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UNIVERSIDAD NACIONAL DE CHIMBORAZO
FACULTAD DE CIENCIAS POLÍTICAS Y ADMINISTRATIVAS
CARRERA DE CONTABILIDAD Y AUDITORÍA
YAMBAY JOSSELIN
SEXTO SEMESTRE “A”
EJERCICIOS RESUELTOS EN CLASE
MÉTODO DE LA ESQUINA DEL NOROESTE
EJEMPLO Nº.- 1
La panadería Grani’s con sus 3 sucursales en la dolorosa, la circunvalación, y
plaza de toros, oferta 30, 40 y 10 unidades de pan que serán distribuidos en la
condamine, el TÍA, el AKÍ y el SUPERMAXI cuya demanda son de 20, 10, 30 y
20 unidades de pan respectivamente, los precios se reflejan en la siguiente
tabla:
ORIGEN
DESTINOS
OFERTA
CONDAMINE TÍA AKÍ SUPERMAXI
DOLOROSA 20 10 30
CIRCUN. 30 10 40
PLAZA DE T. 10 10
DEMANDA 20 10 30 20 80
Z= 240+ 80+ 270+ 120+ 100
Z= 810
EJEMPLO Nº.- 2
ORIGEN
DESTINOS
OFERTA
A B C D E
1 100 100 200
2 100 100 200
3 100 100
4 100 100 100 300
DEMANDA 100 200 300 100 100 800
Z= 200+ 600+ 100+ 300+ 600+ 400+ 300+ 200
Z= 2700
84812
5 7 9 12
10 2 7 10
2
3
5
9
6
1
4
5
2
3
6
4
12
2
8
3
5
10
5
2
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CARRERA DE CONTABILIDAD Y AUDITORÍA
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SEXTO SEMESTRE “A”
MÉTODO DE APROXIMACIÓN DE VOGEL
Da una solución factible y para eso se debe aplicar el algoritmo.
ALGORITMO DE RESOLUCIÓN
1. Determinar para cada fila y columna una medida de penalización
restando los dos costos menores en filas y columnas.
2. Seleccione la fila o la columna con la mayor penalización.
3. De la fila o columna de mayor penalización escoja la celda con el menor
costo y asigne la cantidad posible de unidades.
4. Si queda sin factorar una fila o columna deténgase.
5. Si queda sin factorar una fila o columna con oferta o demanda positiva
aplique el método de costo mínimo y termine.
6. Si todas las filas y columnas que no se tacharon tienen oferta o
demanda 0, determine las variables básicas cero utilizando el método de
costo mínimo y termine.
7. Si no se presenta ninguno de los dos casos anteriores vuelva al paso 1
hasta que las ofertas o demandas se hayan agotado.
EJEMPLO Nº.- 1
ORIGEN
DESTINOS
OFERTA
P.SUCRE P.MALDONADO P.INFANTIL P.BELLAVISTA
ÁNGEL 300
MATEO 100
CARLOS 200
DEMANDA 50 100 300 150 600
ORIGEN
DESTINOS
OFERTA
P.SUCRE P.MALDONADO P.INFANTIL P.BELLAVISTA
ÁNGEL 300 300
MATEO 100 100
CARLOS 50 150 200
DEMANDA 50 100 300 150 600
5413
33
33
33
3
12
6 5 10 11
10 9 11 4
513
33
33
33
3
6 5 10 11
10 9 11 4
12 4
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SEXTO SEMESTRE “A”
Z= 1200+ 500+ 500+ 600 M+ n- 1
Z= 2800 3+ 4- 1< 6
6<6
EJEMPLO Nº.- 2
ORIGEN
DESTINOS
OFERTA
P.SUCRE P.MALDONADO P.INFANTIL P.BELLAVISTA
SOFÍA 360
JÉSSICA 480
ANITA 520
DEMANDA 170 320 410 460 1360
ORIGEN
DESTINOS
OFERTA
P.SUCRE P.MALDONADO P.INFANTIL P.BELLAVISTA
SOFÍA 170 190 360
JÉSSICA 320 160 480
ANITA 250 270 520
DEMANDA 170 320 410 460 1360
Z= 1360+ 1140+ 3840+ 2720+ 3250+ 1890
Z= 14200
EJEMPLO Nº.- 3
ORIGEN
DESTINOS
OFERTA
AHORRO CORRIENTE ESPECIAL
CONDAMINE 10 10
CACHA 5 15 20
LA LIBERTAD 15 15
FICTISIA 20 20
DEMANDA 15 30 20 65
613
33
33
33
3
12 17 8
19 16 13 7
8
18
15
613
33
33
33
3
12 17 8
19 16 13 7
8
18
15
2
3
1
0
3
5
4
1
2
1
0 0
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CARRERA DE CONTABILIDAD Y AUDITORÍA
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SEXTO SEMESTRE “A”
Z= 20+ 15+ 75+ 60
Z= 170
ORIGEN
DESTINOS
OFERTA
AHORRO CORRIENTE ESPECIAL
CONDAMINE 10 10
CACHA 20 20
LA LIBERTAD 15 15
FICTISIA 20 20
DEMANDA 15 30 20 65
Z= 30+ 100+ 15
Z= 145
MÉTODO DE ASIGNACIÓN
EJEMPLO Nº.- 1
ORIGEN
DESTINOS
GUANO PENIPE COLTA PALLATAN.
SAN
ALFONSO
DOLOROSA
BELLAVISTA
LA MERCED
REDUCCIÓN DE
FILAS
0 2 3 1
6 1 0 6
6 2 0 8
5 4 0 8
2
3
1
0
3
5
1
2
1
0 0
4
3
8
7
9
5
3
3
8
6
2
1
4
4
8
9
2
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CARRERA DE CONTABILIDAD Y AUDITORÍA
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SEXTO SEMESTRE “A”
Z= 4+ 3+ 1+ 9
Z= 17
EJEMPLO Nº.- 2
GUANO PENIPE COLTA PALLATANGA
SAN
ALFONSO
8 12 13 9
DOLOROSA 5 3 14 7
BELLAVISTA 6 4 11 8
LA MERCED 10 15 9 5
REDUCCIÓN DE
FILAS
0 4 5 1
2 0 11 4
2 0 7 4
5 10 4 0
0 6 1 1
0 0 5 2
0 0 1 2
5 12 0 0
Z= 9+ 3+ 6+ 9
Z= 27
REDUCCIÓN DE
COLUMNAS
0 1 3 0
6 0 0 5
6 1 0 7
5 3 0 7
0 6 8 0
1 0 0 0
1 1 0 2
5 3 0 2
REDUCCIÓN DE
COLUMNAS
0 4 1 1
2 0 7 4
2 0 3 4
5 10 0 0
0 6 0 0
0 0 4 1
0 0 0 1
6 13 0 0
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CARRERA DE CONTABILIDAD Y AUDITORÍA
YAMBAY JOSSELIN
SEXTO SEMESTRE “A”
EJEMPLO Nº.- 3
A B C D
1 15 9 15 14
2 12 14 17 9
3 13 16 15 10
4 14 11 9 7
3 8 4 3
5 3 0 8
4 1 2 7
3 6 8 10
REDUCCIÓN DE
FILAS
0 6 2 1
5 3 0 8
3 0 1 6
0 3 5 7
EJEMPLO Nº.- 4
A B C D
1 9 6 7 12
2 10 9 18 8
3 12 12 13 6
4 17 16 11 15
REDUCCIÓN DE
COLUMNAS
0 6 2 0
5 3 0 7
3 0 1 5
0 3 5 6
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CARRERA DE CONTABILIDAD Y AUDITORÍA
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SEXTO SEMESTRE “A”
9 12 11 6
8 9 0 10
6 6 5 12
1 2 7 3
REDUCCIÓN DE
FILAS
3 6 5 0
8 9 0 10
1 1 0 7
0 1 6 2
Z= 12+ 18+ 12+ 17
Z= 59
MÉTODO DE PASOS SECUENCIALES
Este método comienza en una solución inicial factible (como el que produce el
MEN, MAV, MCM) en cada paso se intenta enviar artículos por una ruta que no
se haya usado en la solución factible actual, en tanto se elimina una ruta que
no se haya usado actualmente. En cada cambio de ruta se debe cumplir que:
1. La solución siga siendo factible
2. Que mejore el valor de la función objetivo
El procedimiento termina cuando no hay cambio de rutas que mejoren el valor
de la función.
Problema degenerado.- Cuando una solución factible usa menos de m+n-1
rutas.
Callejón sin salida.- No se encuentran trayectorias apropiadas.
REDUCCIÓN DE
COLUMNAS
3 5 5 0
8 8 0 10
1 0 0 7
0 0 6 2
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CARRERA DE CONTABILIDAD Y AUDITORÍA
YAMBAY JOSSELIN
SEXTO SEMESTRE “A”
ALGORITMOS:
1. Usar la solución actual (MEN, MAV o MCM), para crear una trayectoria
única del paso secuencial, usar estas trayectorias para calcular el costo
marginal de introducir a la solución cada ruta no usada.
2. Si todos los costos marginales no son iguales o mayores a cero,
terminar, se tendrá la solución óptima. Sino elegir la celda que tenga el
costo marginal más negativo (empates, se resuelve arbitrariamente).
3. Usando la trayectoria del paso secuencial determine el número máximo
de artículos que se pueden asignar a la ruta elegida en el punto 2 y
ajusta la selección adecuadamente.
4. Regrese al paso 1.
EJEMPLO Nº.- 1
A B C D OFERTA
1 400
2 600
3 700
DEMANDA 300 800 200 400 1700
A B C D OFERTA
1 300 100 400
2 600 600
3 100 200 400 700
DEMANDA 300 800 200 400 1700
Z= 3600+ 1300+ 2400+ 900+ 2400+ 1600
Z= 12200 MEN
6
12 49
4
13
10
6
12 4
10 11
6
12 49
4
13
10
6
12 4
10 11
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SEXTO SEMESTRE “A”
A B C D OFERTA
1 200 200 400
2 600 600
3 100 200 400 700
DEMANDA 300 800 200 400 1700
Z= 2400+ 800+ 2400+ 1000+ 1800+ 1600
Z= 10.000 MCM
A B C D OFERTA
1 200
200
400
2 600 600
3 300 200 200 700
DEMANDA 300 800 200 400 1700
Z= 800+ 1200+ 2400+ 3000+ 1800+ 800
Z= 10.000 MAV
PASOS SECUENCIALES
A B C D OFERTA
1 300 100 400
2 600 600
3 100 200 400 700
DEMANDA 300 800 200 400 1700
6
12 49
4
13
10
6
12 4
10 11
6
12 49
4
13
10
6
12 4
10 11
6
12 49
4
13
10
6
12 4
10 11
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SEXTO SEMESTRE “A”
A B C D OFERTA
1 200 0 200 400
2 600 600
3 100 200 400 700
DEMANDA 300 800 200 400 1700
Z= 2400+ 800+ 2400+ 1000+ 1800+ 1600
Z= 10.000
EJEMPLO Nº.-2
A B C D OFERTA
1
300
400
2 300 400 100 600
3 600 100 700
DEMANDA 300 800 200 400 1700
Z= 2100+ 2700+ 4400+ 6000+ 4200
Z= 14.000 PS
MÉTODO DE DISTRIBUCIÓN MODIFICADA
El método MODI ofrece la oportunidad de calcular costos marginales basados
en valores de las variables de decisión del modelo, pero añadido a esto
también nos indica la celda no básica en la cual se deben realizar los ajustes
para obtener una mejor solución.
EJEMPLO Nº.-1
6
12 49
4
13
10
6
12 4
10 11
7
9 518
11
15
7
9
12 14
6 13
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CARRERA DE CONTABILIDAD Y AUDITORÍA
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SEXTO SEMESTRE “A”
A B C OFERTA
1 250 150 400
2 200 100 300
3 700 700
DEMANDA 250 350 800 1400
A B C OFERTA
1 100 20 400
2 130 170 300
3 130 700
DEMANDA 250 350 800 1400
Z= 4720
A B C OFERTA
1 120 400
2 100 30 170 300
3 130 700
DEMANDA 250 350 800 1400
Z= 4220
EJEMPLO Nº.-2
1 2 3 4 OFERTA
A 400 100 500
B 700 700
C 100 200 500 800
DEMANDA 400 900 200 500 1700
11
7
9
14
6
918
1512
11
7
9
14
6
918
1512
11
7
9
14
6
918
1512
6
12 49
4
13
10
6
12 4
10 11
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CARRERA DE CONTABILIDAD Y AUDITORÍA
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SEXTO SEMESTRE “A”
Z= 14.200 MEN
A B C D OFERTA
1 300 200 500
2 700 700
3 100 200 500 800
DEMANDA 400 900 200 500 1700
COSTOS MARGINALES
𝐔𝟏 + 𝐕𝟏 = 𝟏𝟐
𝐔𝟏 + 𝐕𝟐 = 𝟏𝟑
𝐔𝟐 + 𝐕𝟐 = 𝟒
𝐔𝟑 + 𝐕𝟐 = 𝟗
𝐔𝟑 + 𝐕𝟑 = 𝟏𝟐
𝐔𝟑 + 𝐕𝟒 = 𝟒
𝐔𝟏 = 0 𝐕𝟏 = 12
𝐔𝟐 = −9 𝐕𝟐 = 13
𝐔𝟑 = −4 𝐕𝟑 = 16
𝐕𝟒 = 8
CM= Cij- (Ui+ Vj)
𝐞𝐀𝟑 = 4 − (U1 + V3)
𝐞𝐀𝟑 = 4 − (0 + 16)
𝐞𝐀𝟑 = −12
𝐞𝐀𝟒 = 6 − (U1 + V4)
𝐞𝐀𝟒 = 6 − (0 + 8)
𝐞𝐀𝟒 = −2
𝐞𝐁𝟏 = 6 − (U2 + V1)
𝐞𝐁𝟏 = 6 − (−9 + 12)
𝐞𝐁𝟏 = 3
7
9 518
11
15
7
9
12 14
6 13
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SEXTO SEMESTRE “A”
𝐞𝐁𝟑 = 10 − (U2 + V3)
𝐞𝐁𝟑 = 10 − (−9 + 16)
𝐞𝐁𝟑 = 3
𝐞𝐁𝟒 = 11 − (U2 + V4)
𝐞𝐁𝟒 = 11 − (−9 + 8)
𝐞𝐁𝟒 = 12
𝐞𝐂𝟏 = 10 − (U3 + V1)
𝐞𝐂𝟏 = 10 − (−4 + 12)
𝐞𝐂𝟏 = 2
COSTOS MARGINALES
𝐔𝟏 + 𝐕𝟏 = 𝟏𝟐
𝐔𝟏 + 𝐕𝟑 = 𝟒
𝐔𝟐 + 𝐕𝟐 = 𝟒
𝐔𝟑 + 𝐕𝟐 = 𝟗
𝐔𝟑 + 𝐕𝟑 = 𝟏𝟐
𝐔𝟑 + 𝐕𝟒 = 𝟒
𝐔𝟏 = 0 𝐕𝟏 = 12
𝐔𝟐 = 3 𝐕𝟐 = 1
𝐔𝟑 = 8 𝐕𝟑 = 4
𝐕𝟒 = −4
CM= Cij- (Ui+ Vj)
𝐞𝐀𝟐 = 13 − (U1 + V2)
𝐞𝐀𝟐 = 13 − (0 + 1)
𝐞𝐀𝟐 = 12
𝐞𝐀𝟒 = 6 − (U1 + V4)
𝐞𝐀𝟒 = 6 − (0 + (−4)
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SEXTO SEMESTRE “A”
𝐞𝐀𝟒 = 10
𝐞𝐁𝟏 = 6 − (U2 + V1)
𝐞𝐁𝟏 = 6 − (3 + 12)
𝐞𝐁𝟏 = −9
𝐞𝐁𝟑 = 10 − (U2 + V3)
𝐞𝐁𝟑 = 10 − (3 + 4)
𝐞𝐁𝟑 = 3
𝐞𝐁𝟒 = 11 − (U2 + V4)
𝐞𝐁𝟒 = 11 − (3 − 4)
𝐞𝐁𝟒 = 12
𝐞𝐂𝟏 = 10 − (U3 + V1)
𝐞𝐂𝟏 = 10 − (8 + 12)
𝐞𝐂𝟏 = −10
COSTOS MARGINALES
𝐔𝟏 + 𝐕𝟏 = 𝟏𝟐
𝐔𝟏 + 𝐕𝟑 = 𝟒
𝐔𝟐 + 𝐕𝟐 = −𝟒
𝐔𝟑 + 𝐕𝟏 = 𝟏𝟎
𝐔𝟑 + 𝐕𝟐 = 𝟗
𝐔𝟑 + 𝐕𝟒 = 𝟒
𝐔𝟏 = 0 𝐕𝟏 = 12
𝐔𝟐 = −7 𝐕𝟐 = 11
𝐔𝟑 = −2 𝐕𝟑 = 4
𝐕𝟒 = 6
CM= Cij- (Ui+ Vj)
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SEXTO SEMESTRE “A”
𝐞𝐀𝟐 = 13 − (U1 + V2)
𝐞𝐀𝟐 = 13 − (0 + 11)
𝐞𝐀𝟐 = 2
𝐞𝐁𝟏 = 6 − (U2 + V1)
𝐞𝐁𝟏 = 6 − (0 + 6)
𝐞𝐁𝟏 = 1
𝐞𝐁𝟑 = 10 − (U2 + V3)
𝐞𝐁𝟑 = 10 − (−7 + 4)
𝐞𝐁𝟑 = 13
𝐞𝐁𝟒 = 11 − (U2 + V4)
𝐞𝐁𝟒 = 11 − (−7 + 6)
𝐞𝐁𝟒 = 12
𝐞𝐂𝟑 = 12 − (U3 + V3)
𝐞𝐂𝟑 = 10 − (−2 + 4)
𝐞𝐂𝟑 = 10
Z= 12.000
MÉTODO DEL CRUCE DEL ARROYO
El método del cruce del arroyo también llamado algoritmo de Stepping Stone o
método del paso a paso es un método que nos ayuda a calcular cuál será la
variación del costo mínimo, además a buscar la solución óptima de un
problema de transporte solucionado por algunos de los métodos (VOGEL,
COSTO MÍNIMO, ESQUINA DEL NOROESTE, entre otros).
Este método parte de una solución inicial y mediante interacciones (procesos
aritméticos) busca mejorarla hasta llegar a la solución óptima. Si la solución de
partida es la más desfavorable en términos económicos, el procedimiento se
hará más dispendioso pues implica más interacciones hasta aproximarse a la
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SEXTO SEMESTRE “A”
solución óptima. Por tal motivo entre más acertada sea la solución de la que
partiremos, resultará más confiable la solución óptima que resultará de
nuestros procedimientos.
EJEMPLO Nº.-1
A B C D OFERTA
1 15
2 25
3 5
DEMANDA 5 15 15 10 45
A B C D OFERTA
1 5 10 15
2 5 15 5 25
3 5 5
DEMANDA 5 15 15 10 45
Z= 410
A B C D OFERTA
1 0 15 15
2 0 15 10 25
3 5 0 5
DEMANDA 5 15 15 10 45
Z= 335
11
16 1814
7
0
0
12
10 20
9 0
11
16 1814
7
0
0
12
10 20
9 0
11
16 1814
7
0
0
12
10 20
9 0
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SEXTO SEMESTRE “A”
A B C D OFERTA
1 5
10
15
2 10 15 0 25
3 5 0 5
DEMANDA 5 15 15 10 45
Z= 315
PROGRAMACIÓN LINEAL
a) x3
b) x2
c) x2 − 𝑦
d) 𝑋 − 𝑦
Circunferencia con coeficientes
(𝑋 − ℎ)2
+ (𝑌 − 𝑘)2
= 𝑟2
EJEMPLO Nº.-1
X2
+ 7X + y2
+ 9𝑦 − 3 = 0
(X2 + 7X +
49
4
) + (y2 − 9y +
81
4
) = 3 +
49
4
+
81
4
(X +
7
2
) + (y −
9
2
) =
71
2
𝐶 (−
7
2
+
9
2
)
2𝑋 + 3y = 5 2𝑋 + 3y − 5 = 0
11
16 1814
7
0
0
12
10 20
9 0
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SEXTO SEMESTRE “A”
d = |
ax + by + c
√a2 + b2
|
d = |
2(−3)+ 3(4) − 5
√4 + 9
|
d =
1
√13
Distancia entre dos puntos:
d = √( 𝑋1 − 𝑋2)2 + ( 𝑦1− 𝑦2)2
d = √(−3 − 5)2 + (4 − 7)2
d = √64 + 9
d = 8.5
Distancia de un punto a la recta
PENDIENTE
y1 − y2
𝑋1 − 𝑋2
m =
7 − 4
5 + 3
m =
3
8
PUNTO
y − y1 = m(x − x1)
y − 4 =
3
8
(x + 3)
8y − 32 = 3x + 9
8y − 32 = 3x + 9
3x − 8y+ 41 = 0 ECUACIÓN
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FACULTAD DE CIENCIAS POLÍTICAS Y ADMINISTRATIVAS
CARRERA DE CONTABILIDAD Y AUDITORÍA
YAMBAY JOSSELIN
SEXTO SEMESTRE “A”
PROGRAMACIÓN CUADRÁTICA
La programación cuadrática es el nombre que recibe un procedimiento que
minimiza una función cuadrática de n variables lineales de igualdad o de
desigualdad.
EJEMPLO Nº.-1
MINIMIZAR:
Z= (x1− 2) 𝟐
+ (x2 + 2) 𝟐
S.a. X1 + 2X2 ≤ 3
8X1 + 5X2 ≥ 10
𝑋𝑖 ≥ 0
X1 + 2X2 = 3
2X2 = −X1 + 3
X2 =
−X1 − 13
2
X2 = −
1
2
𝑋 +
3
2
PENDIENTE
m = −
1
2
y = mx + b
m1.m2 = −1
−
1
2
. m2 = −1
m2 = 2
y − y1 = m(x − x1)
X2 − 2 = 2(x − 2)
X2 − 2 = 2X − 4
2X − X2 = 2 𝐏𝐄𝐑𝐏𝐄𝐍𝐃𝐈𝐂𝐔𝐋𝐀𝐑
2𝑋1 − 𝑋2 = 2
X1 + 2X2 = 3
4X1 − 2X2 = 4
X1 + 2X2 = 3
5X1 = 7
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FACULTAD DE CIENCIAS POLÍTICAS Y ADMINISTRATIVAS
CARRERA DE CONTABILIDAD Y AUDITORÍA
YAMBAY JOSSELIN
SEXTO SEMESTRE “A”
𝐗𝟏 =
𝟕
𝟓
X1 + 2X2 = 3
7
5
+ 2X2 = 3
2X2 = 3 −
7
5
X2 =
3 −
7
5
2
X2 =
4
5
X1;X2
P(1,4; 0,8)
𝐙 = (X1 − 2)2
+ (X2 − 2)2
𝐙 = (
7
5
− 2)
2
+ (
4
5
− 2)
2
𝐙 =
9
5
𝐙 = 1,8
EJEMPLO Nº.-2
MINIMIZAR: La función:
Z= −6X1 − 13X2 − (X1X2) − 4X12
− 4X22
S.a. X3 = 0
X4 = 0
X2 = 20
X1 + X2 = 23
X1 + 20 = 23
𝑋1 = 23 − 20
𝑋1 = 3
Z= −6X1 − 13X2 − (X1X2) − 4X12
− 4X22
Z= −6(3)− 13(20)− (3.20) − 4(3)2
− 4(20)2
Z= −18 − 260 − 60 − 36 − 1600
Z= −1974
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FACULTAD DE CIENCIAS POLÍTICAS Y ADMINISTRATIVAS
CARRERA DE CONTABILIDAD Y AUDITORÍA
YAMBAY JOSSELIN
SEXTO SEMESTRE “A”
ALGORITMO DE RAMIFICACIÓN
El método de Bronch and Bound o de ramificación o acotamiento es un
algoritmo diseñado para la resolución de modelos de programación entera sin
embargo es muy frecuente que la naturaleza del problema nos indique que ver
éste como si fuese un modelo de programación lineal luego generar cotas en
caso que al menos una variable de decisión adopte un valor fraccionario.
El algoritmo genera en forma recursiva cotas (o restricciones adicionales) que
favorecen la obtención de variables enteros para las variables de decisión. En
este contexto resolver el modelo lineal asociado o un modelo de programación
entera se conoce frecuentemente como resolver la relajación continua del
modelo entero.
Ejercicio N°.-1
Maximizar z= 3x1+4x2
S.a. 2x1+x2≤6
2x1+3x2≤9
Xi ≥ 0, enteros.
2x1+x2=6 2x1+3x2=9
x1 x2
0 6
3 0
x1 x2
0 3
4.5 0
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CARRERA DE CONTABILIDAD Y AUDITORÍA
YAMBAY JOSSELIN
SEXTO SEMESTRE “A”
2x1+x2=6 2x1+x2=6
-2x1-3x2=-9 2x1+ (1.5)=6
-2x2=-3 2x1 = 6-1.5
x2=1.5 x1=2.25
z= 3x1+4x2
z= 3(2.25)+4(1.5)
z=12.75
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CARRERA DE CONTABILIDAD Y AUDITORÍA
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SEXTO SEMESTRE “A”
Z= 12.75
x1=2.25
x2=1.5
Z= 12.67
x1=2
x2=1.67
Z= 9
x1=3
x2=0
Z= 10
x1=2
x2=1
Z= 12.50
x1=1.5
x2=2
Z= 12.32
x1=1
x2=2.33
Z= 12.67
x1=2
x2=1.67
Z= 10
x1=2
x2=1
Z= 12.50
x1=1.5
x2=2
MODELOS DE REDES
EJEMPLO Nº.-1
Almacenes Buen Hogar distribuye sus artículos en 5 ciudades por lo regular
disponen de 10 artículos INSITU, estos artículos deben ser enviados a dos
locales de construcción designados con el número 3 y 4. En el local 3 se
necesita 3 artículos y 7 en el otro local. Elabore:
x1 ≤2
x1 ≥3
X2 ≥2
X2 ≤1
x1 ≤1
X2 ≤1
x1 ≥2
X2 ≥2
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FACULTAD DE CIENCIAS POLÍTICAS Y ADMINISTRATIVAS
CARRERA DE CONTABILIDAD Y AUDITORÍA
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SEXTO SEMESTRE “A”
1. Diagrama de red
2. Diagrama de capacidades y costos agregados
3. La formulación del PL de este problema
4. La matriz de incidencia (NODO- ARCO)
5. Elabore la tabla de transporte
MIN:
Z= C12.X12+ C23X23+ C24X24+ C25X25+ C34X34+ C43X43+ C53X53+ C54X54
S.a.
+X12 =10
-X12 +X23 +X24 +X25 =0
-X23 +X34 -X43 -X53 =-3
-X24 -X34 +X43 -X54 =-7
-X25 +X53 +X54 =0
0<=Xij<=Uij
ARCO
VALOR
1,2 2,3 2,4 2,5 3,4 4,3 5,3 5,4
1 1 0 0 0 0 0 0 0 10
2 -1 1 1 1 0 0 0 0 0
3 0 -1 0 0 1 -1 -1 0 -3
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SEXTO SEMESTRE “A”
4 0 0 -1 0 1 1 0 -1 -7
5 0 0 0 -1 0 0 1 1 0
DESITNO
ORIGEN 3 4 OFERTA
1 10
DEMANDA 3 7 10
PROBLEMA DE LA RUTA MÁS CORTA
Se refiere a una red en la que cada arco (i, j) tome asociado un número C y que
se interpreta como la distancia que hay entre los NODOS. El objetivo consiste
en encontrar las rutas más cortas entre un NODO específico y todos los demás
NODOS de la red.
PROBLEMA DEL ÁRBOL EXPANDIDO MÍNIMO
La tarea consiste en construir un árbol que conecte todos los NODOS de la red
con un costo mínimo, esto se conoce como árbol expandido mínimo, como
sabemos in árbol es el conjunto de (n- 1) arcos- pasos, en una red con n nodos
que conecta todo par de nodos.
ALGORITMO GLOTÓN
Este algoritmo resuelve el problema en un extremo simple existen dos formas
que son:
Método Gráfico
1. Comience en cualquier NODO, escoja el arco más barato que parta de
ese NODO, este es su primer enlace y se conoce como segmento de
conexión entre dos NODOS, los NODOS restantes se llaman NODOS
desconectados.
2. Considere todos los arcos que parten del segmento de conexión a los
NODOS desconectados, seleccione el más económico como siguiente
enlace, rompa arbitrariamente los empates, esto agrega un nuevo
P13 P14
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SEXTO SEMESTRE “A”
NODO al segmento de conexión repita entre paso hasta que todos los
NODOS estén conectados, es decir, requiere de (n- 1) pasos.
Método Tabular
1. Empiece arbitrariamente con cualquier NODO, se designa este NODO
como conectado y coloque un visto a lado de la fila correspondiente a
este NODO, tache el índice de la columna que corresponde a él.
2. Considere todas las cifras que tengan el visto busque el valor mínimo en
las columnas cuyo índice no han sido tachados y encierre ese valor en
un círculo, si existen empates rompa arbitrariamente la columna que
tenga ese elemento encerrado en un círculo designe al nuevo NODO
conectado, se tacha el índice de la columna y coloque una marca
correspondiente a este NODO, repita este paso hasta cuando todos los
NODOS estén conectados.
3. Una vez que todos los NODOS hayan sido conectados identifique el
árbol de expansión mínima mediante los elementos que están
encerrados en el círculo.
Se llama algoritmo glotón debido a que en cada paso se hace la mejor
selección posible este es uno de los pocos problemas de a Ciencia
Administrativa donde se garantiza que el algoritmo glotón nos dará la solución
óptima.
EJEMPLO Nº.-1
MÉTODO GRÁFICO
MÉTODO TABULAR
HACIA
DE 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
1 4 1
1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11 12
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SEXTO SEMESTRE “A”
2 4 6 3
3 6 6 7
4 6 1
5 1 4 9
6 3 4 5 7
7 7 5 2 2
8 1 2 2
9 9 5
10 7 5 3
11 2 3 1
12 2 1
El NODO 1 Se conecta 5 con 1
2 3 6
5 6 4
6 2 3
6 7 5
7 8 2
7 11 2
8 4 1
10 9 5
11 10 3
11 12 1
ESQUEMA FINAL
FLUJO MÁXIMO.- Aquí encontramos un solo NODO FUENTE y un solo NODO
destino. El objetivo consiste en encontrar la máxima cantidad del flujo total que
puede circular a través de la red en una unidad de tiempo, la cantidad de flujo
1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11 12
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SEXTO SEMESTRE “A”
por unidad de tiempo en cada arco está limitada por las restricciones de
capacidad.
FLUJO FACTIBLE
1. No se excede la capacidad de ningún arco del camino.
2. El flujo en cada NODO debe satisfacer la condición de conservación.
3. La cantidad máxima se puede fluir de la fuente al destino a lo largo de
un camino, es igual o menor de las capacidades de los arcos de dicho
camino.
EJEMPLONº.-1
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SEXTO SEMESTRE “A”
EJEMPLO Nº.-2

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  • 1. UNIVERSIDAD NACIONAL DE CHIMBORAZO FACULTAD DE CIENCIAS POLÍTICAS Y ADMINISTRATIVAS CARRERA DE CONTABILIDAD Y AUDITORÍA YAMBAY JOSSELIN SEXTO SEMESTRE “A” EJERCICIOS RESUELTOS EN CLASE MÉTODO DE LA ESQUINA DEL NOROESTE EJEMPLO Nº.- 1 La panadería Grani’s con sus 3 sucursales en la dolorosa, la circunvalación, y plaza de toros, oferta 30, 40 y 10 unidades de pan que serán distribuidos en la condamine, el TÍA, el AKÍ y el SUPERMAXI cuya demanda son de 20, 10, 30 y 20 unidades de pan respectivamente, los precios se reflejan en la siguiente tabla: ORIGEN DESTINOS OFERTA CONDAMINE TÍA AKÍ SUPERMAXI DOLOROSA 20 10 30 CIRCUN. 30 10 40 PLAZA DE T. 10 10 DEMANDA 20 10 30 20 80 Z= 240+ 80+ 270+ 120+ 100 Z= 810 EJEMPLO Nº.- 2 ORIGEN DESTINOS OFERTA A B C D E 1 100 100 200 2 100 100 200 3 100 100 4 100 100 100 300 DEMANDA 100 200 300 100 100 800 Z= 200+ 600+ 100+ 300+ 600+ 400+ 300+ 200 Z= 2700 84812 5 7 9 12 10 2 7 10 2 3 5 9 6 1 4 5 2 3 6 4 12 2 8 3 5 10 5 2
  • 2. UNIVERSIDAD NACIONAL DE CHIMBORAZO FACULTAD DE CIENCIAS POLÍTICAS Y ADMINISTRATIVAS CARRERA DE CONTABILIDAD Y AUDITORÍA YAMBAY JOSSELIN SEXTO SEMESTRE “A” MÉTODO DE APROXIMACIÓN DE VOGEL Da una solución factible y para eso se debe aplicar el algoritmo. ALGORITMO DE RESOLUCIÓN 1. Determinar para cada fila y columna una medida de penalización restando los dos costos menores en filas y columnas. 2. Seleccione la fila o la columna con la mayor penalización. 3. De la fila o columna de mayor penalización escoja la celda con el menor costo y asigne la cantidad posible de unidades. 4. Si queda sin factorar una fila o columna deténgase. 5. Si queda sin factorar una fila o columna con oferta o demanda positiva aplique el método de costo mínimo y termine. 6. Si todas las filas y columnas que no se tacharon tienen oferta o demanda 0, determine las variables básicas cero utilizando el método de costo mínimo y termine. 7. Si no se presenta ninguno de los dos casos anteriores vuelva al paso 1 hasta que las ofertas o demandas se hayan agotado. EJEMPLO Nº.- 1 ORIGEN DESTINOS OFERTA P.SUCRE P.MALDONADO P.INFANTIL P.BELLAVISTA ÁNGEL 300 MATEO 100 CARLOS 200 DEMANDA 50 100 300 150 600 ORIGEN DESTINOS OFERTA P.SUCRE P.MALDONADO P.INFANTIL P.BELLAVISTA ÁNGEL 300 300 MATEO 100 100 CARLOS 50 150 200 DEMANDA 50 100 300 150 600 5413 33 33 33 3 12 6 5 10 11 10 9 11 4 513 33 33 33 3 6 5 10 11 10 9 11 4 12 4
  • 3. UNIVERSIDAD NACIONAL DE CHIMBORAZO FACULTAD DE CIENCIAS POLÍTICAS Y ADMINISTRATIVAS CARRERA DE CONTABILIDAD Y AUDITORÍA YAMBAY JOSSELIN SEXTO SEMESTRE “A” Z= 1200+ 500+ 500+ 600 M+ n- 1 Z= 2800 3+ 4- 1< 6 6<6 EJEMPLO Nº.- 2 ORIGEN DESTINOS OFERTA P.SUCRE P.MALDONADO P.INFANTIL P.BELLAVISTA SOFÍA 360 JÉSSICA 480 ANITA 520 DEMANDA 170 320 410 460 1360 ORIGEN DESTINOS OFERTA P.SUCRE P.MALDONADO P.INFANTIL P.BELLAVISTA SOFÍA 170 190 360 JÉSSICA 320 160 480 ANITA 250 270 520 DEMANDA 170 320 410 460 1360 Z= 1360+ 1140+ 3840+ 2720+ 3250+ 1890 Z= 14200 EJEMPLO Nº.- 3 ORIGEN DESTINOS OFERTA AHORRO CORRIENTE ESPECIAL CONDAMINE 10 10 CACHA 5 15 20 LA LIBERTAD 15 15 FICTISIA 20 20 DEMANDA 15 30 20 65 613 33 33 33 3 12 17 8 19 16 13 7 8 18 15 613 33 33 33 3 12 17 8 19 16 13 7 8 18 15 2 3 1 0 3 5 4 1 2 1 0 0
  • 4. UNIVERSIDAD NACIONAL DE CHIMBORAZO FACULTAD DE CIENCIAS POLÍTICAS Y ADMINISTRATIVAS CARRERA DE CONTABILIDAD Y AUDITORÍA YAMBAY JOSSELIN SEXTO SEMESTRE “A” Z= 20+ 15+ 75+ 60 Z= 170 ORIGEN DESTINOS OFERTA AHORRO CORRIENTE ESPECIAL CONDAMINE 10 10 CACHA 20 20 LA LIBERTAD 15 15 FICTISIA 20 20 DEMANDA 15 30 20 65 Z= 30+ 100+ 15 Z= 145 MÉTODO DE ASIGNACIÓN EJEMPLO Nº.- 1 ORIGEN DESTINOS GUANO PENIPE COLTA PALLATAN. SAN ALFONSO DOLOROSA BELLAVISTA LA MERCED REDUCCIÓN DE FILAS 0 2 3 1 6 1 0 6 6 2 0 8 5 4 0 8 2 3 1 0 3 5 1 2 1 0 0 4 3 8 7 9 5 3 3 8 6 2 1 4 4 8 9 2
  • 5. UNIVERSIDAD NACIONAL DE CHIMBORAZO FACULTAD DE CIENCIAS POLÍTICAS Y ADMINISTRATIVAS CARRERA DE CONTABILIDAD Y AUDITORÍA YAMBAY JOSSELIN SEXTO SEMESTRE “A” Z= 4+ 3+ 1+ 9 Z= 17 EJEMPLO Nº.- 2 GUANO PENIPE COLTA PALLATANGA SAN ALFONSO 8 12 13 9 DOLOROSA 5 3 14 7 BELLAVISTA 6 4 11 8 LA MERCED 10 15 9 5 REDUCCIÓN DE FILAS 0 4 5 1 2 0 11 4 2 0 7 4 5 10 4 0 0 6 1 1 0 0 5 2 0 0 1 2 5 12 0 0 Z= 9+ 3+ 6+ 9 Z= 27 REDUCCIÓN DE COLUMNAS 0 1 3 0 6 0 0 5 6 1 0 7 5 3 0 7 0 6 8 0 1 0 0 0 1 1 0 2 5 3 0 2 REDUCCIÓN DE COLUMNAS 0 4 1 1 2 0 7 4 2 0 3 4 5 10 0 0 0 6 0 0 0 0 4 1 0 0 0 1 6 13 0 0
  • 6. UNIVERSIDAD NACIONAL DE CHIMBORAZO FACULTAD DE CIENCIAS POLÍTICAS Y ADMINISTRATIVAS CARRERA DE CONTABILIDAD Y AUDITORÍA YAMBAY JOSSELIN SEXTO SEMESTRE “A” EJEMPLO Nº.- 3 A B C D 1 15 9 15 14 2 12 14 17 9 3 13 16 15 10 4 14 11 9 7 3 8 4 3 5 3 0 8 4 1 2 7 3 6 8 10 REDUCCIÓN DE FILAS 0 6 2 1 5 3 0 8 3 0 1 6 0 3 5 7 EJEMPLO Nº.- 4 A B C D 1 9 6 7 12 2 10 9 18 8 3 12 12 13 6 4 17 16 11 15 REDUCCIÓN DE COLUMNAS 0 6 2 0 5 3 0 7 3 0 1 5 0 3 5 6
  • 7. UNIVERSIDAD NACIONAL DE CHIMBORAZO FACULTAD DE CIENCIAS POLÍTICAS Y ADMINISTRATIVAS CARRERA DE CONTABILIDAD Y AUDITORÍA YAMBAY JOSSELIN SEXTO SEMESTRE “A” 9 12 11 6 8 9 0 10 6 6 5 12 1 2 7 3 REDUCCIÓN DE FILAS 3 6 5 0 8 9 0 10 1 1 0 7 0 1 6 2 Z= 12+ 18+ 12+ 17 Z= 59 MÉTODO DE PASOS SECUENCIALES Este método comienza en una solución inicial factible (como el que produce el MEN, MAV, MCM) en cada paso se intenta enviar artículos por una ruta que no se haya usado en la solución factible actual, en tanto se elimina una ruta que no se haya usado actualmente. En cada cambio de ruta se debe cumplir que: 1. La solución siga siendo factible 2. Que mejore el valor de la función objetivo El procedimiento termina cuando no hay cambio de rutas que mejoren el valor de la función. Problema degenerado.- Cuando una solución factible usa menos de m+n-1 rutas. Callejón sin salida.- No se encuentran trayectorias apropiadas. REDUCCIÓN DE COLUMNAS 3 5 5 0 8 8 0 10 1 0 0 7 0 0 6 2
  • 8. UNIVERSIDAD NACIONAL DE CHIMBORAZO FACULTAD DE CIENCIAS POLÍTICAS Y ADMINISTRATIVAS CARRERA DE CONTABILIDAD Y AUDITORÍA YAMBAY JOSSELIN SEXTO SEMESTRE “A” ALGORITMOS: 1. Usar la solución actual (MEN, MAV o MCM), para crear una trayectoria única del paso secuencial, usar estas trayectorias para calcular el costo marginal de introducir a la solución cada ruta no usada. 2. Si todos los costos marginales no son iguales o mayores a cero, terminar, se tendrá la solución óptima. Sino elegir la celda que tenga el costo marginal más negativo (empates, se resuelve arbitrariamente). 3. Usando la trayectoria del paso secuencial determine el número máximo de artículos que se pueden asignar a la ruta elegida en el punto 2 y ajusta la selección adecuadamente. 4. Regrese al paso 1. EJEMPLO Nº.- 1 A B C D OFERTA 1 400 2 600 3 700 DEMANDA 300 800 200 400 1700 A B C D OFERTA 1 300 100 400 2 600 600 3 100 200 400 700 DEMANDA 300 800 200 400 1700 Z= 3600+ 1300+ 2400+ 900+ 2400+ 1600 Z= 12200 MEN 6 12 49 4 13 10 6 12 4 10 11 6 12 49 4 13 10 6 12 4 10 11
  • 9. UNIVERSIDAD NACIONAL DE CHIMBORAZO FACULTAD DE CIENCIAS POLÍTICAS Y ADMINISTRATIVAS CARRERA DE CONTABILIDAD Y AUDITORÍA YAMBAY JOSSELIN SEXTO SEMESTRE “A” A B C D OFERTA 1 200 200 400 2 600 600 3 100 200 400 700 DEMANDA 300 800 200 400 1700 Z= 2400+ 800+ 2400+ 1000+ 1800+ 1600 Z= 10.000 MCM A B C D OFERTA 1 200 200 400 2 600 600 3 300 200 200 700 DEMANDA 300 800 200 400 1700 Z= 800+ 1200+ 2400+ 3000+ 1800+ 800 Z= 10.000 MAV PASOS SECUENCIALES A B C D OFERTA 1 300 100 400 2 600 600 3 100 200 400 700 DEMANDA 300 800 200 400 1700 6 12 49 4 13 10 6 12 4 10 11 6 12 49 4 13 10 6 12 4 10 11 6 12 49 4 13 10 6 12 4 10 11
  • 10. UNIVERSIDAD NACIONAL DE CHIMBORAZO FACULTAD DE CIENCIAS POLÍTICAS Y ADMINISTRATIVAS CARRERA DE CONTABILIDAD Y AUDITORÍA YAMBAY JOSSELIN SEXTO SEMESTRE “A” A B C D OFERTA 1 200 0 200 400 2 600 600 3 100 200 400 700 DEMANDA 300 800 200 400 1700 Z= 2400+ 800+ 2400+ 1000+ 1800+ 1600 Z= 10.000 EJEMPLO Nº.-2 A B C D OFERTA 1 300 400 2 300 400 100 600 3 600 100 700 DEMANDA 300 800 200 400 1700 Z= 2100+ 2700+ 4400+ 6000+ 4200 Z= 14.000 PS MÉTODO DE DISTRIBUCIÓN MODIFICADA El método MODI ofrece la oportunidad de calcular costos marginales basados en valores de las variables de decisión del modelo, pero añadido a esto también nos indica la celda no básica en la cual se deben realizar los ajustes para obtener una mejor solución. EJEMPLO Nº.-1 6 12 49 4 13 10 6 12 4 10 11 7 9 518 11 15 7 9 12 14 6 13
  • 11. UNIVERSIDAD NACIONAL DE CHIMBORAZO FACULTAD DE CIENCIAS POLÍTICAS Y ADMINISTRATIVAS CARRERA DE CONTABILIDAD Y AUDITORÍA YAMBAY JOSSELIN SEXTO SEMESTRE “A” A B C OFERTA 1 250 150 400 2 200 100 300 3 700 700 DEMANDA 250 350 800 1400 A B C OFERTA 1 100 20 400 2 130 170 300 3 130 700 DEMANDA 250 350 800 1400 Z= 4720 A B C OFERTA 1 120 400 2 100 30 170 300 3 130 700 DEMANDA 250 350 800 1400 Z= 4220 EJEMPLO Nº.-2 1 2 3 4 OFERTA A 400 100 500 B 700 700 C 100 200 500 800 DEMANDA 400 900 200 500 1700 11 7 9 14 6 918 1512 11 7 9 14 6 918 1512 11 7 9 14 6 918 1512 6 12 49 4 13 10 6 12 4 10 11
  • 12. UNIVERSIDAD NACIONAL DE CHIMBORAZO FACULTAD DE CIENCIAS POLÍTICAS Y ADMINISTRATIVAS CARRERA DE CONTABILIDAD Y AUDITORÍA YAMBAY JOSSELIN SEXTO SEMESTRE “A” Z= 14.200 MEN A B C D OFERTA 1 300 200 500 2 700 700 3 100 200 500 800 DEMANDA 400 900 200 500 1700 COSTOS MARGINALES 𝐔𝟏 + 𝐕𝟏 = 𝟏𝟐 𝐔𝟏 + 𝐕𝟐 = 𝟏𝟑 𝐔𝟐 + 𝐕𝟐 = 𝟒 𝐔𝟑 + 𝐕𝟐 = 𝟗 𝐔𝟑 + 𝐕𝟑 = 𝟏𝟐 𝐔𝟑 + 𝐕𝟒 = 𝟒 𝐔𝟏 = 0 𝐕𝟏 = 12 𝐔𝟐 = −9 𝐕𝟐 = 13 𝐔𝟑 = −4 𝐕𝟑 = 16 𝐕𝟒 = 8 CM= Cij- (Ui+ Vj) 𝐞𝐀𝟑 = 4 − (U1 + V3) 𝐞𝐀𝟑 = 4 − (0 + 16) 𝐞𝐀𝟑 = −12 𝐞𝐀𝟒 = 6 − (U1 + V4) 𝐞𝐀𝟒 = 6 − (0 + 8) 𝐞𝐀𝟒 = −2 𝐞𝐁𝟏 = 6 − (U2 + V1) 𝐞𝐁𝟏 = 6 − (−9 + 12) 𝐞𝐁𝟏 = 3 7 9 518 11 15 7 9 12 14 6 13
  • 13. UNIVERSIDAD NACIONAL DE CHIMBORAZO FACULTAD DE CIENCIAS POLÍTICAS Y ADMINISTRATIVAS CARRERA DE CONTABILIDAD Y AUDITORÍA YAMBAY JOSSELIN SEXTO SEMESTRE “A” 𝐞𝐁𝟑 = 10 − (U2 + V3) 𝐞𝐁𝟑 = 10 − (−9 + 16) 𝐞𝐁𝟑 = 3 𝐞𝐁𝟒 = 11 − (U2 + V4) 𝐞𝐁𝟒 = 11 − (−9 + 8) 𝐞𝐁𝟒 = 12 𝐞𝐂𝟏 = 10 − (U3 + V1) 𝐞𝐂𝟏 = 10 − (−4 + 12) 𝐞𝐂𝟏 = 2 COSTOS MARGINALES 𝐔𝟏 + 𝐕𝟏 = 𝟏𝟐 𝐔𝟏 + 𝐕𝟑 = 𝟒 𝐔𝟐 + 𝐕𝟐 = 𝟒 𝐔𝟑 + 𝐕𝟐 = 𝟗 𝐔𝟑 + 𝐕𝟑 = 𝟏𝟐 𝐔𝟑 + 𝐕𝟒 = 𝟒 𝐔𝟏 = 0 𝐕𝟏 = 12 𝐔𝟐 = 3 𝐕𝟐 = 1 𝐔𝟑 = 8 𝐕𝟑 = 4 𝐕𝟒 = −4 CM= Cij- (Ui+ Vj) 𝐞𝐀𝟐 = 13 − (U1 + V2) 𝐞𝐀𝟐 = 13 − (0 + 1) 𝐞𝐀𝟐 = 12 𝐞𝐀𝟒 = 6 − (U1 + V4) 𝐞𝐀𝟒 = 6 − (0 + (−4)
  • 14. UNIVERSIDAD NACIONAL DE CHIMBORAZO FACULTAD DE CIENCIAS POLÍTICAS Y ADMINISTRATIVAS CARRERA DE CONTABILIDAD Y AUDITORÍA YAMBAY JOSSELIN SEXTO SEMESTRE “A” 𝐞𝐀𝟒 = 10 𝐞𝐁𝟏 = 6 − (U2 + V1) 𝐞𝐁𝟏 = 6 − (3 + 12) 𝐞𝐁𝟏 = −9 𝐞𝐁𝟑 = 10 − (U2 + V3) 𝐞𝐁𝟑 = 10 − (3 + 4) 𝐞𝐁𝟑 = 3 𝐞𝐁𝟒 = 11 − (U2 + V4) 𝐞𝐁𝟒 = 11 − (3 − 4) 𝐞𝐁𝟒 = 12 𝐞𝐂𝟏 = 10 − (U3 + V1) 𝐞𝐂𝟏 = 10 − (8 + 12) 𝐞𝐂𝟏 = −10 COSTOS MARGINALES 𝐔𝟏 + 𝐕𝟏 = 𝟏𝟐 𝐔𝟏 + 𝐕𝟑 = 𝟒 𝐔𝟐 + 𝐕𝟐 = −𝟒 𝐔𝟑 + 𝐕𝟏 = 𝟏𝟎 𝐔𝟑 + 𝐕𝟐 = 𝟗 𝐔𝟑 + 𝐕𝟒 = 𝟒 𝐔𝟏 = 0 𝐕𝟏 = 12 𝐔𝟐 = −7 𝐕𝟐 = 11 𝐔𝟑 = −2 𝐕𝟑 = 4 𝐕𝟒 = 6 CM= Cij- (Ui+ Vj)
  • 15. UNIVERSIDAD NACIONAL DE CHIMBORAZO FACULTAD DE CIENCIAS POLÍTICAS Y ADMINISTRATIVAS CARRERA DE CONTABILIDAD Y AUDITORÍA YAMBAY JOSSELIN SEXTO SEMESTRE “A” 𝐞𝐀𝟐 = 13 − (U1 + V2) 𝐞𝐀𝟐 = 13 − (0 + 11) 𝐞𝐀𝟐 = 2 𝐞𝐁𝟏 = 6 − (U2 + V1) 𝐞𝐁𝟏 = 6 − (0 + 6) 𝐞𝐁𝟏 = 1 𝐞𝐁𝟑 = 10 − (U2 + V3) 𝐞𝐁𝟑 = 10 − (−7 + 4) 𝐞𝐁𝟑 = 13 𝐞𝐁𝟒 = 11 − (U2 + V4) 𝐞𝐁𝟒 = 11 − (−7 + 6) 𝐞𝐁𝟒 = 12 𝐞𝐂𝟑 = 12 − (U3 + V3) 𝐞𝐂𝟑 = 10 − (−2 + 4) 𝐞𝐂𝟑 = 10 Z= 12.000 MÉTODO DEL CRUCE DEL ARROYO El método del cruce del arroyo también llamado algoritmo de Stepping Stone o método del paso a paso es un método que nos ayuda a calcular cuál será la variación del costo mínimo, además a buscar la solución óptima de un problema de transporte solucionado por algunos de los métodos (VOGEL, COSTO MÍNIMO, ESQUINA DEL NOROESTE, entre otros). Este método parte de una solución inicial y mediante interacciones (procesos aritméticos) busca mejorarla hasta llegar a la solución óptima. Si la solución de partida es la más desfavorable en términos económicos, el procedimiento se hará más dispendioso pues implica más interacciones hasta aproximarse a la
  • 16. UNIVERSIDAD NACIONAL DE CHIMBORAZO FACULTAD DE CIENCIAS POLÍTICAS Y ADMINISTRATIVAS CARRERA DE CONTABILIDAD Y AUDITORÍA YAMBAY JOSSELIN SEXTO SEMESTRE “A” solución óptima. Por tal motivo entre más acertada sea la solución de la que partiremos, resultará más confiable la solución óptima que resultará de nuestros procedimientos. EJEMPLO Nº.-1 A B C D OFERTA 1 15 2 25 3 5 DEMANDA 5 15 15 10 45 A B C D OFERTA 1 5 10 15 2 5 15 5 25 3 5 5 DEMANDA 5 15 15 10 45 Z= 410 A B C D OFERTA 1 0 15 15 2 0 15 10 25 3 5 0 5 DEMANDA 5 15 15 10 45 Z= 335 11 16 1814 7 0 0 12 10 20 9 0 11 16 1814 7 0 0 12 10 20 9 0 11 16 1814 7 0 0 12 10 20 9 0
  • 17. UNIVERSIDAD NACIONAL DE CHIMBORAZO FACULTAD DE CIENCIAS POLÍTICAS Y ADMINISTRATIVAS CARRERA DE CONTABILIDAD Y AUDITORÍA YAMBAY JOSSELIN SEXTO SEMESTRE “A” A B C D OFERTA 1 5 10 15 2 10 15 0 25 3 5 0 5 DEMANDA 5 15 15 10 45 Z= 315 PROGRAMACIÓN LINEAL a) x3 b) x2 c) x2 − 𝑦 d) 𝑋 − 𝑦 Circunferencia con coeficientes (𝑋 − ℎ)2 + (𝑌 − 𝑘)2 = 𝑟2 EJEMPLO Nº.-1 X2 + 7X + y2 + 9𝑦 − 3 = 0 (X2 + 7X + 49 4 ) + (y2 − 9y + 81 4 ) = 3 + 49 4 + 81 4 (X + 7 2 ) + (y − 9 2 ) = 71 2 𝐶 (− 7 2 + 9 2 ) 2𝑋 + 3y = 5 2𝑋 + 3y − 5 = 0 11 16 1814 7 0 0 12 10 20 9 0
  • 18. UNIVERSIDAD NACIONAL DE CHIMBORAZO FACULTAD DE CIENCIAS POLÍTICAS Y ADMINISTRATIVAS CARRERA DE CONTABILIDAD Y AUDITORÍA YAMBAY JOSSELIN SEXTO SEMESTRE “A” d = | ax + by + c √a2 + b2 | d = | 2(−3)+ 3(4) − 5 √4 + 9 | d = 1 √13 Distancia entre dos puntos: d = √( 𝑋1 − 𝑋2)2 + ( 𝑦1− 𝑦2)2 d = √(−3 − 5)2 + (4 − 7)2 d = √64 + 9 d = 8.5 Distancia de un punto a la recta PENDIENTE y1 − y2 𝑋1 − 𝑋2 m = 7 − 4 5 + 3 m = 3 8 PUNTO y − y1 = m(x − x1) y − 4 = 3 8 (x + 3) 8y − 32 = 3x + 9 8y − 32 = 3x + 9 3x − 8y+ 41 = 0 ECUACIÓN
  • 19. UNIVERSIDAD NACIONAL DE CHIMBORAZO FACULTAD DE CIENCIAS POLÍTICAS Y ADMINISTRATIVAS CARRERA DE CONTABILIDAD Y AUDITORÍA YAMBAY JOSSELIN SEXTO SEMESTRE “A” PROGRAMACIÓN CUADRÁTICA La programación cuadrática es el nombre que recibe un procedimiento que minimiza una función cuadrática de n variables lineales de igualdad o de desigualdad. EJEMPLO Nº.-1 MINIMIZAR: Z= (x1− 2) 𝟐 + (x2 + 2) 𝟐 S.a. X1 + 2X2 ≤ 3 8X1 + 5X2 ≥ 10 𝑋𝑖 ≥ 0 X1 + 2X2 = 3 2X2 = −X1 + 3 X2 = −X1 − 13 2 X2 = − 1 2 𝑋 + 3 2 PENDIENTE m = − 1 2 y = mx + b m1.m2 = −1 − 1 2 . m2 = −1 m2 = 2 y − y1 = m(x − x1) X2 − 2 = 2(x − 2) X2 − 2 = 2X − 4 2X − X2 = 2 𝐏𝐄𝐑𝐏𝐄𝐍𝐃𝐈𝐂𝐔𝐋𝐀𝐑 2𝑋1 − 𝑋2 = 2 X1 + 2X2 = 3 4X1 − 2X2 = 4 X1 + 2X2 = 3 5X1 = 7
  • 20. UNIVERSIDAD NACIONAL DE CHIMBORAZO FACULTAD DE CIENCIAS POLÍTICAS Y ADMINISTRATIVAS CARRERA DE CONTABILIDAD Y AUDITORÍA YAMBAY JOSSELIN SEXTO SEMESTRE “A” 𝐗𝟏 = 𝟕 𝟓 X1 + 2X2 = 3 7 5 + 2X2 = 3 2X2 = 3 − 7 5 X2 = 3 − 7 5 2 X2 = 4 5 X1;X2 P(1,4; 0,8) 𝐙 = (X1 − 2)2 + (X2 − 2)2 𝐙 = ( 7 5 − 2) 2 + ( 4 5 − 2) 2 𝐙 = 9 5 𝐙 = 1,8 EJEMPLO Nº.-2 MINIMIZAR: La función: Z= −6X1 − 13X2 − (X1X2) − 4X12 − 4X22 S.a. X3 = 0 X4 = 0 X2 = 20 X1 + X2 = 23 X1 + 20 = 23 𝑋1 = 23 − 20 𝑋1 = 3 Z= −6X1 − 13X2 − (X1X2) − 4X12 − 4X22 Z= −6(3)− 13(20)− (3.20) − 4(3)2 − 4(20)2 Z= −18 − 260 − 60 − 36 − 1600 Z= −1974
  • 21. UNIVERSIDAD NACIONAL DE CHIMBORAZO FACULTAD DE CIENCIAS POLÍTICAS Y ADMINISTRATIVAS CARRERA DE CONTABILIDAD Y AUDITORÍA YAMBAY JOSSELIN SEXTO SEMESTRE “A” ALGORITMO DE RAMIFICACIÓN El método de Bronch and Bound o de ramificación o acotamiento es un algoritmo diseñado para la resolución de modelos de programación entera sin embargo es muy frecuente que la naturaleza del problema nos indique que ver éste como si fuese un modelo de programación lineal luego generar cotas en caso que al menos una variable de decisión adopte un valor fraccionario. El algoritmo genera en forma recursiva cotas (o restricciones adicionales) que favorecen la obtención de variables enteros para las variables de decisión. En este contexto resolver el modelo lineal asociado o un modelo de programación entera se conoce frecuentemente como resolver la relajación continua del modelo entero. Ejercicio N°.-1 Maximizar z= 3x1+4x2 S.a. 2x1+x2≤6 2x1+3x2≤9 Xi ≥ 0, enteros. 2x1+x2=6 2x1+3x2=9 x1 x2 0 6 3 0 x1 x2 0 3 4.5 0
  • 22. UNIVERSIDAD NACIONAL DE CHIMBORAZO FACULTAD DE CIENCIAS POLÍTICAS Y ADMINISTRATIVAS CARRERA DE CONTABILIDAD Y AUDITORÍA YAMBAY JOSSELIN SEXTO SEMESTRE “A” 2x1+x2=6 2x1+x2=6 -2x1-3x2=-9 2x1+ (1.5)=6 -2x2=-3 2x1 = 6-1.5 x2=1.5 x1=2.25 z= 3x1+4x2 z= 3(2.25)+4(1.5) z=12.75
  • 23. UNIVERSIDAD NACIONAL DE CHIMBORAZO FACULTAD DE CIENCIAS POLÍTICAS Y ADMINISTRATIVAS CARRERA DE CONTABILIDAD Y AUDITORÍA YAMBAY JOSSELIN SEXTO SEMESTRE “A” Z= 12.75 x1=2.25 x2=1.5 Z= 12.67 x1=2 x2=1.67 Z= 9 x1=3 x2=0 Z= 10 x1=2 x2=1 Z= 12.50 x1=1.5 x2=2 Z= 12.32 x1=1 x2=2.33 Z= 12.67 x1=2 x2=1.67 Z= 10 x1=2 x2=1 Z= 12.50 x1=1.5 x2=2 MODELOS DE REDES EJEMPLO Nº.-1 Almacenes Buen Hogar distribuye sus artículos en 5 ciudades por lo regular disponen de 10 artículos INSITU, estos artículos deben ser enviados a dos locales de construcción designados con el número 3 y 4. En el local 3 se necesita 3 artículos y 7 en el otro local. Elabore: x1 ≤2 x1 ≥3 X2 ≥2 X2 ≤1 x1 ≤1 X2 ≤1 x1 ≥2 X2 ≥2
  • 24. UNIVERSIDAD NACIONAL DE CHIMBORAZO FACULTAD DE CIENCIAS POLÍTICAS Y ADMINISTRATIVAS CARRERA DE CONTABILIDAD Y AUDITORÍA YAMBAY JOSSELIN SEXTO SEMESTRE “A” 1. Diagrama de red 2. Diagrama de capacidades y costos agregados 3. La formulación del PL de este problema 4. La matriz de incidencia (NODO- ARCO) 5. Elabore la tabla de transporte MIN: Z= C12.X12+ C23X23+ C24X24+ C25X25+ C34X34+ C43X43+ C53X53+ C54X54 S.a. +X12 =10 -X12 +X23 +X24 +X25 =0 -X23 +X34 -X43 -X53 =-3 -X24 -X34 +X43 -X54 =-7 -X25 +X53 +X54 =0 0<=Xij<=Uij ARCO VALOR 1,2 2,3 2,4 2,5 3,4 4,3 5,3 5,4 1 1 0 0 0 0 0 0 0 10 2 -1 1 1 1 0 0 0 0 0 3 0 -1 0 0 1 -1 -1 0 -3
  • 25. UNIVERSIDAD NACIONAL DE CHIMBORAZO FACULTAD DE CIENCIAS POLÍTICAS Y ADMINISTRATIVAS CARRERA DE CONTABILIDAD Y AUDITORÍA YAMBAY JOSSELIN SEXTO SEMESTRE “A” 4 0 0 -1 0 1 1 0 -1 -7 5 0 0 0 -1 0 0 1 1 0 DESITNO ORIGEN 3 4 OFERTA 1 10 DEMANDA 3 7 10 PROBLEMA DE LA RUTA MÁS CORTA Se refiere a una red en la que cada arco (i, j) tome asociado un número C y que se interpreta como la distancia que hay entre los NODOS. El objetivo consiste en encontrar las rutas más cortas entre un NODO específico y todos los demás NODOS de la red. PROBLEMA DEL ÁRBOL EXPANDIDO MÍNIMO La tarea consiste en construir un árbol que conecte todos los NODOS de la red con un costo mínimo, esto se conoce como árbol expandido mínimo, como sabemos in árbol es el conjunto de (n- 1) arcos- pasos, en una red con n nodos que conecta todo par de nodos. ALGORITMO GLOTÓN Este algoritmo resuelve el problema en un extremo simple existen dos formas que son: Método Gráfico 1. Comience en cualquier NODO, escoja el arco más barato que parta de ese NODO, este es su primer enlace y se conoce como segmento de conexión entre dos NODOS, los NODOS restantes se llaman NODOS desconectados. 2. Considere todos los arcos que parten del segmento de conexión a los NODOS desconectados, seleccione el más económico como siguiente enlace, rompa arbitrariamente los empates, esto agrega un nuevo P13 P14
  • 26. UNIVERSIDAD NACIONAL DE CHIMBORAZO FACULTAD DE CIENCIAS POLÍTICAS Y ADMINISTRATIVAS CARRERA DE CONTABILIDAD Y AUDITORÍA YAMBAY JOSSELIN SEXTO SEMESTRE “A” NODO al segmento de conexión repita entre paso hasta que todos los NODOS estén conectados, es decir, requiere de (n- 1) pasos. Método Tabular 1. Empiece arbitrariamente con cualquier NODO, se designa este NODO como conectado y coloque un visto a lado de la fila correspondiente a este NODO, tache el índice de la columna que corresponde a él. 2. Considere todas las cifras que tengan el visto busque el valor mínimo en las columnas cuyo índice no han sido tachados y encierre ese valor en un círculo, si existen empates rompa arbitrariamente la columna que tenga ese elemento encerrado en un círculo designe al nuevo NODO conectado, se tacha el índice de la columna y coloque una marca correspondiente a este NODO, repita este paso hasta cuando todos los NODOS estén conectados. 3. Una vez que todos los NODOS hayan sido conectados identifique el árbol de expansión mínima mediante los elementos que están encerrados en el círculo. Se llama algoritmo glotón debido a que en cada paso se hace la mejor selección posible este es uno de los pocos problemas de a Ciencia Administrativa donde se garantiza que el algoritmo glotón nos dará la solución óptima. EJEMPLO Nº.-1 MÉTODO GRÁFICO MÉTODO TABULAR HACIA DE 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 4 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
  • 27. UNIVERSIDAD NACIONAL DE CHIMBORAZO FACULTAD DE CIENCIAS POLÍTICAS Y ADMINISTRATIVAS CARRERA DE CONTABILIDAD Y AUDITORÍA YAMBAY JOSSELIN SEXTO SEMESTRE “A” 2 4 6 3 3 6 6 7 4 6 1 5 1 4 9 6 3 4 5 7 7 7 5 2 2 8 1 2 2 9 9 5 10 7 5 3 11 2 3 1 12 2 1 El NODO 1 Se conecta 5 con 1 2 3 6 5 6 4 6 2 3 6 7 5 7 8 2 7 11 2 8 4 1 10 9 5 11 10 3 11 12 1 ESQUEMA FINAL FLUJO MÁXIMO.- Aquí encontramos un solo NODO FUENTE y un solo NODO destino. El objetivo consiste en encontrar la máxima cantidad del flujo total que puede circular a través de la red en una unidad de tiempo, la cantidad de flujo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
  • 28. UNIVERSIDAD NACIONAL DE CHIMBORAZO FACULTAD DE CIENCIAS POLÍTICAS Y ADMINISTRATIVAS CARRERA DE CONTABILIDAD Y AUDITORÍA YAMBAY JOSSELIN SEXTO SEMESTRE “A” por unidad de tiempo en cada arco está limitada por las restricciones de capacidad. FLUJO FACTIBLE 1. No se excede la capacidad de ningún arco del camino. 2. El flujo en cada NODO debe satisfacer la condición de conservación. 3. La cantidad máxima se puede fluir de la fuente al destino a lo largo de un camino, es igual o menor de las capacidades de los arcos de dicho camino. EJEMPLONº.-1
  • 29. UNIVERSIDAD NACIONAL DE CHIMBORAZO FACULTAD DE CIENCIAS POLÍTICAS Y ADMINISTRATIVAS CARRERA DE CONTABILIDAD Y AUDITORÍA YAMBAY JOSSELIN SEXTO SEMESTRE “A” EJEMPLO Nº.-2