A” YAMBAY JOSSELIN Página 6 Z VA Z 1 -3 -2 0 0 0 0 0 2 1 1 0 0 18 0 2 3 0 1 0 42 0 3 1 0 0 1 24 Z 1 0 -1 0 0 1 24 0 0 1/ 1 0 - 2/3 2 0 0 2 1/3 0 1 - 2/3 26 0 1 1/ 0 0 1/ 8 Z 1 0 0 3 0 -1 30 0 0 1 3 0 -2 6 0 0 0 -7 1 4 12 0 1 0 -1 0 1 6 BLE LOR VE= X1 VS= H3 PIVOTE= 3 VE= X2 VS= H1 PIVOTE= 1/3 VE= H3 VS= H2 PIVOTE= 4 Z 1 0 0 1 1/4 1/ 0 33 0 0 1 - 1/2 1/ 0 12 0 0 0 -1 3/4 1/ 1 3 0 1 0 3/ - 1/4 0 3 SOLUCIÓN ÓPTIMA Z= 33 VALORES ÓPTIMOS X1=3 X2=12 H1=0 H2=0 H3=3 EJERCICIO N°8 MAX: Z= 3000X1 + 4000X2 S.a. X1 + X2 ≤ 5 X1 - 3X2 ≤ 0 10X1 + 15X2 ≤ 150 20X1 + 10X2 ≤ 160 30X1 + 10X2 ≤ 150 X1, X2 ≥ 0
- 7. UNIVERSIDAD NACIONAL DECHIMBORAZO FACULTAD DE CIENCIAS POLÍTICAS Y ADMINISTRATIVAS CARRERA DE CONTABILIDAD Y AUDITORÍA INVESTIGACIÓN OPERATIVA I QUINTO SEMESTRE “A” YAMBAY JOSSELIN Página 7 SICAS Z X1 X2 H1 H2 H3 H4 H5 Z 1 -3000 -4000 0 0 0 0 0 0 H1 0 1 1 1 0 0 0 0 5 H2 0 1 -3 0 1 0 0 0 0 H3 0 10 15 0 0 1 0 1 150 H4 0 20 10 0 1 0 1 0 160 FORMAESTÁNDAR Z= 3000X1 + 4000X2 + 0H1 + 0H2 + 0H3 +0H4 + 0H5 X1 + X2 + H1 ≤ 5 X1 - 3X2 + H2 ≤ 0 10X1 + 15X2 + H3 ≤ 150 20X1 + 10X2 + H4 ≤ 160 30X1 + 10X2 + H5 ≤ 150 X1, X2, H1, H2, H3, H4, H5 ≥ 0 FORMACANÓNICAO DE ECUACIONES Z-3000X1 - 4000X2 - 0H1 - 0H2 - 0H3 - 0H4 - 0H5 = 0 VARIABLES BÁ X1 + X2 + H1 = 5 X1 - 3X2 + H2 = 0 10X1 + 15X2 + H3 = 150 20X1 + 10X2 + H4 = 160 30X1 + 10X2 + H5 = 150 X1, X2, H1, H2, H3, H4, H5 ≥ 0 VARIABLES VALOR H5 0 30 10 0 0 0 0 1 150 VE= X2 VS= H1 PIVOTE= 1 VARIABLES BÁSICAS VARIABLES VALOR Z X1 X2 H1 H2 H3 H4 H5 Z X2 H2 H3 H4 H5 1 1000 0 4000 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 4 0 3 1 0 0 0 0 -5 0 -15 0 1 0 1 0 10 0 -10 1 0 1 0 0 20 0 -10 0 0 0 1 20000 5 15 75 110 100 SOLUCIÓN ÓPTIMA Z= 20000
- 8. UNIVERSIDAD NACIONAL DECHIMBORAZO FACULTAD DE CIENCIAS POLÍTICAS Y ADMINISTRATIVAS CARRERA DE CONTABILIDAD Y AUDITORÍA INVESTIGACIÓN OPERATIVA I QUINTO SEMESTRE “A” YAMBAY JOSSELIN Página 8 VALORES ÓPTIMOS X1=0 X2=5 H1=0 H2=15 H3=75 H4=110 H5=100 EJERCICIO N°9 MAX: Z= X1 + X2 S.a. X1 + 3X2 ≤ 26 4X1 + 3X2 ≤ 44 2X1 + 3X2 ≤ 28 X1, X2 ≥ 0 FORMAESTÁNDAR Z= X1 + X2 +H1 + H2 + H3 X1 + 3X2 + H1 ≤ 26 4X1 + 3X2 + H2 ≤ 44 2X1 + 3X2 +H3 ≤ 28 X1, X2, H1, H2, H3 ≥ 0 FORMACANÓNICAO DE ECUACIONES Z - X1 - X2 -H1 - H2 - H3 = 0 X1 + 3X2 + H1 = 26 4X1 + 3X2 + H2 = 44 2X1 + 3X2 +H3 = 28 X1, X2, H1, H2, H3 ≥ 0 VARIABLES BÁSICAS VARIABLES Z X1 X2 H1 H2 H3 VALOR Z H1 1 0 -1 -1 0 0 0 3 1 0 0 0 1 26 H2 0 4 3 0 1 0 44 H3 0 2 3 0 0 1 28 VE= X1 VS= H2 PIVOTE= 4
- 9. UNIVERSIDAD NACIONAL DECHIMBORAZO FACULTAD DE CIENCIAS POLÍTICAS Y ADMINISTRATIVAS CARRERA DE CONTABILIDAD Y AUDITORÍA INVESTIGACIÓN OPERATIVA I QUINTO SEMESTRE “A” YAMBAY JOSSELIN Página 9 VARIABLES BÁSICAS VARIABLES Z X1 X2 H1 H2 H3 VALOR Z H1 X1 1 0 0 0 0 1 - 1/4 0 1/4 0 1 -1/4 0 0 1/4 0 11 13/4 15 3/4 11 H3 0 0 11/2 0 -1/2 1 6 VE= X2 VS= H3 PIVOTE=3/2 VARIABLES BÁSICAS VARIABLES Z X1 X2 H1 H2 H3 VALOR Z H1 X1 X2 1 0 0 0 1/6 1/6 0 0 0 1 1/3 -11/6 0 1 0 0 1/2 -0,083333 0 0 1 0 -1/3 2/3 12 8 8 4 SOLUCIÓN ÓPTIMA Z= 12 VALORES ÓPTIMOS X1=8 X2=4 H1=08 H2=0 H3=0 EL MÉTODO SIMPLEX.- TÉCNICADE PENALIZACIÓN, TÉCNICADE VARIABLES ARTIFICIALES O TÉCNICADE M ≤ + H1 (Si) Max -M = + A1 (Ri) Min +M ≥ - H1+A1 EJERCICIO N°10 MAX: Z= 5X1 + 6X2 S.a. -2X1 + 3X2 = 3 X1 + 2X2 ≤ 5 6X1 + 7X2 ≤ 3 X1, X2 ≥ 0
- 10. UNIVERSIDAD NACIONAL DECHIMBORAZO FACULTAD DE CIENCIAS POLÍTICAS Y ADMINISTRATIVAS CARRERA DE CONTABILIDAD Y AUDITORÍA INVESTIGACIÓN OPERATIVA I QUINTO SEMESTRE “A” YAMBAY JOSSELIN Página 10 FORMAESTÁNDAR Z= 5X1 + 6X2 –MA1 +0H1 +0H2 -2X1 + 3X2 + A1 = 3 X1 + 2X2 + H1 ≤ 5 6X1 + 7X2 + H2≤ 3 X1, X2, A1, H1, H2 ≥ 0 FORMACANÓNICAO DE ECUACIONES Z - 5X1 - 6X2 + MA1 - 0H1- 0H2 = 0 2MX1 - 3MX2 - MA1 = -3M Z+ (2M-5) X1+ (-3M-6) X2 -0H1-0H2 = -3M S.a. -2X1 + 3X2 + A1 = 3 X1 + 2X2 + H1 = 5 6X1 + 7X2 + H2= 3 X1, X2, A1, H1, H2 ≥ 0 VARIABLES BÁSICAS VARIABLES Z X1 X2 H1 H2 A1 VALOR Z A1 H1 1 2M- 5 0 -2 0 1 (-)3M-6 0 0 0 0 0 1 1 0 0 (-)3M 3 3 2 5 H2 0 6 7 0 1 0 3 VE= X2 VS= H2 PIVOTE=7 VARIABLES BÁSICAS VARIABLES Z X1 X2 H1 H2 A1 VALOR Z A1 H1 X2 1 32/7M+ 1/7 0 0 3/7M+ 6/7 0 0 -44/7 0 0 - 3/7 1 0 - 5/7 0 1 - 2/7 0 0 6/7 1 0 1/7 0 (-)12/7M+18/7 15/7 41/7 3/7
- 11. UNIVERSIDAD NACIONAL DECHIMBORAZO FACULTAD DE CIENCIAS POLÍTICAS Y ADMINISTRATIVAS CARRERA DE CONTABILIDAD Y AUDITORÍA INVESTIGACIÓN OPERATIVA I QUINTO SEMESTRE “A” YAMBAY JOSSELIN Página 11 SOLUCIÓN ÓPTIMA Z= 18/7 VALORES ÓPTIMOS X1=0 X2=3/7 H1=41/7 H2=0 EJERCICIO N°11 MAX: Z= 3X1 + 9X2 S.a. 2X1 + 6X2 = 2 5X1 + 4X2 = 3 4X1 + X2 ≤ 5 X1, X2 ≥ 0 FORMAESTÁNDAR Z= 3X1 + 9X2 –MA1 –MA2 +0H1 2X1 + 6X2 +A1 = 2 (-M) 5X1 + 4X2 +A2 = 3 (-M) 4X1 + X2 +H1 ≤ 5 X1, X2, A1, A2, H1 ≥ 0 FORMACANÓNICAO DE ECUACIONES Z - 3X1 - 9X2 +MA1 +MA2 - 0H1 = 0 -2MX1 - 6MX2 -MA1 = -2M -5MX1 – 4MX2 -MA2 = -3M Z+ (-3-7M) X1+ (-9-10M) X2 -0H1 = -5M S.a. 2X1 + 6X2 +A1 = 2 5X1 + 4X2 +A2 = 3 4X1 + X2 +H1= 5 X1, X2, A1, A2, H1 ≥ 0
- 12. UNIVERSIDAD NACIONAL DECHIMBORAZO FACULTAD DE CIENCIAS POLÍTICAS Y ADMINISTRATIVAS CARRERA DE CONTABILIDAD Y AUDITORÍA INVESTIGACIÓN OPERATIVA I QUINTO SEMESTRE “A” YAMBAY JOSSELIN Página 12 VARIABLES VARIABLES BÁSICAS Z X1 X2 A1 A2 H1 VALOR Z 1 (-3-7M) (-9-10M) 0 0 0 (-)5M A1 0 2 6 1 0 0 2 A2 0 5 4 0 1 0 3 H1 0 4 1 0 0 1 5 VE= X2 VS= A1 PIVOTE=6 VARIABLES BÁSICAS VARIABLES Z X1 X2 A1 A2 H1 VALOR Z X2 1 0 (- )11/3M 0 3/2+5/3M 0 0 1 1/6 0 0 3-5/3M 1/3 1/3 A2 0 32/3 0 - 2/3 1 0 12/3 H1 0 32/3 0 - 1/6 0 1 42/3 VE= X1 VS= A2 PIVOTE=32/3 VARIABLES BÁSICAS VARIABLES Z X1 X2 A1 A2 H1 VALOR Z X2 X1 H1 1 0 0 3/2+2M M 0 0 0 1 5/6 0 0 0 1 0 - 1/5 1/4 0 0 0 0 1/2 -1 1 3 1/5 4/9 21/6 SOLUCIÓN ÓPTIMA Z= 3 VALORES ÓPTIMOS X1=4/9 X2=1/5 H1=21/6 H2=0
- 13. UNIVERSIDAD NACIONAL DECHIMBORAZO FACULTAD DE CIENCIAS POLÍTICAS Y ADMINISTRATIVAS CARRERA DE CONTABILIDAD Y AUDITORÍA INVESTIGACIÓN OPERATIVA I QUINTO SEMESTRE “A” YAMBAY JOSSELIN Página 13 EJERCICIOS DE MINIMIZACIÓN EJERCICIO N°12 MIN: Z= 3/2X1+2X2 S.a. 2X1 + 2X2 ≤ 8 2X1 + 6X2 ≥ 12 X1, X2 ≥ 0 FORMAESTÁNDAR Z= 3/2X1+ 2X2 + MA1 +0H1+ 0H2 2X1 + 2X2 + H1 ≤ 8 2X1 + 6X2 +A1-H2 ≥ 12 (M) X1, X2, A1, H1, H2 ≥ 0 FORMACANÓNICAO DE ECUACIONES Z – 3/2X1 - 2X2 - MA1 -0H1 - 0H2 = 0 2MX1 + 6MX2 +MA1 -MH2 = 12M Z+ (2M-3/2) X1 + (6M-2) X2 -0H1 –MH2 = 12M (-1) -Z-(3/2-2M) X1-(2-6M) X2 +0H1+MH2 = -12M S.a. 2X1 + 2X2 + H1 = 8 2X1 + 6X2 +A1-H2 = 12 X1, X2, A1, H1, H2 ≥ 0 VE= X2 VS= A1 PIVOTE=6 VARIABLES BÁSICAS VARIABLES Z X1 X2 A1 H1 H2 VALOR Z H1 -1 3/2-2M 0 2 2-6M 0 0 M 0 1 0 (-)12M 2 8 A1 0 2 6 1 0 -1 12
- 14. UNIVERSIDAD NACIONAL DECHIMBORAZO FACULTAD DE CIENCIAS POLÍTICAS Y ADMINISTRATIVAS CARRERA DE CONTABILIDAD Y AUDITORÍA INVESTIGACIÓN OPERATIVA I QUINTO SEMESTRE “A” YAMBAY JOSSELIN Página 14 VARIABLES BÁSICAS VARIABLES Z X1 X2 A1 H1 H2 VALOR Z H1 X2 -1 5/6 0 (-1/3+M) 0 1/3 0 11/3 0 - 1/3 1 1/3 0 1/3 1 1/6 0 - 1/6 -4 4 2 SOLUCIÓN ÓPTIMA Z= 4 VALORES ÓPTIMOS X1=0 X2=2 H1=4 EJERCICIO N°13 MIN: Z= 4X1 + 5X2 S.a. 2X1 + 2X2 ≤ 10 2X1 + 6X2 ≥ 18 X1 + X2 = 7 Xi ≥ 0 FORMAESTÁNDAR Z= 4X1 + 5X2 + MA1 + MA2 + 0H1 + 0H2 2X1 + 2X2 + H1 ≤ 10 2X1 + 6X2 +A1 – H2 ≥ 18 (M) X1 + X2 +A2 = 7 (M) X1, X2, A1, A2, H1, H2 ≥ 0 FORMACANÓNICAO DE ECUACIONES Z - 4X1 - 5X2 - MA1 - MA2 - 0H1 - 0H2 = 0 2MX1 + 6MX2 +MA1 – MH2 = 18M MX1 + MX2 +MA2 = 7M Z +(3M-4) X1+(7M-5) X2 -0H1-MH2 = 25M (-1) -Z- (4-3M) X1-(5-7M )X2 +0H1+MH2 = -25M
- 15. UNIVERSIDAD NACIONAL DECHIMBORAZO FACULTAD DE CIENCIAS POLÍTICAS Y ADMINISTRATIVAS CARRERA DE CONTABILIDAD Y AUDITORÍA INVESTIGACIÓN OPERATIVA I QUINTO SEMESTRE “A” YAMBAY JOSSELIN Página 15 BÁSICAS Z X1 X2 A1 A2 H1 H2 VALOR Z -1 4-3M 5- 7M 0 0 0 M (-)25M H1 0 2 2 0 0 1 0 10 H2 0 2 6 1 0 0 -1 18 VARIABLES BÁSICAS VARIABLES Z X1 X2 A1 A2 H1 H2 VALOR Z -1 7/3- 2/3M (- -4 H1 0 1 1/3 0 - 1/3 0 1 1/3 X2 A2 0 0 1/3 1 1/6 0 0 0 - 1/6 1 0 - 1/6 1/6 4 2/3 2 S.a. 2X1 + 2X2 + H1 = 10 2X1 + 6X2 +A1 – H2 = 18 X1 + X2 +A2 = 7 X1, X2, A1, A2, H1, H2 ≥ 0 VARIABLES VARIABLES A2 0 1 1 0 1 0 0 7 VE= X2 VS= H2 PIVOTE=6 0 5/6+7/6M) 0 0 5/6-1/6M VE= X1 VS= H1 PIVOTE=4/3 VARIABLES BÁSICAS VARIABLES Z X1 X2 A1 A2 H1 H2 VALOR Z X1 X2 A2 -1 0 0 (-1/4+M) 0 (- 7/4+1/2M) 1/4 0 1 0 - 1/4 0 3/4 1/4 0 0 1 1/4 0 - 1/4 - 1/4 0 0 0 0 1 - 1/2 0 (-22-2M) 3 2 2 El ejercicio no tiene solución
- 16. UNIVERSIDAD NACIONAL DECHIMBORAZO FACULTAD DE CIENCIAS POLÍTICAS Y ADMINISTRATIVAS CARRERA DE CONTABILIDAD Y AUDITORÍA INVESTIGACIÓN OPERATIVA I QUINTO SEMESTRE “A” YAMBAY JOSSELIN Página 16 EJERCICIO N°14 MAX: Z= 3X1 + 5X2 S.a. X1 ≤ 4 2X2 ≤ 12 3X1 + 2X2 = 18 Xi ≥ 0 FORMAESTÁNDAR Z= 3X1 + 5X2 + 0H1 + 0H2 –MA1 X1 + H1 ≤ 4 2X2 + H2 ≤ 12 3X1 + 2X2 + A1 = 18 (-M) X1, X2, A1, H1, H2 ≥ 0 FORMACANÓNICAO DE ECUACIONES Z - 3X1 - 5X2 -0H1 -0H2 +MA1= 0 -3MX1 -2MX2 - MA1= -18M Z+ (-3M-3) X1+ (-2M-5) X2-0H1-0H2 = -18M S.a. X1 + H1 = 4 2X2 + H2 = 12 3X1 + 2X2 + A1 = 18 X1, X2, A1, H1, H2 ≥ 0 VARIABLES BÁSICAS VARIABLES Z X1 X2 H1 H2 A1 VALOR Z 1 (-3M-3) (-2M-5) 0 0 0 (-18M) H1 0 1 0 1 0 0 4 H2 A1 0 0 0 2 0 1 2 0 0 0 1 12 3 18 VE= X1 VS= H1 PIVOTE=1
- 17. UNIVERSIDAD NACIONAL DECHIMBORAZO FACULTAD DE CIENCIAS POLÍTICAS Y ADMINISTRATIVAS CARRERA DE CONTABILIDAD Y AUDITORÍA INVESTIGACIÓN OPERATIVA I QUINTO SEMESTRE “A” YAMBAY JOSSELIN Página 17 VARIABLES BÁSICAS VARIABLES Z X1 X2 H1 H2 A1 VALOR Z X1 H2 1 0 0 1 0 0 (-2M-5) 3M+3 0 0 1 0 0 0 1 0 (-6M)+12 0 4 2 12 A1 0 0 2 -3 0 1 6 VE= X2 VS= A1 PIVOTE=2 VARIABLES VARIABLES BÁSICAS Z X1 X2 H1 H2 A1 VALOR Z 1 0 0 -4 1/2 0 M+5/2 27 X1 0 1 0 1 0 0 4 H2 0 0 0 3 1 -1 6 X2 0 0 1 -1 1/2 0 1/2 3 VE= H1 VS= H2 PIVOTE=3 VARIABLES BÁSICAS VARIABLES Z X1 X2 H1 H2 A1 VALOR Z X1 H1 X2 1 0 0 0 1 1/2 M+1 0 1 0 0 - 1/3 1/3 0 0 0 1 1/3 - 1/3 0 0 1 0 1/2 0 36 2 2 6 SOLUCIÓN ÓPTIMA Z= 36 VALORES ÓPTIMOS X1=2 X2=6 H1=2 H2=0
- 18. UNIVERSIDAD NACIONAL DECHIMBORAZO FACULTAD DE CIENCIAS POLÍTICAS Y ADMINISTRATIVAS CARRERA DE CONTABILIDAD Y AUDITORÍA INVESTIGACIÓN OPERATIVA I QUINTO SEMESTRE “A” YAMBAY JOSSELIN Página 18 EJERCICIO N°15 MIN: Z= 3X1 + 5X2 S.a. X1 ≤ 4 2X2 = 12 3X1 + 2X2 ≥ 18 Xi ≥ 0 FORMAESTÁNDAR Z= 3X1 + 5X2 + 0H1 + 0H2 +MA1 +MA2 (-1) -Z= -3X1 - 5X2 - 0H1 – 0H2 -MA1 - MA2 S.a. X1 + H1 ≤ 4 2X2 + A1 ≤ 12(-M) 3X1 + 2X2 + A2 – H2 = 18 (-M) X1, X2, A1, A2, H1, H2 ≥ 0 FORMACANÓNICAO DE ECUACIONES -Z + 3X1 + 5X2 +0H1 +0H2 +MA1 + MA2 = 0 -2MX2 -MA1 = -12M - 3MX1 -2MX2 +MH2 - MA2 = -18M Z+ (-3M+3) X1+ (-4M+5) X2+0H1 +MH2 = -30M S.a. X1 + H1 = 4 2X2 + A1 = 12 3X1 + 2X2 + A2 -H2 = 18 X1, X2, A1, A2, H1, H2 ≥ 0
- 19. UNIVERSIDAD NACIONAL DECHIMBORAZO FACULTAD DE CIENCIAS POLÍTICAS Y ADMINISTRATIVAS CARRERA DE CONTABILIDAD Y AUDITORÍA INVESTIGACIÓN OPERATIVA I QUINTO SEMESTRE “A” YAMBAY JOSSELIN Página 19 VARIABLES VARIABLES BÁSICAS Z X1 X2 H1 H2 A1 A2 VALOR Z -1 (-3M-3) (-4M+5) 0 M 0 0 (-30M) H1 0 1 0 1 0 0 0 4 A1 0 0 2 0 0 1 0 12 A2 0 3 2 0 -1 0 1 18 VE= X2 VS= A1 PIVOTE=2 VARIABLES BÁSICAS VARIABLES Z X1 X2 H1 H2 A1 A2 VALOR Z H1 X2 -1 0 0 (-3M-3) 0 0 M 2M- 5/2 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1/2 0 (-6M-30) 1 4 0 6 A2 0 3 2 0 -1 -1 1 6 VE= X1 VS= A2 PIVOTE=3 VARIABLES BÁSICAS VARIABLES Z X1 X2 H1 H2 A1 A2 VALOR Z H1 X2 X1 -1 0 0 0 1 M- 3/2 M-1 0 0 0 1 1/3 1/3 - 1/3 0 0 1 0 0 1/2 0 0 1 0 0 - 1/3 - 1/3 1/3 36 2 6 2 SOLUCIÓN ÓPTIMA Z= 36 VALORES ÓPTIMOS X1=2 X2=6 H1=2 H2=0